Анализ систем автоматизированного управления численными методами
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
?е четырехкратного вычисления правой части уравнения f(x,y), что приводит к большему объёму вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с большим шагом.
5. Вычисление интегральной квадратичной оценки по импульсной переходной функции методом Симпсона
Для наглядности рассмотрим в чем заключается метод Симпсона. Для этого разобьем отрезок интегрирования [a,b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке [x0,x2],[x2,x4],…,[xi-1,xi+1],…,[xn-2,xn] подынтегральную функцию (х) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
(x)j i(x)=aix+bix+ci, xi+1 x xi-1
В качестве j i(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки Mi-1(xi-1,yi-1), Mi(xi,yi),
Mi+1(xi+1,yi+1): (x-xi)(x-xi+1) (x-xi-1)(x-xi+1) (x-xi-1)(x-xi)
j i(x)= yi-1+ yi+ yi+1; (xi-1-xi)(xi-1-xi+1) (xi-xi-1)(xi-xi+1) (xi+1-xi-1)(xi+1-xi)
Проведя вычисления для каждого элементарного отрезка [xi-1,xi+1], просуммируем полученные выражения:
S=h/3(y0+4y1+2y2+4y3+2y4+…+2yn-2+4yn-1+yn).
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
(x)dxh/3[y0+4(y1+y3+…+yn-1)+2(y2+y4+…+yn-2)+yn].
Полученное соотношение и есть формула Симпсона. Её также можно получить и другими способами, например, комбинированием формул прямоугольников и трапеций или двукратным применением метода трапецій при разбиении отрезка [a,b] на части с шагами h и 2h. Главный член погрешности метода Симпсона имеет вид:
=(-h/180) (x).
6. Текст программы
program kurs2;crt,dos;Kv=7.2; b0=7.2; a0=7.2; a1=1; a2=0.275; a3=0.017107; a4=0.000761; a5=0.0000211; h=0.05;mas=array [1..5,0..100] of real;,d,c0,c1,c2,c3,c4:real;,n,j:integer;,K1,K2,K3,K4:mas;:array [1..3] of real;:char;;:=0;:=b0/a5;:=a0/a5;:=a1/a5;:=a2/a5;:=a3/a5;:=a4/a5;j:=1 to 5 do[j,0]:=0;j:=1 to 5 do begin K1[j,0]:=0; K2[j,0]:=0; K3[j,0]:=0; K4[j,0]:=0; end; begin n:=0; repeat for j:=1 to 4 do K1[j,n]:=h*Z[j+1,n]; K1[5,n]:=h*(d-c0*Z[1,n]-c1*Z[2,n]-c2*Z[3,n]-c3*Z[4,n]-c4*Z[5,n]); j:=1 to 4 do K2[j,n]:=h*(Z[j+1,n]+K1[j+1,n]/2); K2[5,n]:=h*(d-c0*z[1,n]-c1*z[2,n]-c2*Z[3,n]-c3*Z[4,n]-c4*Z[5,n]); for j:=1 to 4 do K3[j,n]:=h*(Z[j+1,n]+K2[j+1,n]/2); K3[5,n]:=h*(d-c0*Z[1,n]-c1*Z[2,n]-c2*Z[3,n]-c3*Z[4,n]-c4*Z[5,n]); for j:=1 to 4 do K4[j,n]:=h*(Z[j+1,n]+K3[j+1,n]); K4[5,n]:=h*(d-c0*Z[1,n]-c1*Z[2,n]-c2*Z[3,n]-c3*Z[4,n]-c4*Z[5,n]); for j:=1 to 5 do begin Z[j,n+1]:=Z[j,n]+(K1[j,n]+2*K2[j,n]+2*K3[j,n]+K4[j,n])/6; end; y[k]:=sqr(z[2,n]); if k=3 then begin integral:=integral+(h/3)*(y[1]+4*y[2]+y[3]); y[1]:=y[3]; k:=1; end; textcolor(3); writeln(No итерациии - ,n, Z1 = , Z[1,n]:3:8, T= ,((n*h)-0.05):3:2, c., Интеграл = ,integral:3:8); normvideo; c:=readkey; k:=k+1; n:=n+1; until c=e end;
end.
6.1 Описание переменных
В программе использованы такие переменные:
Массив Z - решения диф. уравнений.
Массив К1, К2, К3, К4 - коэффиенты для решения диф. уравнений по методу Рунге-Кутта.
С0,с1,с2, с3,d - откорректированные коэффициенты для решения диф. уравнения 5-го порядка.
У - массив для нахождения интегральной оценки., n, k - счетчики столбцов и строк массивов.- переменная, в которую на каждом шаге заносится значение интегральной оценки.
6.2 Описание работы программы
На первом шаге программа обнуляет все массивы, вычисляет коэффициенты. Далее программа в цикле производит решение уравнений по методу Рунге-Кутта, при этом коэффициенты К на каждом шаге находятся сразу для всех уравнений.
Далее программа находит интегральную оценку и выводит результаты на экран. Итеррации будут продолжаться до тех пор пока мы не нажмём клавишу e.
Шаг на каждой итеррации увеличивается на 0,05. Интеграл считается на каждом 3-м шаке.
6.3 Результаты работы программы
Таблица 8.1
TH(t), (kv/2)интегралH(t), (kv/4)интеграл0.000,3150,000,000.000000.150,9730,2400,1580,06010.31,453,8180,5061,0420.451,525,1160,851,6080.61,265,5221,092,2410.750,9255,7551,212,3270.90,7346,7351,222,3441.050,7576,9691,162,3561.20,9177,0271,082,4101.351,097,1271,012,4341.51,167,3750,9672,4561.651,117,4100,952,4581.81,027,4270,9552,4601.950,9437,4620,972,4622.10,9257,5180,9882,4632.250,9577,52312,4642.41,007,5301,012,4642.551,047,5401,012,4642.71,047,5511,012,4642.851,027,5521 2,4643.000,9927,5551 2,464 3,150,987,5580,999 2,464 3,30,9847,5600,998 2,464 3,450,9967,5600,998 2,464 3,151,017,5610,999 2,464 3,751,017,5621 2,464 3,91,017,5621 2,464 4,051,007,5631 2,464 4,20,9957,5631 2,464 4,351,007,5631 2,464
Выводы
1.Для следящей схемы показанной на рисунке 1.1, был рассчитан критический коэффициент передачи, который равен 14.40.
2.В методе Гаусса благодаря выбору наибольшего по модулю главного элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует снижению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с выбором главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения для сравнительно небольшого числа уравнений и повышает быстродействие нахождения результата.
.Для нахождения переходной характеристики необходимо решить систему дифференциальных уравнений, используя метод Рунге-Кутта, имеющий четвёртый порядок точности. Другими словами, метод Рунге-Кутта даёт при незначительных затратах на вычисления более точные данные чем другие методы (метод Эйлера). Решение задачи показало целесообразность применения данного метода.
.Для нахождения интегральной квадратичной оценки использован метод Симпсона, который при относительно малом числе ординат обладает повышенной точностью.
.При построении переходных характеристик для значений kv/2 и kv/4 , мы определили, что при уменьшении kv система становится устойчивой. При значении kv/4 колебания затухают быстрее, нежели при kv/2
Список используемых источников
. Турчак Л. И. Основы численных методов. - М.: Высшая школа, 1987г.
. Заворыкин В. М. Численные методы. - М.: Высшая школа, 1991г.
. Виньяминов Б. Б. , Рогачёв А. И. Методы приближённых исследований систем САУ на ЭВМ, 1989 г.