Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?е преобразование называется сдвигом вдоль прямой и условия, которые его задают, имеют вид , , (23)
Если же направление аффинного преобразования не совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой и его задают следующие условия: , , (24)
2.2. Сжатие и его частные виды
Найдём собственные числа ? преобразования сжатия (24) из условия . Составим систему из этого условия и сопряжённого к нему выражения : . Чтобы найти собственные числа, нужно решить уравнение , откуда получим и .
Примем без доказательства следующую теорему [1]: если ? собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования.
Рис. 3
Очевидно, что прямые MM и NN (рис. 3) являются двойными прямыми и ?2 действительное число, то точка Р делит отрезок MM в отношении , то есть . Число =? называется коэффициентом сжатия. Если а действительное число, то направление сжатия перпендикулярно его оси и сжатие называется прямым (ортогональным) сжатием.
Рассмотрим частный случай сжатия косую симметрию [1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу:
(25)
Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда , откуда , то есть а чисто мнимое число. Таким образом, формулой (24) при условии задаётся косая симметрия с действительной осью. В этом случае коэффициент сжатия равен , следовательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий соответственные точки. Косая симметрия аффинное преобразование второго рода, так как его определитель отрицателен.
Если а=0, получаем осевую симметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия аффинное преобразование также второго рода ().
2.3. Сдвиг
Выясним, как перемещается по плоскости точка при сдвиге (рис.4). Рассмотрим равенство (22), возьмём модули обеих частей этого равенства
(26)
и посмотрим, чем является каждый модуль в (26).
Рис. 4
- это расстояние от точки М(z) до её образа M(z) при аффинном преобразовании. - это модуль постоянного вектора, перпендикулярного направлению сдвига, а - это расстояние от М(z) до точки с координатой, сопряжённой z, равное удвоенному расстоянию от точки M(z) до действительной оси Ох.
Преобразуем правую часть (26): , (27) тогда из (22) и (27) следует, что при сдвиге каждая точка M(z) смещается параллельно его оси на расстояние , пропорциональное расстоянию от этой точки до действительной оси. Коэффициент пропорциональности этих расстояний называется коэффициентом сдвига.
Найдём собственные числа преобразования сдвига из уравнения, составленного аналогично тому, как составляли для сжатия: , откуда найдём . Значит, преобразование сдвига имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига.
Определитель преобразования сдвига строго больше нуля, поэтому сдвиг аффинное преобразование первого рода.
3. Эллиптический поворот
Эллипс это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]
Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.
Его задают условия: (28)
а обратное к нему аффинное преобразование g-1 имеет формулу: , где , откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид: (29)
При ортогональном сжатии окружность перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен , тогда . и называются большой и малой осями эллипса при . Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим: , тогда . Преобразовав данное равенство, получим: , откуда получаем уравнение эллипса .
Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N1. Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол вокруг точки О: , где , , .
Y
P N1
N
M
K M1
C O D X
Т
Q
Рис. 5
Пусть точки М и М1 образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1 следующим образом:
1) (преобразование, обратное ортогональному с