Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
ним методом побудови інтерполяційного поліному зручно користуватися, маючи персональний компютер і відповідні програми. Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа[2].
1.3 Метод Лагранжа
Нехай при функція приймає відповідно значення . Многочлен степеня не вище , що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:
(5)
Цей многочлен (5) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:
- При заданій сукупності вузлових точок будова многочлена можлива тільки єдиним способом.
- Многочлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).
У розгорнутому виді форма Лагранжа має вид:
(6)
При формула Лагранжа має вид:
, (7)
і називається формулою лінійної інтерполяції.
При одержимо формулу квадратичної інтерполяції:
(8)
1.4 Обернена інтерполяція
Нехай функція задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції визначити відповідне значення аргументу .
Якщо вузли інтерполяції нерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (5). Для цього достатньо прийняти за незалежну змінну, а вважати функцією. Тоді отримаємо
, (9)
Розглянемо тепер задачу оберненої інтерполяції для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Припустимо, що функція f(х) монотонна і дане значення у знаходиться між і .
Замінюючи функцію першим інтерполяційним многочленом Ньютона, одержимо:
.
Звідси
,
тобто .
Розмір визначаємо методом послідовних наближень як границю послідовності:
,
де
За початкове наближення приймаємо
. (10)
Для -го наближення маємо:
. (11)
На практиці ітераційний процес продовжують доти, поки не установляться значення, що відповідають необхідній точності, причому , де останнє зі знайдених наближень. Знайдемо , визначаємо по формулі
,
звідки
. (12)
Ми застосували метод ітерації для розвязку задачі оберненої інтерполяції, користуючись першою інтерполяційною формулою Ньютона. Аналогічно можна застосувати цей спосіб і до другої формули Ньютона:
.
Звідси
Позначимо початкове наближення.
Для -го наближення маємо:
(13)
Знайдемо
,
визначимо по формулі [2,3]
.
Далі розглянемо запропоновану інтерполяційну формулу Бесселя. Вона подібна до інтерполяційної формули Стірлінга і обидві вони є похідними від першої та другої інтерполяційних формул Гаусса.
1.5 Інтерполяційна формула Бесселя
Часто використовується інтерполяційна формула Бесселя, яка служить для знаходження значення функції у міжвузловій точці. Для виведення цієї формули скористаємось другою інтерполяційною формулою Гаусса:
у скороченому вигляді:
де х=х0+qh.
Візьмемо 2n+2 рівновіддалених вузлів інтерполювання
x-n, x-(n-1),..., x0,..., xn-1, xn, xn+1 ,
з кроком h, і нехай
yi= f(xi), (i =-n,…,n+1),
- задані значення функції y= f(x).
Якщо вибрати за початкові значення x= x0 та y= y0, то, використовуючи вузли xk (k= 0, 1, …, n), будемо мати:
(14)
Приймемо тепер за початкові значення х=х1 і у=у1 і використаємо вузли х1+к (к=0, 1,...,n). Тоді
причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (14) зростуть на одиницю. Замінивши в правій частині формули (14) q на q-1 і збільшивши індекси всіх різниць на 1 , отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу
(15)
Взявши середнє арифметичне формул (14) і (15), після простих перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя
інтерполяція функція бессель програма
(16)
Інтерполяційна формула Бесселя (16), як слідує з способу отримання її, представляє собою поліном, що співпадає з даною функцією y= f(x) в 2n+2 точках
x-n , x-(n-1),…, xn , xn+1.
В частинному випадку, при n=1, нехтуючи різницею ?3y-1, отримаємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю
,
В формулі Бесселя всі члени, які містять різниці непарного порядку, мають множник q-; тому при формула (16) значно спрощується :
Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину.Якщо в формулі Бесселя (3) зробити заміну по формулі то вона приймає більш симетричний вид
Приклад розвязку задачі:
Значення функції подано у табл. 2. Знайти значення .
Таблиця 2- Таблиця різниць функції
2-4.58579-11.682163-16.26795-6.04989-17.732050.018014-34-6.03188-0.00878-23.763930.009230.005045-57.76393-6.02265-0.00374-0.00321-29.786580.005490.001830.002186-87.55051-6.01716-0.00191-0.00103-0.00287-35.803740.003580.00080.000697-123.35425-6.01358-0.00111-0.00034-41.817320.002470.000468-165.17157-6.01111-0.00065-47.828430.001829-213-6.00929-53.8377210-266.83772
Розвязок:
Приймемо і , тоді
.
Оскільки , то скористаємося формулою Бесселя. Маємо:
;
Звідси, використовуючи підкреслені різниці, отримаєм:
2. Розробка алгоритмів та вибір оптимального алгоритму
При розробці алгоритму обчислення значення функції за допомогою інтерполяційної формули Бесселя будемо вико?/p>