Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
±нее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:
- если
, т.е. если , то система (3) имеет два решения;
- если
, то система (3) имеет три решения;
- если
, то система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) это четыре. И это имеет место, когда
.
Ответ:II. Неравенства с параметрами.
1. Основные определения
Неравенство
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x), (1)
где a, b, c, …, параметры, а x действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
(a, b, c, …, , x) и
(a, b, c, …, , x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
(a, b, c, …, , x) и
(a, b, c, …, , x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
(a, b, c, …, , x0)>(a, b, c, …, , x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
2. Алгоритм решения.
- Находим область определения данного неравенства.
- Сводим неравенство к уравнению.
- Выражаем а как функцию от х.
- В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
- Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
- Исследуем влияние параметра на результат.
- найдём абсциссы точек пересечения графиков.
- зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+
- Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .
Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ:
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.
- Находим область допустимых значений
- Построим график функции в системе координат хОу.
- при
неравенство решений не имеет.
- при
для решение х удовлетворяет соотношению , где
Ответ: Решения неравенства существуют при
, где , причем при решения ; при решения .
IV. Решить неравенство
Решение.
- Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
- Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к. то
Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
точканеравенство: вывод1-2+3-4+5-6+7-8+9-
5. Найдем точки пересе?/p>