Разработка программы моделирования СМО
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
истем может описываться в рамках схемы гибели и размножения. Рассмотрим эту схему в общем виде и решим соответствующую систему алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей состояний системы в стационарном режиме.
На рисунке 1.2 представлен граф состояний системы, описываемой процессом гибели и размножения.
Рисунок 1.2. Граф состояний системы, описываемой процессом гибели и размножения
Для нулевого состояния алгебраическое уравнение Колмогорова имеет вид:
. (1.1)
Для первого состояния алгебраическое уравнение Колмогорова имеет вид:
В силу (1.1) можно сократить равные друг другу члены и получим:
Аналогичные уравнения получаются для всех состояний системы. В результате система уравнений Колмогорова имеет вид:
(1.2)
Для решения системы (1.2) из первого уравнения выразим :
Из второго уравнения выразим :
Аналогично вероятности всех состояний выражаются через . Подставим полученные выражения в нормировочное условие:
,
Откуда
.
Остальные вероятности находятся через p0.
1.4.4 Формулы для расчета разомкнутой СМО на основе систем уравнений Колмогорова
Для нахождения предельных вероятностей состояний составляется система уравнений Колмогорова [8]. Ниже приведены конечные формулы для расчета предельных вероятностей состояний, выведенные из системы уравнений Колмогорова. Характеристики эффективности функционирования системы рассчитываются на основе предельных вероятностей состояний.
Вероятности состояний системы:
, , ,
Вероятность загрузки системы:
.
Вероятность отказа в обслуживании: .
Относительная пропускная способность:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число требований в очереди:
Среднее время ожидания в очереди:
.
Среднее число заявок в системе:
Среднее число занятых каналов:
Среднее время пребывания требования в системе:
.
1.5 Законы распределения интервалов поступления и обслуживания заявок, используемые для генерации случайных чисел
В демонстрационной программе предусмотрено моделирование интервалов между поступлениями требований и интервалов обслуживания по трем законам. Таким образом, пользователь может комбинировать различные законы на поступление и обслуживание и отслеживать их влияние на функционирование системы. Далее рассмотрим подробнее эти законы.
1.5.1 Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне него равна нулю.
Постоянная величина C может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.
Рисунок 1.3 - График функции плотности распределения
Получаем . Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a, b].
Рисунок 1.4 - Функция распределения
Для того чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны. Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения [4].
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:
Случайная величина X, распределенная по равномерному закону в пределах [a; b], обычно моделируется на компьютере по простейшему алгоритму [3]:
X = Math.random()*(b-a)+a
Где Math.random() - функция генерации случайного числа по равномерному закону, в интервале [0; 1].
1.5.2 Нормальный закон распределения
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Можно легко показать, что параметры mx и ?x, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Найдем функцию распределения F(x).
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
-функция определена на всей числовой оси;
-при всех х функция распределения принимает только положительные значения;
-ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю;
-найдем экстремум функции,
т.к. при y > 0 при x m, то в точке х = m