Разработка калькулятора, решающего системы уравнений с тремя неизвестными
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Введение
В настоящее время компьютеры способны облегчить работу человеку в любой сфере деятельности, так как с помощью вычислительных машин есть возможность автоматизировать многие задачи, тем самым сэкономить время на повторяющихся действиях. Компьютеры могут производить труднейшие для человека вычисления за секунды, а также исключают ошибки вычислений.
Огромное быстродействие вычислительных машин открывает новые широкие возможности для применения общих математических методов исследования в проблемах разных ветвей науки.
В данной курсовой работе рассматривается задача разработки программы, имитирующей работу калькулятора, где вид обрабатываемых данных: система уравнений с тремя неизвестными.
В первом разделе рассмотрена математическая модель задачи нахождения решений матричного уравнения.
Во втором разделе рассмотрено проектирование программного модуля, также описана схема модуля и рассмотрен пользовательский интерфейс.
В третьем разделе рассмотрен тест программного модуля.
1. Постановка задачи
.1 Математическая модель задачи
Системой уравнений называют множество уравнений с n неизвестными(n ? 2), для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными , ,…, или линейной системой, называется система вида
++…+=,
++…+=,
. . . . . . . . . . . . . . . . .
++…+=, (1.1)
где , - числа. Числа (i = 1, 2, …,m; k = 1, 2, …, n) называются коэффициентами, (i = 1, 2, …, m) - свободными членами. Коэффициенты обозначены буквой c двумя индексами i и k : первый указывает номер уравнения, второй - номер неизвестной, к которой относится данный коэффициент.
Решением линейной системы (1.1) называется упорядоченная совокупность n чисел , , …, , (1.2)
Подстановка которых вместо , ,…, соответственно (=, =, …, =) обращает в тождество каждое из уравнений этой системы.
Линейную систему (1.1) можно записать в матричном виде. Матрица
=, (1.3)
составленная из коэффициентов линейных уравнений системы (1.1), называется основной матрицей системы. Матрица
=, (1.4)
полученная из основной присоединением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы (1.1).
Рассмотрим столбцовые матрицы, составленные из неизвестных и свободных членов:
X =, B =. (1.5)
Поскольку матрица А согласована с матрицей Х (число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Х ), то можно найти произведение
АХ =.
Элементами этой столбцовой матрицы являются левые части уравнений системы (1.1), поэтому на основании определения равенства матриц
АХ = В. (1.6)
Таким образом, система линейных уравнений записана в виде одного матричного уравнения (1.6), где А, Х, В определяются формулами (1.3) и (1.5); эта запись системы называется матричной.
Каждой линейной системе соответствует единственная пара матриц А, В и обратно: каждой паре матриц - единственная система. Система (1.1) может быть записана в таком виде
…. (1.7)
Если ( , , …, ) - решение системы (1.1), то матрица
С = (1.8)
Называется вектор-решением этой системы. Матрица (1.8) удовлетворяет уравнению (1.6).
Определителем системы n линейных уравнений с n неизвестными , ,…,
++…++…+=,
++…++…+=,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.9)
++…++…+=
Называется определитель матрицы из коэффициентов уравнений этой системы:
? =. (1.10)
Обозначим через определитель, полученный заменой в определителе ? столбца из коэффициентов при неизвестной столбцом свободных членов системы (6.9):
=, (1.11)
где k =1, 2,…, n.
Линейная система (1.9) называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля (? ? 0).
Теорема 1. Невырожденная линейная система (1.9) имеет единственное решение
, , …, , (1.12)
где ? и (k = 1, 2, …, n) определены соответственно формулами (1.10) и (1.11). Эта теорема называется теоремой Крамера, а формулы (1.12) - формулами Крамера.
Следствие из теоремы Крамера: Если однородная линейная система
++…+= 0,
++…+= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . .
++…+= 0
имеет ненулевое решение, то ее определитель ? равен нулю.
Систему (1.9) n линейных уравнений с n неизвестными можно записать в матричном виде АХ = В, (1.13)
Если система является невырожденной, т.е. det A ? 0, то она имеет единственное решение
, (1.15) где - матрица, обратная матрице А, а B определяется третьей из формул (1.14).
1.2 Входные данные
Входными данными для решения поставленной задачи является значения коэффициентов матрицы А и матрицы В. При необходимости отредактировать исходные данные надо сначала ввести индекс редактируемого элемента, а затем только нужное значение коэффициента матрицы. Все значения вводятся с клавиатуры. Входные данные в курсовом проекте приведены в таблице 1.
Таблица 1 - Входные данные
НазваниеОбозначениеДиапазон возможных значений123Пункт меню 1сh 21-5 3Значения коэффициентов матрицы А А[i][j]Ограничений нетЗначения коэффициентов матрицы ВB[i]Ограничений нетИндекс редактируемого элемента[i][j]1-3
1.3 Выходные данные
Результатом работы программы является нахождение коэффициентов матрицы Х. Выходные данные представлены в таблице 2.
Таблица 2 - Выходные данные
НазваниеВид представленияВыводИсходную матрицу