Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
? р мал, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .
Таким образом,
№ 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение ?(Х).
хі2 3458 рі 0,25 0,15 0,270,080,25
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ? хірі = 2•0,25 + 3•0,15 + 4•0,27 + 5•0,08 + 8•0,25 = 4,43.
i=1
5
D(X) = ? xipi M = 2•0,25 + 3•0,15 + 4•0,27 +5•0,08 + 8•0,25 4,43 і=1
= 5,0451.
?(Х) = vD(X) = v5,0451 = 2,246.
№ 32
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) F(a) P= F(1) F=
Графики функций приводятся далее.
№ 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (?; ?) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение ?. Данные: ? = 5; ? = 14; а = 9; ? = 5.
Используя формулу имеем
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
№ 52
По данному статистическому распределению выборки
хі7,68 8,48,89,29,61010,4 mі68 16 503015 7 5
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
где С одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h это шаг (у нас h = 0,4).
Пусть С = 8,8. Тогда
Заполним таблицу:
ximixiximi(xi)mi7,6 6 3 185488 2 16328,416 1 16168,8500009,230130309,615230601073216310,4542080? = 137? = 51? = 335
Используя таблицу, найдём
;
D(x) = ?(xi)mi (xi) = 0,3723 = 2,3067.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
x = xh + C = 0,3723•0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x)•h = 2,3067•0,4 = 0,3961;
?(x) = vD(x) = v0,3961 = 0,6075.
№ 62
По данной корреляционной таблице
у х4812162024ny10257206841830846106440520429503142522nx219624863n = 140
найти выборочное уравнение регрессии.
Для упрощения расчетов введём условные переменные
Составим таблицу.
v u 2 10123nvnuvuv 22 45 2718 16 18 04 118208 046 010 064015 020 14 2292823 014 22 45 62266nu219624863n = 140? = 114
Последовательно получаем:
;
;
;
;
?u = (u) = 0,9 0,329 = 0,792; ?u = v0,792 = 0,89;
?v = (v) = 1,164 0,293 = 1,079; ?v = v1,079 = 1,0385;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 114.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = 0,329•4 + 12 = 13,314; y = v•h2 + C2 =0,293•10 + 30 = 32,929;
?x = ?u•h1 = 0,89•4 = 3,56; ?y = ?v•h2 = 1,0385•10 = 10,385.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению: ух=12 = 2,266•12 + 2,752 = 29,944; ?1 = 30,484 29,944 = 0,54;
2) при х = 16 по таблице имеем
по уравнению: ух=16 = 2,266•16 + 2,752 = 39,008; ?2 = 39,167 39,008 = 0,159.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.