Geum.ru

Основы математического анализа

Контрольная работа - Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика

1. Множества и операции над множествами

 

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами , а элементы множества строчными латинскими буквами .

Запись означает, что есть множество с элементами , которые связаны между собой какой-то функцией .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

  1. Принадлежность элемента множеству:

 

 

где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству ).

  1. Непринадлежность элемента множеству:

 

 

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству ).

  1. Объединение множеств:

    .

    2. Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.

 

или

 

  1. Пересечение множеств:

    .

    2. Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.

 

и

 

  1. Разность множеств:

    .

    2. Разностью двух множеств и , например, множество минус множество , называется множество , которое состоит из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.

 

и

 

  1. Симметрическая разность множеств:

 

.

 

Симметрической разностью двух множеств и называется множество , которое состоит из не общих элементов множеств и , т.е.

 

 

  1. Дополнение множества:

    .

    2. Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:

 

и

 

  1. Вхождение одного множества в другое множество:

    .

    2. Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).

  2. Не вхождение одного множества в другое множество:

    .

    3. Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).

 

2. Первая и вторая теорема Вейерштрасса

 

Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk , сходящуюся к x0?[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn?N найдется точка xn?[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn) точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk) , которая сходится к точке x0?[a;b] : limk>?xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)) . С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk>?f(xnk)=+? (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь limk>?f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=infx?[a;b]f(x),d=supx?[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx?C((?2?;2?)) , но функция не ограничена на этом интервале.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)?C([a;b]) , c=infx?[a;b]f(x), d=supx?[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d?R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2?[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (?x?[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)0 (?x?[a;b])(0<1d?f(x)?M) , отсюда имеем f(x)?d?1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1?[a;b] , такой что f(x1)=c.

Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй ?/p>