Плоская задача теории упругости
Реферат - Физика
Другие рефераты по предмету Физика
Нижегородский государственный
архитектурно-строительный университет.
Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.
Расчетно-проектировочная работа
Плоская задача теории упругости
Выполнил: Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила: Т.П. Виноградова
Н.Новгород 2002 г.
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепления пластины.
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений х, у, ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.
Дано: а3=1/3, а4= 1
Е=0,69*106 кг/см2
=0,33
Решение:
1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.
Ф(х,у)=
Поскольку производные
-бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.
х=
у=
ху=
3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.
4.Проверяем равновесие пластины
Уравненения равновесия:
х=0 -Т5+Т6=0 > 0=0
y=0 Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0
M=0 M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основных площадках. х=0, у=-1,33, ху=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:
=-0,6653,396 кгс/см2
max=I=2,731 МПа
min=II= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.
I=39,36o
II=-50,64o
6.Определяем компоненты деформации
7.Находим компоненты перемещений
Интегрируем полученные выражения
(у), (х) некоторые функции интегрирования
или
После интегрирования получим
где с1 и с2 постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для (у) и (х) компоненты перемещений имеет вид
Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:
1) v =0 или
2) v =0 или
3) u =0 или
Окончательные выражения для функций перемещений u и v
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.
123456789координатыХ(см)-1001010100-10-100У(см)1010100-10-10-1000V*10-43,80,770,58-0,1900,193,23,10U*10-4-3,1-3,5-3,9-1,90-0,23-0,45-1,8-1,9
Масштаб
- длин: в 1см 2см
- перемещений: в 1см - 1*10-4см