Приближенное вычисление квадратных корней
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
риближение . Тогда, если найдено приближенное значение , то следующее выражается формулой:
.
При этом каждый следующий шаг приводит ко все более точным приближениям для . Полученная формула является частным случаем формулы (1), в которой некоторое действительное число .
По формуле (1) можно найти приближенное значение для , оно приблизительно равно 1,414213562.
Правило нахождения приближенного значения квадратного корня из любого натурального числа было известно ещё математикам древнего Вавилона более 4000 лет назад. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.
Формула, с помощью которой вычислялись последовательные приближения по Вавилонскому способу, может быть записана следующим образом:
.
В данном случае в качестве функции берется , где - это число, корень которого нужно найти. В работе выясняется точность Вавилонского способа.
Этот метод был известен ещё в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Потом этот способ был заброшен, но сейчас его применяют для извлечения квадратных корней на калькуляторах и вычислительных машинах.
Работа над данным исследованием показала, что изучение квадратных корней - объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор. Помимо того, бывают ситуации, когда использование калькулятора недопустимо, например, ЕГЭ.
Хотелось бы выбрать оптимально рациональный способ извлечения квадратных корней. Конечно же, арифметический способ и особенно способ грубой оценки, просты в использовании, но не точны, хотя вполне пригодны для первого приближения. К тому же при применении этих способов извлечения квадратных корней любая ошибка, допущенная в каком-то месте, полностью обесценивает дальнейшие вычисления. Иначе состоит дело при применении Вавилонского способа или способа последовательных приближений. Хоть он и трудоемкий, однако можно верно вычислить значение корня с заданной точностью.