Создание программы для решения нелинейных уравнений
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Міністерство освіти та науки України
Житомирський державний технологічний університет
Звіт до розрахункової роботи
з предмету Емпіричні методи програмної інженерії
Виконав: К. Д. Саєцький
Перевірив: В. О. Скачков
Житомир 2011 р.
Содержание
1. Задание
. Разработка программы
.1 Теоретические сведения для решения задачи
. Тестирование программы
. Дополнения
.1 Руководство пользователя
.2 Листинг программы
Выводы
1. Задание
Реализовать доступными методами программу для ПК, которая находит решение нелинейного уравнения следующими способами:
Методом Ньютона
Методом Хорд
Модифицированным методом Ньютона
Методом простых итераций
Также программа должна иметь возможность ввода пользователем:
-коэффициентов
длину отрезка , его шаг
для задания точности вычислений
В качестве нашего нелинейного уравнения возьмём уравнение:
Производная от данного уравнения:
2. Разработка программы
.1Теоретические сведения для решения
нелинейный уравнение компьютер программа
Нелинейное уравнение - уравнение, в котором неизвестные величины (числа, функции, векторы и т. д.) входят не только линейным образом.
Метод Ньютона
Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) - это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных.
Геометрическая интерпретация
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Алгоритм
1. Задается начальное приближение x0.
. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение:
Условия применения
Рассмотрим ряд примеров, указывающих на недостатки метода.
Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись.
Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.
Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.
Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.
Метод одной касательной
В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной.
Формула итераций этого метода имеет вид:
Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения , а затем использовать это значение на каждой последующей итерации.
Метод хорд
Метод хорд - итерационный численный метод приближённого нахождения корня алгебраического уравнения.
Геометрическое описание
Будем искать корень функции f(x). Выберем две начальные точки C1(x1;y1) и C2(x2;y2) и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке (x3;0). Теперь найдем значение функции с абсциссой x3. Временно будем считать x3 корнем на отрезке [x1;x2]. Пусть точка C3 имеет абсциссу x3 и лежит на графике. Теперь вместо точек C1 и C2 мы возьмём точку C3 и точку C2. Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки Cn + 1 и Cn и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние 2 точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.
Критерий сходимости
Если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень уравнения находится на отрезке , производные и на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и , то можно доказать, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при n>?, то есть метод сходится и сходится со скоростью геометрической прогрессии (при этом говорят, что он имеет линейную скорость сходимости.
Метод простой итерации
В основе метода заложено понятие сжимающего отображения. Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если
.
.
Если - сжимающее отображение на , то:
.- корень;
.итерационная последовательность сходится к этому корню;
.для очередного члена справедливо
Поясним смысл параметра . Согласно теореме Лагранжа имеем:
Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы
.
и так далее, пока
Алгоритм