Пирамида с треугольником в основании
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
В пирамиде SАBC: треугольник АBС - основание пирамиды, точка S - ее вершина. Даны координаты точек А, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
). длину ребра АB;
). угол между ребрами АB и АS;
). угол наклона ребра АS к основанию пирамиды;
). площадь основания пирамиды;
). объем пирамиды;
). уравнение прямой АB;
). уравнение плоскости АBC;
). проекцию вершины S на плоскость АBC;
). длину высоты пирамиды.
Задание 14.
A(3;2.0); B(1;2;0); C(0;4;2); S(1;-2;4)
Сделаем чертеж
1. Длина ребра АB
Длина ребра АB равна длине вектора АB.
Найдем координаты вектора
;
Тогда длина вектора равна:
. Угол между ребрами АB и АS
Угол между ребрами АB и АS равен углу между векторами и . Угол между векторами находим по формуле:
Тогда
Следовательно
3. Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды.
Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды является углом между прямой AS и ее проекцией на плоскость. Это угол между нормалью к плоскости АBC и прямой АS. В качестве нормали возьмем векторное произведение и .
Следовательно,
Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты
Тогда угол между ребром АS и гранью АBC равен:
4. Площадь основания пирамиды
Площадь основания пирамиды равна площади грани АBC и равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь же параллелограмма равна векторному произведению векторов и . Произведение векторов численно равно модулю нормального вектора. Т.о.
Следовательно,
. Объем пирамиды
Объем пирамиды построенной на векторах найдем по формуле
где
Учитывая, что
Следовательно
. Уравнение прямой АB.
Уравнение прямой АB найдем как уравнение прямой с направляющим вектором . Т.е.
пирамида ребро угол основание
или
Т.е. искомая прямая лежит в плоскости .
. уравнение плоскости АBC.
Уравнение плоскости АBC будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
или
Окончательно получаем
8. Проекцию вершины S на плоскость АBC
Проекция вершины S на плоскость АBC - это точка пересечения плоскости ABC и прямой SD, перпендикулярной плоскости ABC.
Уравнение высоты может быть найдено как уравнение прямой, проходящей через заданную точку A с направляющим вектором. В качестве направляющего вектора используем нормальный вектор плоскости АBC.
Нормальный вектор плоскости получим из ее уравнения (пункт 7).
Таким образом уравнение искомой прямой имеет вид
или
Найдем точку пересечения плоскости и прямой. Для этого решим систему полученных уравнений
Следовательно, точка D(1,1,1).
. Длину высоты пирамиды
Длину высоты пирамиды найдем по формуле расстояния от точки до плоскости
где, координаты точки S,
A,B,C,D - коэффициенты уравнения плоскости основания пирамиды.
Следовательно