Розробка програмного забезпечення для розв'язку СЛАР методом Гауса
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
¦+ a1nxn = a1,n+1,
a1k= a1k a11, k=2,3,...,n.
Вилучимо x1 з усіх рівнянь системи, крім першого. Для цього помножимо перетворене перше рівняння на -a21 і додамо його до другого. Аналогічно вилучаємо x1 з третього рівняння і т. ін. Помножимо перше рівняння на -an1 і додамо його до останньго, вилучимо x1 з n-го рівняння. На цьому перший крок гауссового вилучення завершено. Початкова система матиме еквівалентний вигляд:
x1 + a12x2+…+ a1nxn = a1,n+1,
a22x2+…+ a2nxn = a2,n+1,
...........................................................
an2x2+…+ annxn = an,n+1.
де aij= aij- ai1 a1j, j=2,3,...,n+1.
На другому кроці, припустивши, що провідний елемент a220, вилучимо невідоме x2 з усіх рівнянь, починаючи з третього.
Після скінченої кількості таких перетворень початкова система лінійних рівнянь матиме один з таких виглядів:
а)
б)
У випадку а) система має єдиний розвзок, який легко знайти шляхом послідовного вилучення невідомих, починаючи з xn, за формулами:
pascal рівняння лінійний програма гаус
Цей випадок можливий, коли всі рівняння системи лінійно незалежні, тобто визначник матриці коефіцієнтів біля невідомих не дорівнює нулю. Крім того, всі провідні елементи a11, a22, ..., ann також відмінні від нуля. Остання умова завжди виконуватиметься, якщо матриця системи має властивість діагонального перевантаження, тобто
або відмінні від нуля головні мінори матриці.
У випадку б) система несумісна, коли хоча б одне з чисел сr+1,n+1,...,сn,n+1 не дорівнює нулю. Якщо всі елементи сr+1,n+1,..., сn,n+1 дорівнюють нулю, то система має нескінченну множину розвязків. Невідомі xr+1,...,xn можуть набирати будь-яких значень, а з перших r рівнянь перетвореної системи подано послідовно xr,xr-1,...,x1 через вільні невідомі xr+1,...,xn. У цьому разі система має r лінійно незалежних рівнянь, а решта є їх наслідками.
Схема єдиного ділення полягає у використанні однотипних дій, які легко програмувати на сучасних ЕОМ. Метод Гаусса надзвичайно ефективний також за кількістю арифметичних дій. Кількість множень і ділень у прямому перерізі методу має порядок O(n), де n кількість рівнянь у системі. У зворотному перерізі цей порядок становить O(n).
У загальному випадку коефіцієнти системи є дробові числа. Крім того, під час ділення на провідні елементи обмежуються скінченою кількістю десяткових знаків. Тому гауссові виключення неминуче супроводжує похибка заокруглення, яка може збільшуватися зі зростанням кількості рівнянь системи. Отже, метод Гаусса дає змогу знайти розвязок системи з точністю до похибки заокруглення.
1.3 Вхідна інформація
В програмі описаний тип mas1, який являється масивом дійсних чисел максимальної розмірності 50 на 51.
Для введення коефіцієнтів при невідомих і вільних членів в програмі описано матрицю а. Розмірність цієї матриці має тип integer, але її значення обмежене програмою залежить від кількості рівнянь. Елементи матриці мають такий тип, як і матриця, до якої вони належать.
ПоказникІдентифікаторЗначністьТипматриця аamas1висота матриці аn1..50integerширина матриці аn+11..51integerелемент матриці аa[i,j] real
1.4 Вихідна інформація
В програмі описаний тип mas2. Цей тип являється одновимірним масивом дійсних чисел розмірності 50. Матриця x формується в результаті перетворень над матрицею а і обчислень всередині програми.
ПоказникІдентифікаторЗначністьТипматриця xamas1розмірність матриці x n1..50integerелемент матриці xa[i,j] real
2. Практична частина
2.1 Архітектура програми
Програма Gays призначена для обчислення системи лінійних рівнянь методом Гаусса. Програма складається з головної програми і шести процедур:
Vvid
Mriv
Dil
Nkoef
Nevid
Result
Текст програми (Додаток ), блок-схеми всіх процедур і головної програми подані в додатках.
Процедура vvid призначена для введення кількості рівнянь, коефіцієнтів при невідомих і вільних членів (Додаток ).
Процедура mriv призначена для того, щоб поміняти провідне рівняння, якщо провідний коефіцієнт рівний нулю, на те, де ведучий коефіцієнт відмінний від нуля. Це рівняння автоматично стає ведучим (Додаток ).
Процедура dil призначена для ділення коефіцієнтів провідного рівняння на провідний коефіцієнт (Додаток ).
Процедура nkoef призначена для обчислення нових коефіцієнтів при невідомих (Додаток ).
Процедура nevid призначена для обчислення невідомих шляхом арифметичних перетворень над зведеною до трикутної форми матрицею коефіцієнтів і вільних членів системи рівнянь(Додаток ).
Процедура vuvid призначена для виводу на екран результатів виконання програми (Додаток ).
Головна програма призначена для виклику процедур. Спочатку викликається процедура vvid. Процедури mriv, dil, nkoef викликаються в циклі, кількість повторень якого на одиницю менше від кількості рівнянь. На цьому прямий хід розвязку системи лінійних рівнянь методом Гаусса закінчується.
Після цього викликається процедура nevid, яка реалізує зворотній хід розвязку системи пошук невідомих (Додаток ).
Останньою викликається процедура vuvid (Додаток ).
2.2 Опис програми
{01} Назва програми;
{02} підключення модуля crt;
{03} службове слово для опису типів;
{04} опис двовимірного масиву дійсних чисел mas1;
{05} опис одновимірного масиву дійсних чисел mas2;
{06} службове слово для опису змінних;
{07} опис змінної a;
{08} опис змінної x;
{09} опис змінних b,c,d,r;
{10} опис змінних i,j,n,k,m;
{11} - {22} Процедура вводу коефіцієнтів і вільних членів
{11} ?/p>