Оцінювання параметрів розподілів
Информация - Экономика
Другие материалы по предмету Экономика
?ибірках вони мають не найменшу можливу дисперсію. Тому отримані цим методом оцінки слід розглядати лише як перше наближення.
Метод максимальної правдоподібності. Найбільш поширеним методом точкового оцінювання є метод максимальної правдоподібності (Фішера). Оцінки, отримані цим методом при досить великих вибірках, звичайно задовольняють усім перерахованим вище вимогам обґрунтованості, незміщеності та ефективності.
Сутність цього методу полягає у наступному. Нехай дана вибірка обсягу з генеральної сукупності з неперервно розподіленою випадковою величиною . Нехай щільність ймовірності має вигляд , тобто містить невідомий параметр , який треба оцінити за вибіркою.
Функцією правдоподібності називають функцію параметра , що визначається формулою:
. (4)
У разі дискретної випадкової величини з можливими значеннями та ймовірностями позначимо через найбільше з можливих значень, що зустрічається у вибірці, а через абсолютні частоти, з якими зявляються значення , ,... у вибірці . У цьому випадку функцією правдоподібності називають функцію параметра , що задана співвідношенням
. (5)
Метод найбільшої правдоподібності полягає в тому, що за оцінку параметра береться таке його значення, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму.
Параметр знаходять, розвязуючи відносно нього рівняння
. (6)
Часто для зручності функцію правдоподібності заміняють її логарифмом і замість (6) розвязують рівняння вигляду
, . (7)
Якщо щільність ймовірності або ймовірність можливого значення залежать від параметрів, то найбільш правдоподібну оцінку системи параметрів одержують під час розвязання системи рівнянь
(8)
або
. (9)
Найбільш правдоподібні оцінки при досить загальних умовах мають такі важливі властивості:
вони є обґрунтованими,
асимптотично нормально розподіленими, однак не завжди незміщеними,
серед усіх асимптотично нормально розподілених оцінок вони мають найбільшу ефективність.
Має місце також наступне положення: якщо взагалі є ефективна оцінка, її можна отримати методом найбільшої правдоподібності.
3. Інтервальне оцінювання параметрів
Інтервальною називають оцінку, що визначається двома числами кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють визначити точність і надійність точкових оцінок.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки невідомого параметра за допомогою знайденої за даними вибірки статистичної характеристики називають ймовірність , з якою виконується нерівність :
чи, що те ж саме
.
Звичайно використовують рівень надійності, що має значення: 0,95; 0,99 і 0,999.
Довірчим називають інтервал ( ), який покриває невідомий параметр із заданою надійністю .
1 Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому . Розглянемо задачу інтервальної оцінки невідомого математичного сподівання кількісної ознаки по вибірковій
середній нормально розподіленої сукупності з відомим середньо квадратичним відхиленням . Знайдемо довірчий інтервал, що покриває параметр з надійністю .
Вибіркова середня змінюється від вибірки до вибірки. Тому її можна розглядати, як випадкову величину , а вибіркові значення ознаки , , ... , (ці числа також змінюються від вибірки до вибірки) як однаково розподілені незалежні випадкові величини , , ... , . Тобто, математичне сподівання кожної з цих величин дорівнює і середнє квадратичне відхилення .
Можна показати, що у разі нормального розподілення випадкової величина вибіркова середня , знайдена за незалежними спостереженнями, також розподілена нормально з параметрами:
, . (12)
Поставимо вимогу, щоб було виконано співвідношення
, (13)
де задана надійність.
Застосуємо до нормально розподіленої випадкової величини відому з теорії ймовірностей формулу про ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини зі середньоквадратичним відхиленням від його математичного сподівання не більше ніж на
, (14)
де табульована функція Лапласа (3).
При цьому у формулі (14) відповідно до (12) необхідно замінити на , на , залишивши математичне чекання без зміни.
Тоді одержимо:
, (15)
де введено таке позначення
. (16)
Підставивши у формулу (15) вираз величини через з (16)
, (17)
перетворивши її до вигляду:
.
З огляду на те, що ймовірність задана і дорівнює (13), а також, що випадкова величина є формальним поданням вибіркової середньої , остаточно одержимо:
. (18)
Цю оцінку називають класичною. Відповідно до неї з надійністю можна стверджувати, що довірчий інтервал покриває невідомий параметр . При цьому величина визначається з рівності (18), а точність оцінки з (17).
З формули (17) видно, що із зростанням обсягу вибірки величина зменшується, тобто точність оцінки підвищується. З співвідношення (18), де , із врахуванням відомого зростаючого характеру функції Лапласа (3), випл