Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
пленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .
С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.
Примечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.
5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.
Расчет теоретической нормальной кривой распределения
Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.
Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,
где n объем; Pi величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.
Вероятность Pi определяется по формуле
Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],
Где Ф(t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx - интегральная функция Лапласа находится по таблице для
T2i=bi-x ср.\ S
T1i=ai-x ср.\S
Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения
ИнтервалыMiT1T21/2Ф(T1)1/2Ф(T2)Pia(i)b(i)730,644735,3562-2,640-2,0510,49580,4798-0,0080735,356740,0688-2,051-1,4610,47980,4279-0,0260740,068744,7806-1,461-0,8720,42790,3078-0,0601744,780749,49218-0,872-0,2830,30781,11030,4013749,492754,20435-0,2830,3060,03000,66190,3160754,204758,916120,3060,8960,11790,31330,0977758,916763,628110,8961,4850,31330,43060,0587763,628768,34061,4852,0740,43060,48080,0251768,340773,05222,0742,6640,48080,49600,0076Pi*nMi(теор)Mi(теор)/hMi(теор)накоп-0,800010,0020,0080-2,595030,0060,0340-6,005060,0130,094040,1250400,0850,495331,5950320,0680,81539,7700100,0210,91305,865060,0120,97162,510030,0050,99670,760010,0021,0000100
Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.
Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.
6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).
Проверка гипотез о нормальном законе распределения
Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение X^2набл. наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
к
F^2набл.= (mi-m^тi)
I=1 m^i
Где к число интервалов (после объединения). M^i теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.
Таблица 1.6.
Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек
ИнтервалыMi(Практ)Mi(теор)(Mi-Mi(теор))^2…../Mi(теор)a(i)b(i)730,644735,3562291,29735,356740,06885740,068744,780613493,88744,780749,492182190,43749,492754,20435251004,01754,204758,9161221813,89758,916763,628111210,08763,628768,3406510,14768,340773,05222X^2набл13,71
Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.
Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки .
Для нашего примера X^2набл.=13,71, =0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта