Аналитическая геометрия
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство 1а1+2а2+…+лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа 1, 2,…, л=0 и R
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном i0 (i=1,…,k)
Свойства
- Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
- Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
- Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
- Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c линейно-зависимы. Доказать: a, b, c компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u90, пр-е отриц.
Свойства:
- (а,b)= (b,а)
- (а,b)= (а,b)
- (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
- (а,а)=|a|2 скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
- [a,b]= - [b,a]
- [а,b]= [а,b]
- [a+b,c]=[a,c]+[b,c]
- [a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй координаты первого вектора, в третьей координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
- Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1). Вычтем (1)-(1) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 опр?/p>