Полный курс лекций по математике
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.
Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}
Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А?В.
Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А?В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А?В = .
Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.
Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.
Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.
Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
А?В = {6, 8}
А \ В = {1, 3}
Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.
Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R множество действительных чисел, Q множество рациональных чисел, Z множество целых чисел, N множество натуральных чисел.
Очевидно, что N С Z C Q C R
Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.
Рис.1
Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой определенное вещественное число.
Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в); неравенствам а ? х < в или а< х ? в, называется полусегментами соответственно [а, в) и (а, в].
Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число х, если х отрицательно:
/х/=
По определению /х/ ? 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.
Свойства абсолютных величин:
1. ¦х+у¦ ? ¦х¦+¦у¦, 2. ¦х-у¦ ? ¦х¦ - ¦у¦,
3. ¦ху¦ = ¦х¦*¦у¦, 4. ¦х/у¦ = ¦х¦/¦у¦
Из определения абсолютной величины числа следует: -¦х¦? х ? ¦х¦. Пусть ¦х¦< ?, можно написать: -?< -¦х¦? х ?¦х¦<?, или -?<х<?, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-?, ?).
Рассмотрим неравенства ¦х-а¦0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а ?, а+?), или а - ?<х<а+?.
Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.
Интервал (а ?, а+?), т.е. множество точек х таких, что ¦х-а¦0), называется ? окрестностью точки а. Рис.2 (? эсилон, буква греческого алфавита).
Рис.2
а ? а а+?
Тема 9. Функция. Классификация функций.
Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ?(х), (или отображение множества Х во множество У).
Множество Х называется областью определения функции ?, а элементы у = ?(х) образуют множество значений функции У.
х независимая переменная (аргумент).
у зависимая переменная,
? закон соответствия, знак функции.
Пусть Х и У множества вещественных чисел.
Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1
Областью определения функции является множество Х = (-?, ?), область значений является множество У = [0, ?).
Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 5х + 6).
Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.
х2 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-?, 2) U (2, 3) U (3, ?).
Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х 1).
Решение: х 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ?) область определения функции.
Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х 1. Найти значения функции в точках
х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.
Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 2) = | - 1| / 1= 1;
f(1) = |1+2| / (1 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.
f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.
Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х 1.
Найти значение этой функции при 1) х=а2 1, 2) х = 1/t.
Решение: 1)f(а2 1) = 3(а2 1)2 + а2 1 1=3а4 6а2 + 3 + а2 - 2 = 3а4 5а2 + 1.
2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t 1 = (3 + t t2)/t2.
Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.
а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.
б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.
в) графический способ, состоит в изображении графика функции множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты соответствующие