Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
>t)
f (х0 + t?х, y0 + t?у),
если он существует, естественно называть пределом f в точке (х0, у0) по направлению ?.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x, y) за исключением точки х0 = 0, у0 = 0. Имеем (учесть, что и ):
Отсюда
(для ? > 0 полагаем ? = ?/2 и тогда | f (x, y)| < ?, если < ?).
Далее, считая, что k постоянная, имеем для y = kx равенство
из которого видно, что предел ? в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx, х > 0, имеет вид
).
Пример 2. Рассмотрим в R2 функцию
(х4 + у2 ? 0).
Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
при х > 0.
Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х2
и
Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой точки (х0, у0) и для всякого N > 0 найдется ? > 0 такое, что
| f (x, y)| > N,
коль скоро 0 < < ?.
Можно также говорить о пределе f, когда х, у > ?:
(5)
Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ? > 0 найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых |x| > N, |y| > N, функция f определена и имеет место неравенство
| f (x, y) А| < ?.
Справедливы равенства
(6)
(7)
(8)
где может быть х > ?, у > ?. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и ?.
Докажем для примера (7).
Пусть (xk, yk) > (х0, у0) ((xk, yk) ? (х0, у0)); тогда
(9)
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (xk, yk) стремится к (х0, у0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y)• ? (x, y) в точке (х0, у0).
Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х0, у0), т.е.
то существует ? > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам
0 < < ?, (10)
она удовлетворяет неравенству
(12)
Поэтому для таких (x, y)
т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует откуда при A > 0 и при
A < 0 (сохранение знака).
По определению функция f(x) = f (x1, …, xn) = A имеет предел в точке
x0 = , равный числу А, обозначаемый так:
(пишут еще f(x) > A (x > x0)), если она определена на некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел
какова бы ни была стремящаяся к x0 последовательность точек хk из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x0.
Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x0 предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ? > 0 найдется такое ? > 0, что
(13)
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0 < |x x0| < ?.
Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ? > 0 найдется окрестность U (x0) точки x0 такая, что для всех хU(x0), х ? x0, выполняется неравенство (13).
Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x0, то А есть предел функции f(x0 + h) от h в нулевой точке:
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x0, кроме, быть может, точки x0; пусть ? = (?1, ..., ?п) произвольный вектор длины единица (|?| = 1) и t > 0 скаляр. Точки вида x0 + t? (0 < t) образуют выходящий из x0 луч в направлении вектора ?. Для каждого ? можно рассматривать функцию
(0 < t < ??)
от скалярной переменной t, где ?? есть число, зависящее от ?. Предел этой функции (от одной переменной t)
если он существует, естественно называть пределом f в точке x0 по направлению вектора ?.
Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x0, за исключением, быть может, x0, и для всякого N > 0 найдется ? > 0 такое, что |f(x)| > N, коль скоро 0 < |x x0| < ?.
Можно говорить о пределе f, когда х > ?:
(14)
Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ? > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых |x| > N, функция f определена и имеет место неравенство .
Итак, предел функции f(x) = f(x1, ..., хп) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.
Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.
Число А называется пределом функции f(M) при М > М0, если для любого числа ? > 0 всегда найдется такое число ? > 0, что для любых точек М, отличных от М0 и удовлетворяющих условию | ММ0 | < ?, будет иметь место неравенств?/p>