Свойства бесконечной величины. Различие актуальной и потенциальной бесконечности
Дипломная работа - Философия
Другие дипломы по предмету Философия
дело обстоит куда сложнее: несчетные множества существуют и притом могут иметь самые разные мощности. Одно несчетное множество всем хорошо знакомо - это множество всех точек на прямой линии. Но прежде чем говорить об этом множестве, мы расскажем о другом, тесно связанном с ним множестве Л вариантов заполнения необыкновенной гостиницы" [5, c.53-63].
Заметим, что доказать несчетность какого-то множества вообще нелегко. Ведь доказать, что какое-то множество счетно, это значит просто придумать правило, по которому нумеруются его элементы. А доказать несчетность какого-то множества, это значит доказать, что такого правила нет и быть не может. Иными словами, какое бы правило мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент множества". Чтобы доказывать несчетность множеств, Кантор придумал очень остроумный способ, получивший название диагонального процесса. Метод доказательства Кантора становится ясен из рассказа Иона Тихого "Несостоявшаяся перепись".
"До тех пор пока читатель не познакомился с удивительными свойствами бесконечных множеств, ответ на вопрос: "Где больше точек, на отрезке длиной в 1 мм или на отрезке длиной в 1 м?" - вряд ли вызвал бы у него хоть тень сомнения. Ясно, что на отрезке в 1 м куда больше точек, он ведь в 1000 раз длиннее. Но теперь, вероятно, читатель поостережется делать столь безапелляционные заявления - уж слишком не похожи свойства бесконечных множеств на то, чему учит обыденная жизнь. И действительно, на очень коротком и очень длинном отрезках точек поровну! Иными словами, всегда можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этих отрезков.
Трудно примириться с мыслью, что дорога длиной в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра! Но еще неожиданнее оказалось то, что даже на всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке, то есть что между множеством точек на прямой и множеством точек на отрезке можно установить взаимно однозначное соответствие." [5, c.65-66].
С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько и на отрезке, математики, скрепя сердце, примирились. Но следующий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках множества, имеющего больше элементов, чем отрезок, он обратился к множеству точек квадрата. Сомнения в результате не было: ведь отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а множество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка.
Георг Кантор пришел к выводу, что бесконечное множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем бесконечное множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают. Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие бесконечные множества называют множествами мощности континуума (от латинского continuum - непрерывный).
"Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, является мощность бесконечного множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности. Для любого бесконечного множества А есть бесконечное множество, мощность которого больше мощности А. Этим множеством является, например, бесконечное множество В всех функций, заданных на бесконечном множестве А и принимающих значения 0 и 1.
Итак, для любого множества А можно построить множество В большей мощности. Поэтому бесконечного множества самой большой мощности не существует. Отправляясь от самой малой из бесконечных мощностей - мощности бесконечного множества натуральных чисел, мы получим сначала мощность континуума, потом мощность бесконечного множества всех функций, заданных на множестве действительных чисел, и будем без конца подниматься вверх по этой головокружительной лестнице все увеличивающихся бесконечных мощностей" [5, c.71-72].
Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное "означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.". Математическое потенциально бесконечное Кантор называет "несобственно-бесконечным". Оно выступает в математике в форме дифференциалов первого или высших порядков, или в виде сумм бесконечных рядов, или в виде других предельных процессов. По разъяснению Кантора, "потенциально бесконечное" есть простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это - "понятие отношения, которое, согласно своему определению, заключает в себе идею изменчивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать в собственном смысле слова. Оно "не означает само по себе никакой идеи". Кантор тут же оговаривается, что и в этом своем смысле - как понятие отношения - потенциально бесконечное "благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислениям обнаружило свое огромное значение как средство познания." (5, с.84).
Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия потенциальной бесконечности. Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности "дурно?/p>