Программная модель поиска глобального минимума нелинейных "овражных" функций двух переменных
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Содержание
Введение
1. Пояснительная записка
1.1 Нелинейное программирование
1.2 Численные методы в задачах без ограничений
1.2.1 Общая схема методов спуска
1.2.2 Градиентные методы
1.2.3 Метод наискорейшего спуска
2. Инструментальные программные средства
3. Блок-схема алгоритма моделирования
4. Операционная среда
5. Контрольная задача
Заключение
Литература
Приложение
Введение
Проблема выбора оптимального варианта решения относится к числу наиболее актуальных технико-экономических проблем. В математической постановке она представляет собой задачу минимизации (максимизации) некоторого функционала, описывающего те или иные характеристики системы.
Численное решение оптимизационных задач на ЭВМ сводится к поиску экстремума функции многих переменных. Таковы задачи оптимального управления и идентификации, задачи супервизорного управления, оптимизационного проектирования и планирования.
Среди различных типов оптимизационных задач особое место занимают задачи оптимизирования невыпуклых детерменированных функций с единственной точкой экстремума.
Эти задачи представляют интерес с различных точек зрения. Прежде всего не выпуклость порождает большие аналитические сложности при разработке методов решения унимодальных задач. Как известно, аналитические методы развиты для значительно простых задач.
Для линейных, квадратичных, выпуклых задач разработаны различные численные методы решения, доказана сходимость методов, получены оценки скорости сходимости.
Ничего подобного не сделано для унимодальных задач общего вида, исключая задачи минимизации функции одной переменной. На практике класс унимодальных задач не является чем-то необычным. Имеются многочисленные примеры, когда в интересующей нас области определения функции существует лишь один экстремум. Если при этом оптимизируемая функция имеет сложный вид или задана неявно, то ее выпуклость ничем не гарантируется. В этой ситуации естественно применим метод оптимизации, ориентированный на худший случай, т.е. на не выпуклость функции.
При этом, число работ, посвященных унимодальным задачам, сравнительно не велико. Аналитические методы исследования невыпуклых задач не разработаны из-за принципиальной сложности, численные методы, как правило, ориентированы на более простые классы задач.
1. Пояснительная записка
1.1 Нелинейное программирование
Унимодальные функции. Выделим класс функций, обладающих, с вычислительной точки зрения, важным свойством. А именно: функция f называется унимодальной на отрезке [a,b], если она имеет на этом отрезке единственную точку глобального минимума Xmin и слева от этой точки является строго убывающей, а справа строго возрастающей (см. рис. 1). Другими словами, функция f унимодальная, если точка Xmin существует и единственна, причем для любых двух точек х1, х2 [a,b] таких, что х1f(x2).
Самого факта унимодальности недостаточно для получения аналитических результатов или построения эффективных числовых методов. В тоже время распространенная трактовка выпуклых задач как хорошего модального объекта для задач одноэкстримальных теоретически не состоятельна - сложность классов выпуклых задач несравненно ниже, чем унимодальных. [1]
Информационная сложность (нижняя граница оценки трудоемкости) задач минимизации непрерывных функций общего вида крайне велика, причем именно унимодальность (а не многоэкстремальность) является причиной такой сложности. В работе [2] отмечено, что информационная сложность класса унимодальных задач фантастически велика. С точки зрения авторов книги [1], поиск универсальных методов решения унимодальных задач бесперспективен. Поэтому остается один путь разработка специализированных методов для более узких классов задач.
Задача безусловной минимизации унимодальной функции многих переменных записывается обычно таким образом:
f(x)min, xR (1.1)
Далее будем полагать, что f(x) достаточное число раз дифференцируемая функция, которая в некотором диапазоне, разумном с точки зрения содержания задачи, имеет один экстремум. Точка X, в которой достигается минимум, называется решением задачи. Известно, что f(x) = 0, где f(x) градиент f(x) в точке Х, а гессиан, если он существует в точке Х, является положительно определенной матрицей.
Наиболее изучен класс квадратичных функций многих переменных:
F(x) = (Ax,x)/2 + (b,x) + e, (1.2)
здесь А симметрическая, положительно определенная матрица; b вектор. Задача минимизации такой функции в принципе может быть решена аналитически, дифференцирование F(x) и приравнивание нулю производных дают систему линейных уравнений. В силу невырожденности матрицы система имеет единственное решение.
Квадратичные одноэкстримальные функции (1.2) принадлежат к более широкому классу строго выпуклых функций. Функция f(x) называется строго выпуклой, если для любых точек х1 и х2 из области ее определения имеет место неравенство:
F(x1+(1-)x2)< f(x1)+(1-)f(x2), (0,1).
Строго выпуклые функции унимодальные и обладают достоинством, облегчающим исследование и процесс численной минимизации, - это строгая выпуклость, а следовательно, одноэкстримальность вдоль любого направле?/p>