Аналитическая геометрия
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
произведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);
находим 1/6 от найденного объема - это и будет искомый объем.
Шаг 1
Находим векторы AB, AC и AD
Шаг 2
Вычисляем объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD
Шаг 3
Вычисляем Vпирамид. С учетом того, что получаем
Ответ
Объем пирамиды ABCD равен
4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Поверхность
Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.
Линия в пространстве
Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)
.
.1 Плоскость, как поверхность первого порядка
Существует, как минимум, три определения плоскости:
1)Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.
2)Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.
А теперь об одной из форм уравнения плоскости.
Во-первых, со школьных времен известно; любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную. Не случайно абсолютно устойчив (т.е. не качается) стул на трех ножках и не устойчив (качается) стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)
Рис.31
Пусть искомая плоскость ? проходит через точку М0 перпендикулярно вектору , тогда
во-первых, вектор есть результат векторного произведения вектора М0М2 на вектор М0М1
во-вторых, вектор перпендикулярен и вектору М0М2, и вектору М1М2. Откуда, из условия ортогональности векторов получаем, что скалярное произведение на вектор М0М2 ( или на вектор М0М1) равно нулю. Если точка М2 имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора на вектор М0М2 должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М0М2 определяется как
получаем, что
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору
Пример 30 (получение уравнения плоскости)
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; 1; 1) перпендикулярно вектору
Решение
В нашем случае
А=1, В= 1 и С =1;
x0 = 2, y0 = 2, z0 = 3,
следовательно, уравнение плоскости имеет вид
Или, окончательно,
Ответ
Искомая плоскость определяется уравнением
Общее уравнение плоскости
Вообще, любое уравнение вида
A•x + B•y + C•z + D = 0
определяет плоскость (где А, В и С - координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравнения плоскости получила название общее уравнение плоскости.
Неполные уравнения плоскости
Пусть плоскость задана своим общим уравнением
A•x + B•y + C•z + D = 0, (*)
тогда
1)если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через начало координат;
2)если А = 0, то B•y + C•z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к. );
)если В = 0, то A•x + C•z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к. );
)если C = 0, то A•x + B•y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oz (т.к. );
)А = 0; В = 0, то C•z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;
6)A = 0; C = 0, то В•y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxz;
7)B = 0; C = 0, то A•x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;
8)A = 0, B = 0, D = 0, то С•z = 0 - это плоскость Oxy;
9)A = 0, C = 0, D = 0, то B•y = 0 - это плоскость Oxz;
10)B = 0, C = 0, D = 0, то A•z = 0 - это плоскость Oyz.
Точно так же, как было ранее с общим уравнением прямой на плоскости, из общего уравнения можно получить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнение плоскости в отрезках.
Из общего уравнения плоскости
A•x + B•y + C•z + D = 0
Получается уравнение плоскости в отрезках
Последнее выражение получило название уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости в отрезках
где a, b и с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.
Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями
A1•x + B1•y + C1•z + D1 = 0 и2•x + B2•y + C2•z + D2 = 0.
Т.е., векторы-нормали имеют координаты
для плоскости
для плоскости
И пусть плоскости не совпадают и не параллельны (см. Рис.32)
Рис.32
Тогда
Угол между двумя плоскостями
Угол между плоскостями определяется углом между нормальными векторами , а как найти угол между векторами мы уже знаем:
если ? - угол между векторами , то это же и угол между плоскостями ?1 и ?2
Откуда два важных следствия (условия)
Условие перпендикулярности двух плоскостей
Две плоскости перпендикулярны при условии, что
A1•A2 + B1•B2 + C1•C2 = 0.
Условие параллельности двух плоскостей
Две плоскости параллельны при условии, что