Розв'язання задач графічним методом, методом потенціалів, методом множників Лангранжа та симплекс-методом
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
я оптимальності отриманого опорного плану застосуємо метод потенціалів [5, с. 51]. Для цього задамо нульовий потенціал першому рядку, а решту потенціалів визначимо враховуючи отримані клітинки:
В1В2В3В4потенц.А1340А23251А311потенц.2134
Визначаємо оцінки для вільних клітинок, знаходимо максимальну додатну оцінку (4) в клітинці А3В4 і позначаємо для неї цикл [5, с. 51]:
В1В2В3В4потенц.А1-3-30А2(+)-1(-)1А3(-)-414(+)1потенц.2134
В вершинах циклу зі знаком (-) вибираємо мінімальне значення (20) у клітинці А2В4 опорного плану. Додаємо його до вершин циклу зі знаком (+) і віднімаємо його від вершин циклу зі знаком (-):
В1В2В3В4ЗапасиА160600А250500А340200Потреби0000
При цьому вартість перевезення для цього поліпшеного опорного плану:
60*3 + 60*4 + 50*3 + 50*2 + 40*1 + 20*1 = 730
Для визначення оптимальності поліпшеного опорного плану знову застосуємо метод потенціалів задамо нульовий потенціал першому рядку, а решту потенціалів визначимо враховуючи отримані клітинки:
В1В2В3В4потенц.А1340А232-1А311-3потенц.4334
Визначаємо оцінки для вільних клітинок:
В1В2В3В4потенц.А1-1-10А2-3-2-1А3-6-3-3потенц.4334
Оскільки всі отримані оцінки не більші нуля, то останній опорний план є оптимальним [5, с. 51]. Отримуємо оптимальний план перевезення:
МаршрутКількістьВартістьА1 В360180А1 В460240А2 В150150А2 В250100А3 В14040А3 В42020Всього730
Відповідь:
Вартість оптимального плану транспортної задачі дорівнює 730.
Завдання 4. Методом множників Лагранжа знайти умовні екстремуми функцій
f = x12 + x1x2 + x22 - 3x1 - 6x2за умови x1 + x2 = 3.
Рішення.
Перепишемо умову у вигляді c(x1, x2) = 0:
x1 + x2 - 3 = 0
Тоді функція Лагранжа [5, с. 153]:
L(x1, x2, ?) = f(x1, x2) + ? c(x1, x2)
L(x1, x2, ?) = x12 + x1x2 + x22 - 3x1 - 6x2 + ?(x1 + x2 - 3)
У точці екстремуму частинні похідні функції Лагранжа дорівнюють нулю [5, с. 154]:
?L(x1, x2, ?) / ?x1 = 2x1 + x2 - 3 + ?
?L(x1, x2, ?) / ?x2 = x1 + 2x2 - 6 + ?
Отримуємо наступну систему:
2x1 + x2 - 3 + ? = 0
x1 + 2x2 - 6 + ? = 0
x1 + x2 - 3 = 0
Віднімаємо друге рівняння системи від першого і визначаємо x2:
x1 - x2 + 3 = 0
x2 = x1 + 3
Підставляємо отримане x2 в третє рівняння системи:
x1 = 0
x2 = x1 + 3 = 3
Отже точка (0; 3) умовний екстремум функції f, який дорівнює:
f(0; 3) = 32 - 6*3 = -9
Розглянемо іншу довільну точку (3; 0), для якої виконується умова задачі. Значення функції для цієї точки:
f(3; 0) = 32 - 3*3 = 0
Оскільки f(0; 3) < f(3; 0), то знайдений умовний екстремум це умовний мінімум.
Відповідь: Умовний мінімум функції f досягається в точці (0; 3) і дорівнює -9.
Список використаної літератури
1. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне програмування: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. К.: КНЕУ, 2001. 248 с.
2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы: Учебное пособие для студентов. М.: Просвещение, 1991. 176 с.
3. Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С. Математичне програмування (методичний посібник для студентів економічних спеціальностей). Чернівці: Рута, 1998. 168 с.
4. Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування: Навчальний посібник. К.: КНЕУ, 2003. 452 с.
5. Попов Ю.Д., Тюптя В.І., Шевченко В.І. Методи оптимізації. К.: КНУ, 2003. 215 с.