Проблема Ферма для простых показателей больше 3
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
?льзуемся результатами для r1, r2 и r3 и, отбрасывая в разложении биномов числа кратные K2, получим сравнения:
r1P = (1K + )P (P1KP-1 + P) mod K2,
r2P = (2K + )P (P2KP-1 + P) mod K2, r3P = (2K + )P (P3K P-1 + P) mod K2
Отсюда
r1P r2P P1KP-1 - P2KP-1 PKP-1(1 - 2) 0 mod K2,
r1P r3P P1KP-1 - P3KP-1 PKP-1(1 - 3) 0 mod K2,
r2P r3P P2KP-1 - P3KP-1 PKP-1(2 - 3) 0 mod K2.
Так как для 2-го случая ПФ справедливо условие (P, K) = 1, то
1 - 2 0 mod K,
1 - 3 0 mod K,
2 - 3 0 mod K, отсюда с учетом условия (1, 2 и 3) < K получим
1 = 2 = 3. Пусть 1 = 2 = 3 = 0, тогда
r1 = 0K + ,
r2 = 0K + ,
r3 = 0K + , а значит
r1 = r2 = r3, что и требовалось доказать.
Пусть r1 = r2 = r3= r0, тогда из
r1r2r3 = r03 - 1 mod K2 r03 + 1 (r0 + 1)( r02 r0 + 1) 0 mod K2.
Одно из множителей левой части полученного сравнения должно делиться на K2
Пусть r0 + 1 0 mod K2 r0 -1 mod K2, тогда из (4) следует
r0Pr0P r0P 1mod K2 (-1)P(-1)P 1 (-1)P - 1 mod K2 3 0 mod K2, что не возможно так как модуль K > 3.
Следовательно, множитель r0 + 1 не может делиться на K2.
Тогда r02 r0 + 1 0 mod K2.
Сравним трехчлен X + Y Z по модулю K2.
Пусть X + Y Z 0 mod K2, тогда с учетом начальных сравнений имеем
r0Z + (-r0X) Z r0Z +(-r0r0Z) Z - Z( r02 r0 + 1) 0 mod K2, отсюда левая часть полученного сравнения делиться на K2, тогда и 0 должно делиться на K2, т.е.
0 0 mod K2, а это значит, что
X + Y Z 0 0 mod K2, но
X + Y Z = K d0d1d2, тогда Kd0d1d2 0 mod K2 d0d1d2 0 mod K, что не возможно так как (d0,K) =1, (d1,K) =1, (d2,K) =1.
Пришли к противоречию.2-ой случай ПФ для простых показателей P вида 6n + 5 доказан.
Используя элементарные алгебраические преобразования многочленов и, метод сравнения чисел по модулю, удалось доказать справедливость Утверждения Пьера Ферма для всех простых показателей > 3.
Известно, что Леонард Эйлер нашел решение ПФ для простого показателя Р =3.
Предложенная в настоящей работе методика позволяет решить1-ый случай ПФ для P =3.
Так очевидное сравнение X3 + Y3 Z3 0 mod K после преобразования левой части примет вид (X + Y Z)3 + 3Z(X + Y)(X + Y Z) 3XY(X + Y) 0 mod K 3XY(X + Y) 0 mod K.
Так как для 1-го случая K = P2 = 32, то полученное сравнение невозможно и тем самым 1-ый случай ПФ доказан.
Для 2-го случая необходимо доказать, что K > 1, что автору сделать не удалось.
Библиографический список
- Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1973.
- Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965.
- Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. М.: Просвещение, 1974. Ч. 1.
- Ожигова Е.П. Что такое теория чисел. М.: Знание, 1970.
- Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982.
- Постников М.М. Теорема Ферма. М.: Наука, 1978.