Рациональные уравнения и неравенства
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?ет: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.
Пример 3.13. Решить уравнение x6 5x3 + 4 = 0
Решение. Обозначим y = x3, тогда исходное уравнение принимает вид
y2 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y1 = 1; Y2 = 4.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности
уравнений: x3 = 1 или x3 = 4, т. е. X1 = 1 или X2 = 34
Ответ: 1; 34.
Пример 3.14. Решить уравнение (x3 27) / (x 3) = 27
Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
(x 3)(x2 + 3x + 9) / (x 3) = 27 . Отсюда:
x2 + 3 x + 9 = 27,
x 3 0;
x2 + 3 x 18 = 0,
x 3.
Квадратное уравнение x2 + 3 x 18 = 0 имеет корни X1 = 3; X2 = -6
(X1 не входит в область допустимых значений).
Ответ: -6
Пример 3.15. Решить уравнение
(x2 + x 5) / x + (3x) / (x2 + x 5) = 4.
Решение. Обозначим y= (x2 + x 5) / x, тогда получаем уравнение y + 3 / y = 4.
Преобразуем его: y + 3 / y 4 = 0, (y2 4y + 3) / y = 0, отсюда
y2 4y + 3 = 0,
y 0
Квадратное уравнение y2 4y + 3 = 0 имеет корни Y1 = 1; Y2 = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).
Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений
(x2 + x 5) / x = 1 или (x2 + x 5) / x = 3.
Преобразуем их:
(x2 + x 5) / x 1 = 0 или (x2 + x 5) / x 3 = 0;
x2 5 = 0,
x 0
или
x2 2x 5 = 0,
x 0;
X1 = 5; X2 = 5 или X3 = 1 + 6; X4 = 1 6
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).
Ответ: 5; 5; 1 + 6; 1 6 .
Пример 3.16. Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.
Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение
(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x) = 72.
Обозначим y = x2 + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или
y2 + 6y 72 = 0.
Корни этого уравнения: Y1 = 6; Y2 = 12.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
x2 + 5x = 6 или x2 + 5x = 12.
Первое уравнение имеет корни X1 = 1; X2 = 6. Второе уравнение корней не имеет, так как D = 26 48 = 23 < 0.
Ответ: 6; 1.
Пример 3.17. Решить уравнение 4x2 + 12x + 12 / x + 4 / x2 = 47.
Решение. Сгруппируем слагаемые: 4(x2 + 1 / (x2)) + 12(x + 1 / x) = 47.
Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что
y2 = (x +1 / x)2 = x2 +2 + 1 / (x2),
отсюда x2 + 1 / (x2) = y2 2. С учётом этого получаем уравнение
4(y2 2) + 12y = 47, или 4y2 + 12y - 55 = 0.
Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = 11 / 2.
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = 11 / 2.
Решим их:
x + 1 / x 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;
2x2 5x + 2 = 0,
x 0
или
2x2 + 11x + 2 = 0,
x 0;
X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = ( - 11 + 105) / 4; X4 = ( -11 - 105) / 4
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).
Ответ: 2; 0,5; ( - 11 + 105) / 4; (-11 - 105) / 4.
Пример 3.18. Решить уравнениеx3 x2 9x 6 = 0.
Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. Кандидатами в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа
1, 2, 3, 6.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что X = -2 является его корнем.
Разделим многочлен x3 x2 9x 6 на двучлен x + 2
x3 x2 9x 6 = (x + 2)(x2 3x 3) = 0.
Решив теперь уравнение x2 3x 3 = 0,
получаем X2 = (3 - 21) / 2, X3 = (3 + 21) / 2.
Ответ: x {-2; (3 - 21) / 2; (3 + 21) / 2}.
Пример 3.19.
x3 x2 8x + 6 = 0.
Решение. Здесь an = 1, a0 = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: 1, 2, 3, 6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 9 24 + 6 = 0.
Делим (x3 x2 8x + 6) на (x 3)
Получаем: x3 x2 8x + 6 = (x 3)(x2 + 2x 2), т.е. данное уравнение можно представить в виде (x 3)(x2 + 2x 2) = 0. Отсюда находим, что x1 = 3 решение, найденное подбором, x2,3 = 1 3 из уравнения x2 + 2x 2 = 0.
Ответ: x1 = 3; x2,3 = 1 3.
Пример 3.20.
4x4 + 8x3 + x2 3x 1 = 0.
Решение. Здесь an = 4, a0 = 1. Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел: 1; 0,5; 0,25 (делители 4 есть 1; 2; 4, делители ( 1) есть 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 3 1 0; если x = 0,5, то
4 / 16 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 1 = 0, т.е. x = 0,5 корень уравнения. Делим
(4x4 + 8x3 + x2 3x 1) на (x + 0,5):
Данное уравнение можно представить в виде: (x + 0,5)(4x3 + 6x2 2x 2) = 0.
Отсюда x1 = 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x3 + 6x2 2x 2 = 0, т.е. 2x3 + 3x2 x 1 = 0. Аналогично находим корень этого уравнения: x = 0,5. Снова делим.
Имеем: (x + 0,5)(2x2 + 2x 2) = 0. Отсюда x2 = 0,5 и x3,4 = ( 1 5) / 2.
Ответ: x1 = x2 = 0,5; x3,4 = ( 1 5) / 2.
Замечание: зная, что x = 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x3 + 3x2 x 1 = 0 следует:
2x3 + 3x2 x 1 = 2x3 + x2 +2x2 + x 2x 1 = 2x2(x + 0,5) + 2x(x + 0,5) 2(x+0,5) =
= (x +2)(2x2 + 2x 2) = 0.
x1 = 0,5; x3,4 = ( 1 5) / 2.
Возвратные уравнения.
Уравнение вида
anxn + an 1 xn 1 + … +a1x + a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если
an 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
где a, b и c некоторые числа, причём a 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:
- разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a 0;
- группировкой привести полученное уравнение к виду
a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;
- ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено
t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2 2;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
at2 + bt + c 2a = 0;
- решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.
Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени