Аналіз структурних властивостей зображень
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
·ьким імпульсом з нескінченною амплітудою, розташований при нульовому значенні аргументу функції. Площа цього одиничного імпульсу (рис. 2) дорівнює одиниці:
. (3)
Рисунок 2 Одиничний імпульс
Дельта-функція має важливу фільтруючу властивість: якщо дельта-функція знаходиться під інтегралом як множник, то результат інтегрування дорівнюватиме значенню іншої підінтегральної функції в тій точці, де зосереджений дельта-імпульс:
. (4)
Нарешті, двовимірний дискретний сигнал (або масив, послідовність) це функція, визначена на безлічі упорядкованих пар цілих чисел. Окремі елементи цього масиву називаються відліками. Значення відліків можуть бути речовинними або комплексними. Відповідно до визначення, двовимірні послідовності мають нескінченну довжину. Однак на практиці для більшості двовимірних послідовностей значення відліків відомі тільки в кінцевій області площини. Тому звичайно вважають, що всі значення відліків за межами визначеної області дорівнюють нулю. Приклади двовимірних дискретних послідовностей різних типів показані на рис. 3 6.
Рисунок 3 Двовимірна одинична імпульсна функція
Рисунок 4 Два приклади двовимірних лінійних імпульсів
Рисунок 5 Двовимірна періодична послідовність
Класифікація систем можлива з тих же позицій, що і класифікація сигналів:
безперервні системи > аналогові системи:
дискретні системи > цифрові системи.
У процесі вивчення системи досліджуватимемо орієнтовану на вирішення прикладних задач математичну модель з декількома входами і виходами, що служить для опису визначених процесів передачі сигналів від входів до виходів. Звязок між сигналами на входах і виходах описується за допомогою характеристик системи (рис. 7).
Рисунок 6 Періодична послідовність
Тут послідовність x(t) є сукупністю вхідних даних, y(t) сукупністю вихідних даних, а звязок між ними встановлює так звана перехідна характеристика g(t): .
Рисунок 7 Приклад системи
У загальному випадку вхідні і вихідні сигнали подають у вигляді векторів:
(5)
Система обробки сигналів, що має m входів і n виходів називається багатовимірною. Якщо вхідний і вихідний сигнали, а також стан системи визначені в кожний момент часу і час безперервний, то система називається безперервною. Якщо згадані сигнали і стани визначено в дискретні моменти часу, система називається дискретною.
Обмежимося лінійними системами. Для розгляду лінійних процедур може бути використаний простий математичний апарат, водночас їх достатньо для опису багатьох використовуваних алгоритмів обробки сигналів.
Згортка. Нехай на вхід системи поданий дельта-імпульс, а поводження системи описується перехідною характеристикою h. Тоді на виході отримаємо імпульсний відгук системи (рис. 8):
Рисунок 8 Імпульсний відгук і постановка задачі про згортку
У процесі квантування, при , сума переходить в інтеграл, а h стає відгуком на -імпульс. Вираз для інтеграла згортки набуває вигляду
(6)
Символічно згортка записується у такому вигляді:
. (7)
Далі розглянемо функцію, для якої при . Межі інтегрування тепер будуть обмежені областю .
Для інтеграла згортки записується відповідно
(8)
Точкою згортки називається поточна точка , для неї знаходиться добуток і розраховується площа під ділянкою кривої цього добутку від нуля до поточної точки згортки.
3. Опис сигналів і систем за допомогою інтегральних перетворень. Одновимірне перетворення Фурє
Інтегральні перетворення (функціонали) служать важливим апаратом системної теорії. При цьому розглядається перетворення області визначення деякої вихідної функції в іншу область, що також може бути розглянута як сигнальний простір. Перетворення виконується за допомогою ядра перетворення, що часто називають базисом, наприклад
(9)
Перетворення називається лінійним, якщо функція, що підлягає перетворенню, присутня у функціоналі не більш ніж у першому ступені. Тоді загальний вигляд інтегрального перетворення може бути записаний як
(10)
Тут перетворення вихідної функції у виробляється за допомогою ядра . Зворотне перетворення функції у вихідну здійснюється за допомогою ядра :
(11)
Вихідними функціями можуть бути як самі сигнали, так і функції, що описують систему у вихідній області (наприклад, імпульсний відгук). Найважливішими під час обробки зображень є:
- перетворення Фурє;
- косинусне, синусне і Wavelet- перетворення;
- перетворення Радемахера, Уолша-Адамара;
- перетворення Хаара.
Розглянемо речовинну просторову функцію розподілу яскравості вздовж рядка зображення . Тоді пряме і зворотне перетворення Фурє для неперіодичної функції запишеться у такий спосіб:
(12)
(13)
Формули (12) і (13) являють неперіодичний сигнал , заданий на нескінченному інтервалі, відповідно в частотній і часовій областях. Функція характеризує спектральний склад сигналу і називається спектральною щільністю сигналу . Така назва викликана тим, що для неперіодичного сигналу частотний інтервал між суміжними гармоніками прагне до нуля, і перетворення (13) є розкладанням сигналу на суму нескінченної кількості гармонік, амп