Рішення задач цілочисленного програмування
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
C) задачі.
Якщо рішення (k, C) задачі завершується побудовою оптимального цілочисленного рішення x*, те m, перших його компонентів визначають рішення цілочисленної задачі; якщо серед координат х* є дробові, те один із дробових компонентів (раніше певним правилом) породжує додаткове обмеження й процес рішення повинен бути продовжений з новим рядком, що облямовує. Рядок, використовуваний раніше для облямівки, викреслюється й більше для побудови розширених задач не відновлюється.
Процедуру рішення (k, C) задачі (k=0, 1,…)і аналізу отриманого рішення назвемо великою ітерацією. Номер великої ітерації збігається з номером розвязуваної (k, C) задачі.
Результатом великої ітерації є перехід до нового (k+1, C) задачі або закінчення рішення задачі.
Уведемо: 1) осередок i, у якій будемо запамятовувати номер рядка, на підставі якої будується чергове додаткове лінійне обмеження, 2) лічильник r, що відповідає номеру проведеної великої ітерації. Позначимо x*(r, C) оптимальне рішення (r, C) задачі. Помітимо, що позначення (r, C) задача, еквівалентне (r, C), уведено в блок-схемі для зручності запису.
При деяких умовах вдається довести теорему про кінцівку першого алгоритму Гомори, що ми приведемо без доказу.
Теорема. Нехай множина оптимальних планів задачі (0, C) обмежено й виконуються наступні умови:
1) сi цілі коефіцієнти цільової функції F(x) (i =1,2,…,n),рядок цільової функції в симплексній таблиці враховується при виборі рядка для побудови правильного відсікання;
2) справедливо одне із двох тверджень: або цільова функція обмежена знизу на Сo, або задача (ц, C) має хоча б один план х.
Тоді перший алгоритм Гомори вимагає кінцевого числа більших ітерацій.
4. Другий алгоритм Гомори
Другий алгоритм Р. Гомори призначається для рішення задач, у яких вимога цілочисленності накладена на деякі змінні (зокрема й на все). Ми його розглянемо стосовно до задач частково цілочисленного типу, розуміючи, що обчислювальна схема буде справедливої й для задач, повністю цілочисленних.
Нехай в області, певної умовами:
(20)
(21)
цілі, (22)
потрібно максимізувати функцію
(23)
Метод рішення задачі (2023) ґрунтується на тій же ідеї, що й метод рішення повністю цілочисленних задач. А саме: будується область k, що при k = 0 визначається умовами (2021); вирішується отримана при цьому задача лінійного програмування (2021, 23). Якщо задача (2021, 23) виявляється розвязної, то отримане оптимальне рішення її аналізується на допустимість для вихідної задачі цілочисленного програмування (2023). Якщо знайдене рішення виявляється целочисленным, то одночасно воно буде оптимальним для (2023). Якщо оптимальне рішення (k, C) задачі виявляється неприпустимим для вихідної задачі (2023), те здійснюється побудова правильного відсікання й перехід до рішення нової задачі,
Другий алгоритм Р. Гомори формулюється у вигляді наступної теореми:
Теорема. Нехай х(k, C) оптимальне рішення (k, C) задачі, елементи відповідної йому симплексної таблиці. Якщо неціле , то
(24)
ціле,(25)
де
(26)
визначає правильне відсікання. Блок-схема другого алгоритму Р. Гомори аналогічна блок-схемі першого алгоритму Р. Гомори й відрізняється лише правилом побудови коефіцієнтів правильного відсікання.
Правило побудови правильного відсікання
Нехай x(k, C) не задовольняє умові цілочисленності, елементи симплексної таблиці, що відповідає отриманому оптимальному рішенню (k, C) задачі. Виберемо i0=min {i | i (1, 2,…,n),xi0kнеціле} і будуємо правильне відсікання по формулах (24 26).
Умови кінцівки другого алгоритму Гомори:
1) Цільова функція F(x) задовольняє умові цілочисленності. Це враховується при виборі рядка k для побудови правильного відсікання.
2) Виконано принаймні одне із двох умов:
2) цільова функція обмежена знизу на багатогранній множині = 0;
2) задача (0ц, C) має принаймні один план.
За допомогою другого алгоритму Гомори можна (у випадку n1=n) вирішувати й повністю цілочисленну задачу лінійного програмування. Однак у цьому випадку немає підстав для порівняння ефективності другого й першого алгоритмів Гомори.
5. Алгоритм Дальтона й Ллевелина
Другий алгоритм Гомори має справа із частково цілочисленними задачами лінійного програмування. Дальтон і Ллевелин розглядають широкий клас задач - частково дискретні задачі лінійного програмування й стосовно до них модифікують другий алгоритм Гомори.
Нагадаємо, що рішенням задачі дискретного програмування будемо називати вектор, координати якого належать ц області виду:
(27)
(28)
(29)
і максимізує значення функції
(30)
Будемо припускати, що , тобто і є наперед заданими числами.
Теорема. Нехай x(k, C) оптимальне рішення задачі (2728, 30), елементи симплексної таблиці, що відповідає йому.
Якщо x(k, C) є неприпустимим рішенням задачі (2730) і , тоді, використовуючи i-ю рядок симплексної таблиці, можна побудувати відсікання, що володіє властивістю правильності по формулах:
(31)
(32)
де
(33)
Доказ. Перевіримо спочатку умову відсікання. Нехай в оптимальному рішенні x(k, C) координата не задовольняє умові (29). Покажемо, що в цьому випадку вектор х(k, C) не задовольняє умовам (31, 32). Оскільки Nk множина індексів небазисних змінних xi, які в