Рішення рівнянь із параметрами

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

ідне рівняння прийме вид: z2 + (3а 2) z + а2 = 0 Це рівняння квадратне з дискримінантом, рівним (3а 2)2 4а2 = 5а2 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а2 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.

Відповідь: (0,4; 2).

3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння cos2x + asinx = 2a 7 має рішення.

Рішення: перетворимо задане рівняння:

cos2x + asinx = 2a 7; 1 2sin2х asinx = 2a 7; sin2х - asinx + a 4 = 0;

 

(sinх 2) = 0.

Рішення рівняння (sinх 2) = 0 дає:

(sinх - 2) = 0; х належить порожній множині.

sinх - = 0; х = (-1)n arcsin + ?n, n Z при ? 1. Нерівність ? 1 має рішення 2 ? а ? 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.

Відповідь: 6.

4. Указати найбільше ціле значення параметра а, при якому корінь рівняння 4х2 - 2х + а = 0 належить інтервалу (- 1; 1).

Рішення: корінь заданого рівняння рівні: х1 = (1+ )

 

х2 = , при цьому а ? .

За умовою -1 < (1+ ) < 1 < < 3,

- 1 - 3.

 

Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < < 3.

Нерівність - 3 < виконується при всіх а ? , нерівність < 3 при - 2 < а ? . Таким чином, припустимі значення параметра а лежать в інтервалі (-2; .

Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1), дорівнює 0.

Відповідь: 0.

5. При яких значеннях параметра а число корінь рівняння

2 - х = 0 дорівнює а?

Рішення: побудуємо ескіз графіка функції, в = 2 - х при цьому врахуємо, що функція в парна і її графік симетричний щодо осі ординат, у силу чого можна обмежитися побудовою тільки його правої частини ( х ? 0). Також урахуємо, що тричлен х2 - 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 в = 7, а при х = 4 мінімум, рівний 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола

в = х2 - 8х + 7 з мінімумом умін рівним - 9 при х хв = 4, і коріннями х1 = 1 і х2 = 7;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

суцільними лініями зображена частина параболи в = 2 8х + (1 < х < 7), отримана дзеркальним відбиттям щодо осі 0х частини параболи

х2 - 8х + 7 при 1 < х < 7.

(Ескіз лівої частини графіка функції при х < 0 можна одержати, відбивши ескіз правої частини графіка симетрично щодо осі 0у).

Проводячи горизонталі в = а, а N, одержуємо k крапок її перетинання з лініями ескізу графіка. Маємо:

 

а0[1; 6]789к487642Таким чином, а = k при а = 7.

Відповідь: 7.

6. Указати значення параметра а, при якому рівняння

 

х4 + (1 2а)х2 + а2 4 = 0 має три різних корені.

 

Рішення: усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.

Корінь заданого рівняння рівні:

 

х =

 

Одна з пар корінь буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а 1) = (2а 1)2 = 17 4а

4а2 4а +1 = 17 4а а = 2.

Відповідь: 2.

Указати ціле значення параметра p, при якому рівняння

cosx 2sinx = + має рішення.

Рішення: р ? 0; 2 р ? 0 р ? 2; поєднуючи припустимі значення параметра р, маємо:

 

0 ? р ? 2.

 

При р = 0 вихідне рівняння приймає вид 2sinх = 2 х належить порожній множині ( у силу обмеженості синуса).

При р = 1 вихідне рівняння приймає вид:

cosx-2sinx = +1.

 

Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить

= (- sinx 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =

 

sin (arctg(-2)) = , cosx 2sinx = , що менше +1.

 

Отже, при р = 1 рівняння рішень не має.

При р = 2 вихідне рівняння приймає вид

 

.

 

Максимальне значення різниці становить при х = arctg(- ) (при цьому sinx = , cosx = ). Оскільки > +1, то рівняння = буде мати рішення.

Відповідь: 2.

8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння не має рішення.

Рішення: х ? 0, n ? 10.

 

 

Рівняння х2 8х n(n 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n(n-10) < 0 n2 -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.

У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n ? 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.

Відповідь: 6.

9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння

 

(0 < х < ) має рішення.

 

Рішення: за умовою 1 > sinx > 0 1 < < + ,

 

1 > cosx > 0 1 < < + ,

 

Отже, 2 < а < + .

Зводячи обидві частини заданого рівняння у квадрат, маємо:

 

= а2 = а2

= а2.

 

Уведемо змінну z = . Тоді вихідне рівняння прийме вид:

z2 + 2z а2 = 0. Воно має рішення при будь-якому а, оскільки його дискримінант

D = 1 + а2 позитивний при будь-якому а.

З огляду на, що 2 < а < + , містимо, що найменше ціле значення параметра а, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.

Відповідь: 3.

Висновок

 

Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі Рівняння з параметрами, звязаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями і якоюсь мірою одержали нові.

По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формує логічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання по цій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань.

Література