Системи лінійних рівнянь
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
риця системи має вигляд: .
Знайдемо ранг матриці А. Перший рядок матриці з відповідними множниками додамо до інших рядків матриці так, щоб елементи першого стовпця обернулися на нуль, крім елемента а11. Вийде матриця А1 така, що
rangА1 = rangА і .
Відзначаючи, що третій і четвертий рядки матриці пропорційні другому рядку, укладаємо, що rangА1 = rangА2, де . Помножимо другий рядок матриці А2 на (2) і додамо до першого рядка. Одержимо матрицю А3: , таку, що rangА3 = rangА2 = 2. У підсумку rangА = rangА3 = 2.
Тоді вийшла система двох рівнянь, з яких можна написати:
х1 = 14х3 7х4 + 3х5 х6, х2 = 7х3 + 2х4 х5 2х6 і змінні х3, х4, х5, х6 будь-які. Це і є розвязок системи.
Однак можна (і необхідно) піти далі. Множина розвязків лінійної однорідної системи утворює лінійний простір L вимірності dimL = n rangА = 6 2 = 4. Для знаходження базисних векторів простору розвязків надамо вільним невідомим х3, х4, х5, х6 значення: а) 1, 0, 0, 0; б) 0, 1, 0, 0; в) 0, 0, 1, 0; г) 0, 0, 0, 1. Одержимо чотири вектори, що утворять базис L: е1 = (14, 7, 1, 0, 0, 0); е2 = (7, 2, 0, 1, 0, 0); е3 = (3, 1, 0, 0, 1, 0); е4 = (1, 2, 0, 0, 0, 1). У такий спосіб L = ?(е1, е2, е3, е4), і будь-який розвязок вихідної системи може бути записаний у вигляді лінійної комбінації базисних векторів, тобто у вигляді: с1(14, 7, 1, 0, 0, 0) + с2(7, 2, 0, 1, 0, 0) + с3(3, 1, 0, 0, 1, 0) + с4(1, 2, 0, 0, 0, 1), де с1, с2, с3, с4 будь-які значення. Це і є загальний розвязок вихідної лінійної однорідної системи рівнянь.
Задача 7. Розвязати систему лінійних неоднорідних рівнянь
Розвязання. Розширена матриця системи рівнянь має вигляд: , причому до вертикальної риски записана головна матриця системи, а після вертикальної риски стовпець вільних членів. Перетворюючи матрицю аналогічно до того, як перетворювалася матриця А в розвязку попередньої задачі, одержимо матрицю А таку, що rang = rangА = 2 і . Звідси можна записати загальний розвязок системи у вигляді: х1 = 1 + 14х3 7х4 3х5, х2 = 2 7х3 + 2х4 х5, де х3, х4, х5 будь-які.
Це і є загальний розвязок вихідної системи лінійних рівнянь. Однак з метою прояснення алгебраїчної структури розвязку системи відзначимо таке:
Враховуючи, що rang = rang A = 2 < n = 5, можемо зазначити, що множина розвязків системи являє собою лінійний многовид. Вектором зсуву цього лінійного многовиду є частинний розвязок неоднорідної системи рівнянь, для знаходження якого дамо вільним невідомим х3, х4, х5 довільні значення (наприклад нулі) і одержимо: f = (1, 2, 0, 0, 0). Підпростором зсуву є простір розвязків однорідної системи з матрицею А2, яка збігається з головною матрицею вихідної системи неоднорідних рівнянь
.
Звідси х1 = 14х3 7х4 3х5, х2 = 7х3 + 2х4 х5, де х3, х4, х5 будь-які. Даючи вільним змінним х3, х4, х5 значення: а) 1, 0, 0; б) 0,1,0; в) 0, 0, 1; одержимо, відповідно, базисні вектори простору L розвязків однорідної системи рівнянь: е1 = (14, 7, 1, 0, 0), е2 = (7, 2, 0, 1, 0), е3 = (3, 1, 0, 0, 1).
Отже, розвязки вихідної системи утворюють лінійний многовид М:
M = {x x = f + c1e1 + c2e2 + c3e3}, де c1, c2, c3 будь-які,