Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
»няется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.
12. Преобразование Фурье
Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим
. (12.1)
Если функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке . Действительно, так как , то
, (12.2)
и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех , поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно . Отсюда и следует, что функция непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).
Из (11.4) получим
. (12.3)
Комплексная функция , определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции . В свою очередь, формула (12.3) определяет как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции . Равенство (12.3) при заданной функции можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции , решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции при заданной дает формула (12.3).
В формуле (12.3) выражение задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке и суммарной комплексной амплитудой . Функция называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде
,
можно трактовать, как разложение функции в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке .
Равенства Парсеваля. Пусть и Фурье-образы вещественных функций и соответственно. Тогда
; (12.4)
, (12.5)
т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем . Заменив функцию ее выражением (12.3) через Фурье-образ , получим
.
В силу (12.1)
.
Поэтому , т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при .
Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать , также является вещественной четной функцией. Действительно,
.
Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,
. (12.6)
Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.
Из (12.6) следует, что функция вещественна и четным образом зависит от , так как входит в (12.6) только через косинус.
Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает
=.
Так как и соответственно четная и нечетная функции переменной , то
. (12.7)
Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.
Аналогично, если вещественная функция нечетна, то ее преобразование Фурье , где вещественная нечетная функция от . При этом
; (12.8)
. (12.9)
Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.
Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.
Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные неберущиеся интегралы.
Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа .
Решение. Найдем Фурье-образ функции где :
.
С помощью формулы обратного преобразования Фурье
получим
или
.
Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому
.
Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле , если .
Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции
получим
;
.
Таким образом,
В частности интеграл Дирихле
.
Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона .
Решение. Сначала вычислим интеграл , применив к функции , где , преобразование Фурье и введя замену
=;
.
Отсюда , и, следовательно, с заменой можно записать
.
Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы
; .
Упражнение 2. Доказать, что
,
используя равенство Парсеваля.
13. Основные сведения из теории преобразования Фурье
Тот факт, что функция является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .
Свойства преобразования Фурье:
1. Теорема линейности. , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.
2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим
3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим
.
<