Розвиток теорії надання банківських послуг на прикладі ДФ АБ "Правексбанк"
Дипломная работа - Экономика
Другие дипломы по предмету Экономика
с константою ?. Хай Vx* - околиця рішення задачі (2.10), що складається з точок x ? Rm таких, що
Тоді для x0 ? Vx* метод Ньютона квадратично сходиться:
де q = L||f?(x0)||/2?2 < 1.
По теоремі 2.9 і 2.10 в умовах нашої теореми рішення x* задачі (2.10) існує і єдино. Скористаємося аналогом формули Ньютона-Лейбніца для функції f ?:
Віднімаючи з обох частин цієї рівності враховуючи, що f?? задовольняє умову Липшиця, одержуємо (ср.):
Покладемо в отриманій оцінці h = ?[f??(xn)]?1f?(xn):
(2.29)
Також необхідно довести, що якщо оборотний лінійний оператор А на Rm задовольняє оцінці А і ?, то ||A?1|| ? ???.
Оскільки f сильно опукла, в силу задачі (2.25), f??(xn) ? ??і тому (див. попер. задачу) ||[f??(xn)]?1|| ? ??1. Продовжуючи нерівність (2.19), одержуємо:
(2.30)
З допомогою (2.30) індукцією по n легко доводиться нерівність:
(2.31)
Нарешті, в силу сильної випуклості f, оскільки x* рішення задачі (2.20) і, отже, f ?(x*) = Q,
0 ? f(x*) ? f(xn) ? (f?(xn), x* ? xn) + ?||xn ? x*|| 2,
або
(f?(xn), xn ? x*) ? ?|| xn ? x*|| 2.
Але тоді
?||xn ? x*|| 2 ? (f?(x*), xn ? x*) ? ||f?(x*)||||xn ? x*||,
звідки ||f?(x*)|| ? ?|| xn ? x*||. Тоді з (2.31) слідує потрібна нерівність.
З доведеної теореми витікає, що чим менше константа Липшиця відображення x ? f ??(x), тобто чим ближче це відображення до константи, і, отже, чим ближче функція f до квадратичної, тим швидше сходиться метод Ньютона. Зокрема, якщо f квадратична: f(x) = (Ax, x)/2 + (b, x) + c, то метод Ньютона кінцевий, а саме, сходиться за один крок, причому з будь-якої початкової точки.
Якщо понизити вимоги гладкості на функцію f, наприклад, відмовитися від умов Липшиця для f ??, то швидкість збіжності, взагалі кажучи, падає.
Покажемо, що f(x)= |x|5/2 метод Ньютона сходиться лише лінійно.
Метод Ньютона навіть для сильно випуклих функцій в загальному випадку сходиться лише локально. Опишемо модифікації цього методу, які можуть володіти властивістю глобальної збіжності. Ці методи ще називають методами Ньютона Рафсона, або демпфованими методами Ньютона. Вони будуються аналогічно з градієнтними методами с перемінним кроком. Загальний вид їх такий:
xn+1 = xn ? ?n[f??(xn)]?1f?(xn).
Довжина кроку може вибиратися за допомогою алгоритму дроблення кроку, вимагаючи, наприклад, виконання нерівності:
f(xn+1)=f(xn??n[f??(xn)]?1f?(xn))?
? f(xn) ? ??n(f?(xn), [f??(xn)]?1f?(xn)),
або, як в методі самого скорішого спуска, вважаючи
?n = argmin??0{f(xn ? ?[f??(xn)]?1f?(xn))}.
Можна показати, що методи Ньютона Рафсона для сильно випуклих функцій глобально квадратично сходяться (принаймні для описаних вище алгоритмів вибору кроку), причому оддалік точки мінімуму вони сходяться лінійно.
3. ОПТИМІЗАЦІЯ БАНКІВСЬКИХ ПОСЛУГ
3.1 Дослідження анкет і їх статистична обробка
Анкетування проводилося на протязі двох тижнів серед співробітників Банку, клієнтів Банку та пересічних громадян. Всього було опитано 94 особи. Отримані результати були занесені у спеціальну таблицю для подальшої обробки. Фрагмент первинної таблиці результатів опитування подано у табл.3.1.
Таблиця 3.1. Фрагмент таблиці первинної обробки анкет
Генеральна сукупність була розділена за категоріями опитаних на три групи: 1) Клієнти, 2) Співробітники, 3) Інші особи. Це було зроблено для відокремлення очікувань банківських працівників від бажань клієнтів та інших громадян.
Ураховуючи бажання клієнтів максимізувати свій прибуток і мінімізувати свої затрати у перебільшених розмірах вибірка "Клієнти" була поділена за ознакою логічності прийняття рішення щодо активно-пасивних операцій з банком. Для цього були розрахована різниця між середнім бажаним відсотком по кредиту та середнім бажаним відсотком по депозиту по кожному з клієнтів. Всі нульові та відємні результати не ураховувались, як економічно не доцільні.
Наприклад, один з клієнтів при анкетуванні вказав, що бажав би мати 17 процентів річних по депозиту, а максимальну кредитну ставку, за споживчим кредитуванням, вказав рівною 16 процентів річних. Інший клієнт запропонував прийняти в нього депозитний вклад з процентною ставкою 20 процентів річних і попросив кредит на купівлю житла під 15 процентів річних. Оскільки банк не є благодійною установою, а організацією, метою якої є прибуток, то такого роду дані були не враховані.
Для кожної вибірки було розраховано середні значення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та їх похибки за ставками по різним видах кредиту, депозиту та строками по різним видах кредиту, депозиту, з використанням формул 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.6.
Результати розрахунків зведені у табл. 3.2.-3.6.
Таблиця 3.2. Середні величини
Таблиця 3.3. Дисперсії
Таблиця 3.4. Середні квадратичні відхилення