Решение систем уравнений
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задание 1.
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса.
Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу приведем к трапециевидной форме
~ .
Следовательно, (числу неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
а) По формулам Крамера: где
.
Находим .
б) С помощью обратной матрицы где - обратная матрица к, - столбец правых частей.
.
; ; ;
; ; ;
; ; .
Решение системы
,
т.е. .
в) Наша система эквивалентна
(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц и ).
Тогда
Задание 2.
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме
~ .
Следовательно, 2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна
Откуда .
Полагая (произвольной постоянной), имеем
, .
Задание 3.
По координатам точек , , найти:
а) Модуль вектора
;
.
б) Скалярное произведение векторов и .
.
в) Проекцию вектора на вектор .
.
г) Координаты точки , делящей отрезок в отношении 1:3; . Следовательно:
Задание 4.
Даны векторы ,
c = i - 5j + 7k Необходимо:
а) Найти модуль векторного произведения .
=;
.
б) Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и .
Условие коллинеарности двух векторов
Т.к. то вектора и неколлинеарны.
Условие ортогональности двух векторов
Т.к. то вектора неортогональны.
в) Вычислить смешанное произведение трех векторов
.
.
г) Проверить, будут ли компланарны три вектора
Вектора компланарны, если
Из пункта в) следовательно, эти векторы компланарны.
Задание 5.
Даны четыре точки
Составить уравнения:
а) Плоскости
Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид
, откуда .
б) Прямой
Уравнение прямой по двум точкам
откуда
в) Прямой , перпендикулярной к плоскости .
Из уравнения плоскости следует, что вектор|| откуда уравнение имеет вид
г) Прямой , параллельной Значит, вектор и уравнение этой прямой имеет вид
д) Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой
Вектор перпендикулярен искомой плоскости.
Значит, - ее уравнение, которое приводится к виду
е) Вычислить - угла между прямой и плоскостью .
; ;
.
ж) Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .
Вектор а вектор . Поэтому
.
Задание 6.
Показать, что прямая параллельна плоскости
х + 3у - 2z + 1 = 0, а прямаях = t + 7, у = t - 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.
В общем виде уравнение плоскости имеет вид , а каноническое уравнение прямой:
Параметрическое уравнение прямой:
Если прямая параллельна плоскости, то
Значит, из условия задачи, . Следовательно, прямая параллельна плоскости.
Если прямая лежит в плоскости, то ,
Значит, из условия задачи, , Следовательно, прямая лежит в плоскости.
Задание 7.
Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.
Найдем точку пересечения прямых:
Уравнение прямой, проходящей через две точки и:
уравнение прямая система вектор
Поэтому ее уравнение запишем как оно приводится к виду