Сопряжённые числа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ествуют, они называются характеристическими значениями или собственными числами определяются из некоторого уравнения (оно тоже называется характеристическим). Для (7) характеристическое уравнение имеет вид ?2 4? + 2 = 0, его корни как раз 2 + v2 и 2 v2. Зная эти корни, любое решение рекуррентного соотношения мы можем получить как линейную комбинацию соответствующих геометрических прогрессий ([11]). Начальное условие (в нашем случае a1 = 2, c1 = 1) определяет нужное нам решение однозначно.
Неудивительно, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристическое уравнение квадратное с целыми коэффициентами (примеры те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., Fn+1 = Fn + Fn1; см.[9], [10]), выражаются, как функции номера, с помощью сопряжённых квадратичных иррациональностей.
Заметим, что большее характеристическое число определяет скорость роста последовательности: при больши?х n в задаче7 en ? (2 + v2)n/v2. Можно сказать это ещё так:
lim
n > ?
en+1
en= 2 + v2.Для задачи 6 аналогичное наблюдение:
lim
n > ?
xn
yn = v2.Интересное продолжение этого факта мы увидим в следующей задаче с бо?льшим числом сопряжённых иррациональностей.
Поочерёдно меняем все знаки
8. Пусть
(1 + v2 + v3)n = qn + rnv2 + snv3 + tnv6,
где qn, rn, sn и tn целые числа. Найти пределы
lim
n > ?
rn
qn,
lim
n > ?
sn
qn,
lim
n > ?
tn
qn.
Конечно, мы здесь можем выразить (qn+1; rn+1; sn+1; tn+1) через (qn; rn; sn; tn), пользуясь тем, что
qn+1 + rn+1v2 + sn+1v3 + tn+1v6 = (1 + v2 + v3)(qn + rnv2 + snv3 + tnv6),
но, наученные опытом, мы уже знаем, что более простые формулы получаются не для самих чисел qn, rn, sn, tn, a для некоторых их комбинаций. Одну такую комбинацию мы уже знаем: это
qn + rnv2 + snv3 + tnv6 = (1 + v2 + v3)n.
Нетрудно сообразить, каковы будут другие. Рассмотрим вместе с данным числом
?1 = 1 + v2 + v3,
ещё три сопряжённых:
?2 = 1 v2 + v3, ?3 = 1 + v2 v3, ?4 = 1 v2 v3.
Тогда
qn rnv2 + snv3 tnv6 = ?2n,
qn + rnv2 snv3 tnv6 = ?3n,
qn rnv2 snv3 + tnv6 = ?4n.
Мы можем выразить qn, rn, sn, tn через ?1, ?2, ?3, ?4:
qn =?1n + ?2n + ?3n + ?4n
4,sn =?1n + ?2n ?3n ?4n
4v3,rn =?1n ?2n + ?3n ?4n
4v2,tn =?1n ?2n ?3n + ?4n
4v6.
Теперь заметим, что ?1 > |?2|, ?1 > |?3|, ?1 > |?4|. Поэтому
lim
n > ?
rn
qn=
lim
n > ?
1 (?2/?1)n + (?3/?1)n (?4/?1)n
1 + (?2/?1)n + (?3/?1)n + (?4/?1)n1
v2=1
v2.
Аналогично найдём, что
lim
n > ?
sn
qn=1
v3 и
lim
n > ?
tn
qn=1
v6.
Мы говорили выше, что сопряжённые числа a bvd возникают часто как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей возникает такое желание:
9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1 + v2 + v3.
Возникает подозрение, что вместе с этим числом ?1 уравнению с целыми коэффициентами удовлетворяют и сопряжённые, которые в решении предыдущей задачи мы обозначили ?2, ?3, ?4. Нужное уравнение можно записать так:
(x ?1)(x ?2)(x ?3)(x ?4) = 0;
то есть
(x 1 v2 v3)(x 1 + v2 v3)Ч (x 1 v2 + v3)(x 1 + v2 + v3) = 0;
после преобразований получаем
((x 1)2 5 2v6)((x 1)2 5 + 2v6) = 0, (x2 2x 4)2 24 = 0, x4 4x3 4x2 16x 8 = 0.
Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования
(qn; rn; sn; tn) > (qn+1; rn+1; sn+1; tn+1)
в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем ?1 = 1 + v2 + v3. Попробуйте это доказать!
Алгебраическое послесловие
Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в Кванте!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи сопряжённые числа с чисто алгебраической точки зрения.
Предположим, что у нас есть множество P чисел (или выражений с буквами, или ещё каких-то элементов), с которыми можно выполнять четыре действия арифметики с соблюдением обычных арифметических правил. Такое множество называется полем; поля образуют, например, рациональные и действительные числа. Если в поле P не разрешимо, скажем, уравнение x2 d = 0, то можно расширить его, рассматривая элементы вида p + qvd, где p, q ? P, a vd новый символ, который при умножении сам на себя дает d, т.е. vdvd = d, так что
(p + qvd)(p + qvd) = (pp + qqd) + (pq + qp)vd.
При d = 1 расширением поля вещественных чисел получаются комплексные числа.
В новом поле P1 квадратичном расширении поля P есть интересное отображение ? = p + qvd > ? = p qvd (своеобразная алгебраическая симметрия), называемое сопряжением, с такими свойствами:
Все элементы старого поля P переходят в себя;
Все равенства, содержащие арифметические операции, при этом отображении сохраняются:
? + ? = ? + ?; ? ? = ? ?;(10)
Это отображение является частным случаем так называемых автоморфизмов Галуа расширения P1 поля P.
В задачах 8 и 9 мы видели пример двукратного расширения присоединения v2 и затем v3, в результате которого получи