Совместность и решение системы линейных уравнений
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задача
Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.
Решение:
Согласно правила Крамера система m линейных уравнений с n неизвестными совместна, если m=n и det|A| ? 0.
Вычислим определитель матрицы А, составленной из коэффициентов при неизвестной:
Следовательно система уравнений совместна. Найдем ее решение:
. Методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу, содержащую также столбец свободных членов
и приведем ее к треугольному виду путем равносильных преобразований.
Из последней строки получаем. Подставим полученное значение во второе уравнение: . Откуда . Из первого уравнения . Следовательно, .
Решение системы:
2. Средствами матричного исчисления.
Исходная система уравнений в матричной форме имеет вид: AX=B. Ее решение можно записать в виде X=A-1B, где A-1 - обратная матрица к матрице коэффициентов системы.
Для решения системы необходимо вычислить обратную матрицу. Вычислим определитель исходной матрицы:
матрица уравнение гаус крамер
Вычислим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:
Составим матрицу из полученных дополнений:
И запишем обратную матрицу:
Найдем решение матричного уравнения:
Решение системы:
. По правилу Крамера.
Вычислим главный определитель
Для вычисления переменных найдем определители:
Найдем переменные
Решение системы: