Информация о готовой работе

Бесплатная студенческая работ № 7362

Теоремы Перрона-Фробен�уса та Маркова

В робот� дано елементарне доведення в�домих теорем Перрона-Фробен�уса та Маркова для матриць другого порядку. Робота ма� певну методичну ц�нн�сть � може бути використана на заняттях шк�льних гурк�в та факультатив�в В�домо [[1]-[10]], яку важливу роль в�д�грають нев�дТ�мн� матриц� в математичних моделях економ�ки, б�олог��, теор�� ймов�рностей тощо. Одними з основоположних факт�в теор�� цих матриць � теореми Перрона. Перрона-Фробен�уса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребу� застосування теорем з таких неелментарних розд�л�в математики, як теор�я екстремум�в функц�� багатьох зм�нних, жорданова нормальна форма тощо. Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробен�уса та Маркова для матриць другого проядку, яке ц�лком доступне � для школяр�в 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шк�льних математичних гуртк�в чи факультатив�в розглянути та проанал�зувати зм�стовн� математично-економ�чн� та теоретико-ймов�рносн� модел� (наприклад, модель Леонть�ва, випадкове блукання на в�др�зку) з повним доведенням вс�х тверджень. Необх�дн� в�домост� з теор�� матриць. Матриця розм�р�в m x n - це прямокутна таблиця чисел з m рядк�в та n стовпц�в. Познача�ться матриця так:

Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розм�ром n x n. Важливою числовою характеристикою матриц� � �� визначник, який познача�ться detA. Для 2x2 матриц� . Матриц� А та В однакових розм�р�в називаються р�вними, якщо �х в�дпов�дн� елементи однаков�, що записують так: А=В.

З матрицями можна зд�йснювати так� операц��: Множити на число Приклад: Додавати матриц� однакових розм�р�в: Приклад:

Множити матриц�: Приклад: Взагал�, добутком матриц� А розм�р�в m x r та матриц� В розм�р�в r x n назива�ться матриця С розм�р�в m x n, яка познача�ться АВ. Елемент cij ц��� матриц� - це сума попарних добутк�в елемент�в i-го рядка матриц� А та елемент�в j-го рядка матриц� В, а саме: Якщо А та В квадратн� матриц� однакового порядку, то �х завжди можна перемножити. Квадратна матриця порядку n, у яко� �лементи , а �нш� елементи � нулями, назива�ться одиничною матриц��ю порядку n. Однична матриця ма� таку властив�сть: АЕ=ЕА=А, де А - квадратна матриця порядку n, Е - одинична матриця такого ж порядку. Нехай А - квадратна матриця, тод� матриця А-1 зветься оберненою до матриц� А, якщо Не в кожно� матриц� � обернена до не�, а саме А-1 �сну� тод� � т�льки тод�, коли . Беспосередньо можна перв�рити, що для

Визначення: Число l назива�ться власним значенням n x n матриц� А, якщо знайдется стовпчик такий, що АХ=lХ. При цьому Х назива�ться власним вектором матриц� А, що в�дпов�да� власному значенню l. Якщо власний вектор Х в�дпов�да� власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, що в�дпов�да� l. Власне значення � коренем характеристичного р�вняння . Зв�дки видно, що не у кожно� матриц� � власн� значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо вс� �� елементи додатн�, це познача�ться А>0.

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тод� А ма� додатне власне значення r>0 таке, що: 1. r- в�дпов�да� �диний (з точн�стю до множення на число) власний вектор. 2. �нш� власн� значення по модулю < r. 3. власний вектор, що в�дпов�да� r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами). Доведення теореми для 2х2 матриць. Нехай . Тод� . Напишемо характеристичне р�вняння для матриц� А: . Це квадратне р�вн�ння з дискрим�нантом:

� тому

Тобто твердження теореми 1 � 2 доведен�, якщо r=l1. Знайдемо власний вектор , що в�дпов�да� власному значенню l1 з р�вност�

Тод� , або Враховуючи, що

перепишемо систему у вигляд�:

Але � тому р�вняння системи пропорц�ональн�, а це означа�, що одне з них можна в�дкинути. Знайдемо x1 з першого р�вняння системи Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перев�рити, що ,тому що поклавши отрима�мо x1>0. Враховуючи, що b>0 треба довести, що , але це виплива� з того, що , бо cb>0. Таким чином трет� твердження доведено, а з ним доведена теорема. Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядк�в та стовпц�в �� не можна привести до виду , де А1, А2 - квадратн� матриц� розм�р�в k x k та (n-k) x (n-k) в�дпов�дно. Для 2х2 матриць це означа�, що та Визначення: Матриця А зветься нев�дТ�мною, якщо вс� �� елементи нев�дТ�мн�. Зауваження: Фробен�ус дов�в, що твердження теореми Перрона залишаються в сил� для нерозкладних нев�дТ�мних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва д�агональних елемента дор�внюють нулю.

Визначення: Квадратна матриця назива�ться стохастичною, якщо

Теорема Маркова: Нехай для стохастично� матриц� P �сну� натуральне число k0 таке, що (тобто вс� елементи додатн�). Тод� 1. (�снування границ� матриц� означа�, що �сну� границя кожного �� елементу) 2. Матриця - ма� однаков� рядки. 3. Вс� елементи цих рядк�в додатн�. Доведення теореми для 2х2 матриць. Запишемо стохастичну матрицю у вигляд� , де Запишемо �� характеристичне р�вняння: ,

Це квадратне р�вняння з дискр�м�нантом:

� тому

З урахуванням ма�мо , але якщо , то це значить, що p=q=1 або p=q=0, в�дк�ля матриця P буде мати вигляд , або � тод� Pn м�стить нул� , що суперечить умов�. Таким чином . Беспосередньою перев�ркою з урахуванням стохастичност� встановлю�мо, що власному значенню в�дпов�да� власний вектор , де x1=x2, тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо власний вектор , що в�дпов�да� власному значенню . За визначенням

Зв�дки

Згадуючи, що отриму�мо

Очевидно, що р�вняння системи пропорц�йн�, тому одне з них можна в�дкинути. Знайдемо y1 з першого р�вняння: або зв�дки , але , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а тод� матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умов�. Тому можна записати, що Доведемо тепер твердження 1 теореми. Розглянемо матрицю S, стовпцями яко� � власн� вектори матриц� P. Нам необх�дно отримати зручну формулу для Pn. Позначимо . Оск�лки , то �сну� S-1. Перепишемо р�вняння та у матричн�й форм� або . В�дк�ля � взагал� Знайдемо границю Pn:

Твердження 1 теореми доведено. Доведемо тепер, що рядки матриц� однаков�. Для цього обчиcлимо . Оск�льки , то Ми бачимо, що рядки матриц� - однаков�. Доведемо тепер, що �х елементи додатн�. Для цього враху�мо отриману ран�ше залежн�сть Для того, щоб довести треба довести, що , треба довести, що та .

Ма�мо , , тому що p>0 � q >0 Теорема доказана.

Зауваження1 В процес� доведення ми вивели, що для 2х2 матриць Зауваження2 Позначимо рядки гранично� матриц� . Тод� можна знайти з умови:

Доведення. Оск�льки З�вдки Або

Зв�дки Зокрема, для 2х2 матриц� Умовою рядок визнача�ться однозначно, що для 2х2 матриц� можна перев�рити. В робот� дан� для матриць другого порядку елементарн� доведення таких фундаментальних теорем теор�� нев�дТ�мних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробен�уса, Маркова. У в�дом�й нам л�тератур� повне доведення цих теорем да�ться для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем � метод�в. А математичний апарат, який використову�ться в дан�й робот�, це: анал�з повед�нки розвТязк�в квадратного р�вняння та розвТязк�в системи двох л�н�йних р�внянь в залежност� в�д коеф�ц��нт�в. Робота може бути використана при проведенн� додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою метод�в, як� доступн� школярам.

Список л�тератури:

С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике. МГУ. 1980 С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. УНаукаФ. М., 1984 Р. Беллман. Введение в теорию матриц. УНаукаФ. М. 1969 Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. УНаукаФ. М.,1967 Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. УНаукаФ. М., 1988 С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. УМирФ. М., 1964 Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963 П. Ланкастер. Теория матриц. УНаукаФ. М. 1978 Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. УНаукаФ. М. 1978 В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. Т1. УМирФ.М. 1984

Вы можете приобрести готовую работу

Альтернатива - заказ совершенно новой работы?

Вы можете запросить данные о готовой работе и получить ее в сокращенном виде для ознакомления. Если готовая работа не подходит, то закажите новую работуэто лучший вариант, так как при этом могут быть учтены самые различные особенности, применена более актуальная информация и аналитические данные