Решение нелинейных уравнений
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Лабораторная работа
Решение нелинейных уравнений
Постановка задачи
[0,1; 2]
Решить нелинейное уравнение шаговым методом, методом половинного деления, методом Ньютона и методом простой итерации.
Вычислим шаг по формуле:
h=
h=0,1.
1. Теоретическая часть
Шаговый метод
Суть метода:
) Разбиение промежутка на число n интервалов.
) Вычисление таблицы значения функции при изменении величины на интервале [a, b] с шагом h.
Из анализа таблицы на предмет смены знака выбираем интервал изоляции корня.
Методы уточнения корня
Метод половинного деления
Суть метода:
Метод основан на последовательном сужении интервала, пока длинна интервала не станет меньше заданной точности eps.
Алгоритм:
) Найти первый вариант корня по формуле: х=(а+b)/2. Где [a, b] - интервал изоляции корня, найденный в шаговом методе.
) Затем нужно найти значение функции в точках а и х.
) Проверить условие F(a)*F(x)<0, если условие выполнено, то корень расположиться на отрезке [a, x], в этом случае точку b нужно переместить в точку x, если условие не выполнено, то корень находится на отрезке [x, b], в этом случае точку а нужно переместить в точку х.
) Перейти к первому пункту.
Алгоритм продолжается до тех пор пока не выполнится условие F(x)<eps.
Метод Ньютона
Условия сходимости корня:
) F(x) на интервале [a, b] должна быть непрерывна и монотонна.
) Начальное приближение к корню должно быть выбрано на одной из границ по условию:
F(x0)*F (x0)>0.
Геометрически это означает, что первая касательная, проведенная в точке x0, к кривой F(x0) должна пересекать ось х на интервале [a, b].
Выполняя построение касательных в точках (xi, F(xi)) - получаем последовательность {xi+1} до тех пор, пока не выполнится критерий точности.
Метод простой итерации
Метод простой итерации основан на замене исходного уравнения F(x)=0 эквивалентным уравнением x=S(x) которое получается из исходного уравнения, если мы выражаем из него х.
Окончательное значения выбирается из нескольких вариантов проверяемых условием |S (x)|<1 где х принадлежит интервалу [a, b].
. Реализация в Mathcad
1) Задание диапазона значений Х от 0.1 до 2 с шагом 0.1
) Описание функции f(x)
Ответ: 1.375
3. Реализация в С++
Шаговый метод
Текст программы:
#include stdafx.h
#include
#include
#define n 20
#define co 0.000001
using namespace std;f (double x)
{return sin (log(x)) - cos (log(x))+2*log(x);
}main()
{xn, xk, h, a, b;(vvedi xn, xk\n);>>xn>>xk;=fabs (xk-xn)/n;ma[n], mb[n];k=0; a=xn; b=a+h;(b<=xk+h/100.)
{(f(a)*f(b)<0) {ma[k]=a; mb[k]=b; k++;}=b; b=b+h;
}(k==0) printf (\n net solutions!\n);{printf(\n number roots k=%d\n, k);(\n intervalj:\n);(\n a \t b\n);(int i=0; i<k; i++) printf (\n % 5.2f \t % 5.2f\n, ma[i], mb[i]);
}st; cin>>st;
}
Вывод:
нелинейный уравнение mathcad итерация
4. Метод Ньютона
Текст программы:
#include stdafx.h
#include
#include
#define n 100namespace std;f (double x)
{return sin (log(x)) - cos (log(x))+2*log(x);}f1 (double x)
{return (cos (log(x))+sin (log(x))+2)/x;
}f2 (double x)
{return (-2*sin (log(x))+1)/pow (x, 2);
}main()
{double a, b, c, x, xkor;eps=0.001;(vvedi a, b\n);
cin>>a>>b;
// выбор начального приближения
if (f(a)*f2 (a)>0) x=a;x=b;(\n nachalnoe priblizhenie kornya x0= \n, x);k=0;(fabs(f(x))>eps)
{k++; x=x-f(x)/f1 (x);
} xkor=x;(\n koren x=\n, xkor);(\n chislo shagov interacii po metody Nutona k=%d \n, k);st; cin>>st;
}
Вывод:
5. Метод половинного деления
Текст программы:
#include stdafx.h
#include
#include
#define n 100namespace std;f (double x)
{return sin (log(x)) - cos (log(x))+2*log(x);
}main()
{double a, b, c, xkor;eps=0.001;(vvedi a, b\n);>>a>>b;k=0;(fabs(b-a)>eps)
{k++;=(b+a)/2.;(f(a)*f(c)<=0) b=c;a=c;
}=(a+b)/2.;(\n koren x=%6.3f\n, xkor);(\n number shagov interacii k=%d\n, k);st;>>st;
}
Вывод: