Составление дифференциальных уравнений в САУ
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Саратовский Государственный Технический Университет
Балаковский Институт Техники, Технологии и Управления
Кафедра ВМиМ
Специальность УИТ
Лабораторная работа №1
по дисциплине: Математические основы теории систем
Составление дифференциальных уравнений в САУ
Выполнила
студент гр.УИТ 3-в
Проверила
Соколова Татьяна Викторовна
Балаково 2008
Пусть задана некоторая гидравлическая система:
P1 - давление на входе системы;
Q1 - расход жидкости на входе системы;
R1 - удельное гидравлическое сопротивление системы;
P2 - давление жидкости подаваемой на объект управления;
Q2 - расход жидкости на выходе системы;
R2 - регулируемое гидравлическое сопротивление системы;
Q3 - расход жидкости подаваемое на объект управления;
Cпр - жесткость пружины;
yп - перемещение поршня.
Входной величиной является сопротивление R2, а выходной - yп.
Задание
Записать уравнение системы виде входа-выхода, т.е. получить зависимость: ,
задачу решить в символьном виде.
Решение
дифференциальное уравнение
Работа системы записывается с помощью следующих уравнений:
1) ;
) ;
) ;
) ;
) ,
где m - масса поршня;
Fn - сила действующая на пружину;
P0 - начальное давление жидкости.
В данной системе уравнений переменными являются yп, P2, Q1, Q2, Q3. Запишем параметры Q1, Q2, Q3 через установившееся состояние Q10, Q20 и Q30 и отклонение этих величин от установившегося значения через ?Q1, ?Q2, ?Q3, т.е.
Q1 = Q10 + ?Q1;
Q2 = Q20 + ?Q2;
Q3 = Q30 + ?Q3;
1)Рассмотрим уравнение:.
С учетом системы уравнений (1) запишем, что:
Q10 + ?Q1 = Q20 + ?Q2 + Q30 + ?Q3
отбросив установившийся режим получим:
?Q1 = ?Q2 + ?Q3
2)Рассмотрим уравнение: .
Разложим это уравнение в ряд Тейлора:
где - совокупность членов ряда порядка производной выше первого.
Запишем переменную Р2 через установившееся состояние Р20 и отклонение от этого состояния ?Р2:
Р2 = Р20 + ?Р2
получим параметр:
Q1 = f(P2)
Предположим, что ?Р2 = 0, тогда:
;
;
;
)Рассмотрим уравнение: .
Чтобы разложить это уравнение в ряд Тейлора запишем параметры P2 и R2 через установившееся значение и отклонение от этих значений.
Р2 = Р20 + ?Р2;
R2 = R20 + ?R2;
В установившемся состоянии: ?P2 = 0 и ?R2 = 0.
;
;
;
)Рассмотрим уравнение: .
Нам дано, что . Выразим Q3, получим .
Так как , то .
Нам также известно, что и
.
С учетом всего этого запишем:
Запишем yп через установившееся состояние и отклонение от этого значения: .
В выражении (2) раскроем скобки:
.
Если мы запишем, что в установившемся состоянии ?yп = 0, то
(3)
)Рассмотрим уравнение: .
Сделаем замену: и .
Запишем наше уравнение с учетом введенных обозначений:
.
Раскрывая скобки и отбрасывая установившийся режим, получим:
.
Выразим ?Р2:
.
Подставим ?Р2 в уравнение (3):
Раскрываем скобки: