Разработка и реализация численных алгоритмов. Полиномиальная интерполяция
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Содержание
Введение
. Анализ предметной области
.1 Основы численного метода
.2 Интерполирование и приближение функции
.3 Интерполяция методом Лагранжа
. Анализ требований
. Проектирование
. Руководство программиста
. Руководство пользователя
. Тестирование
Заключение
Введение
Численные методы изучают вопросы построения, применения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов математических задач. В настоящее время большинство вычислительных алгоритмов ориентировано на использование быстродействующих ЭВМ. Следует отметить некоторые особенности численных методов. Во-первых, для численных методов характерна множественность, т. е. возможность решить одну и ту же задачу различными методами. Во-вторых, вновь возникающие естественнонаучные задачи и быстрое развитие вычислительной техники вынуждают переоценивать значение существующих алгоритмов и приводят к созданию новых.
Целью моей курсовой является разработка и реализация численных алгоритмов, нахождение интерполяционного полинома методом Лагранжа.
1. Анализ предметной области
.1 Основы численного метода
Эффективное решение крупных естественнонаучных и народнохозяйственных задач сейчас невозможно без применения быстродействующих электронно-вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом. Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на рис. 1. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования (I) и строится соответствующая математическая модель (II), представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. д.).
Рис. 1. Схема вычислительного эксперимента
После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Но помимо самого решения, необходимо еще изучить качественное поведение решения и найти те или иные количественные характеристики. Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов (см. III на рис. 1). Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели (дискретная модель), которая доступна для реализации на ЭВМ. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел. Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу для ЭВМ (см. IV на рис. 1) или воспользоваться готовой программой. После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов (V). Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.
Необходимо подчеркнуть, что процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности. Так, построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.
При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления. Поясним причины возникновения таких погрешностей. Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа: а) формулировка дискретной задачи, б) разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Как уже отмечалось, дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Невозможно найти решение такой системы точно и в явном виде. Поэтому приходится использовать тот или иной численный алгоритм решения системы алгебраических уравнений. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (иногда ее называют вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ. и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.
Алгоритм называется устойчивым, если в процессе его работы вычислительные погрешности возрастают незначительно, и неустойчивым - в противоположном случае. При использовании неустойчивых вычислительных алгоритмов накопление