3.1. Идеализированные представления о пространстве, времени и состоянии в классической механике

Уже отмечалось, что своим авторитетом классическая наука обязана, прежде всего, ньютоновской механике, которая не только "навела порядок" в огромном эмпирическом материале, накопленном многими поколениями ученых, но и дала в руки людей мощный инструмент однозначного предсказания будущего в широкой области объектов и явлений природы. Чтобы разобраться в истоках детерминизма ньютоновской механики, понять причину ее эффективности и выяснить возможные ограничения области ее применения, проанализируем исходные положения этой теории и используемые в ней методы анализа.
Прежде всего, следует отметить, что законы классической механики формулируются не для реальных, а для идеальных объектов и ситуаций, которые разворачиваются в абсолютно пустом пространстве и в абсолютно независимом от этого пространства времени. Однако самой важной идеализацией в механике является материальная точка - объект, не имеющий геометрических размеров, но, тем не менее, обладающий инертностью (массой). Положение в пространстве таких (и только таких!) объектов можно описать радиус-вектором r, конец которого описывает непрерывную линию, называемую траекторией.
Именно для анализа траекторий движения материальных точек И. Ньютоном и независимо от него Г. Лейбницем был разработан специальный математический аппарат - дифференциальное и интегральное исчисление, краеугольным понятием которого является производная, представляющая собой скорость изменения функции. Так, производная радиус-вектора r называется в механике вектором скорости v = rў. Этот вектор направлен по касательной к траектории и характеризует изменение радиус-вектора как по длине (модулю), так и по направлению. Аналогично, ускорение a = vў = rўў описывает изменение вектора скорости по модулю и по направлению.
Фундаментом классической механики является утверждение о том, что в инерциальных системах отсчета1 ускорение а материальной точки с массой m определяется силой F, характеризующей ее взаимодействие с другими материальными объектами

ma = F . (3.1)

В уравнении (3.1) заключена вся классическая механика. С помощью этого уравнения решается основная динамическая задача - определение траектории r(t) по заданным силам F. Фактически речь идет о математической задаче, так как уравнение (3.1) является обыкновенным дифференциальным уравнением 2-го порядка. Рассмотрим простейший частный случай решения такого уравнения, когда F = const (движение в однородном силовом поле). Обозначим g = F /m и тогда после первого интегрирования уравнения (3.1) получаем

v(t) = gt + C1,

где C1 - произвольный постоянный вектор. Еще одно интегрирование приводит к формуле для радиус-вектора

r(t) = gt2 / 2 + C1t + C2,

где С2 - другой произвольный вектор. Мы видим, что с помощью только уравнения (3.1) можно получить целое "семейство" траекторий, соответствующих различным векторам С1 и С2. Таким образом, чтобы определить, по какой конкретно траектории будет двигаться материальная точка, одного уравнения (3.1) недостаточно.
Легко видеть, что векторы С1 и С2 на самом деле являются скоростью и радиус-вектором материальной точки в начальный момент времени t = 0: С2 = r(0), С1 = v(0). Значит, для определения траектории r(t) необходимо знать не только уравнение (3.1), но также начальное положение и начальную скорость материальной точки:

r(t) = gt2 / 2 + v(0)t + r(0) . (3.2)

Очевидно, начальный момент времени может быть выбран произвольно. Поэтому мгновенное положение и мгновенная скорость полностью и однозначно определяет траекторию движения материальной точки. В связи с этим говорят, что состояние материальной точки полностью определяется ее положением и скоростью.

положение + скорость = состояние

Таким образом, оказывается, что детерминизм ньютоновской механики вытекает из возможности применения математического аппарата теории дифференциальных уравнений. В свою очередь, эта возможность появляется благодаря использованию таких "сильных" идеализаций, как материальная точка, инерциальная система отсчета и т.п. Очевидно, что эти идеализации, не являющиеся объективной реальностью, вносят элемент субъективизма в самые основы теории. "Расплатой" за этот субъективизм является ограниченность ньютоновской механики, которая проявляется, например, в невозможности описания необратимых процессов.
Дело в том, что уравнение траектории (3.2) определяет не только "будущее" положение материальной точки (t > 0), но и "прошлые" ее положения при t < 0 (вспомним, что момент времени t = 0 был выбран нами совершенно произвольно). Если изменить направление начальной скорости v(0) на противоположное -v(0), то материальная точка будет двигаться "назад" по той же траектории, по которой она до этого момента двигалась "вперед" (обращение времени t ® - t и обращение скорости v(0) ® - v(0) приводят к одинаковому вкладу в формулу (3.2)).Таким образом, чтобы двигаться "назад" по той же самой траектории материальная точка в какой-то момент должна изменить свою скорость на противоположную, что, в принципе, не запрещено никакими физическими законами. То же самое можно сказать и о множестве материальных точек: ничто не мешает всем этим точкам двигаться в противоположных направлениях по тем же траекториям, по которым они двигались ранее. А это значит, что "прошлое" и "будущее" в поведении каждой материальной точки совершенно симметричны и не имеют друг перед другом никаких преимуществ. Другими словами, движение материальных точек по своим траекториям обратимо. Почему же тогда в реальной жизни, которая в соответствии с концепцией детерминизма, должна сводиться к поведению очень большого числа материальных точек, прошлое так заметно отличается от будущего? Почему "реальное" время течет "в одну сторону", а процессы в природе (например, человеческая жизнь) никогда не меняют своего направления на противоположное? В чем природа "стрелы времени"? Ответить на все эти вопросы ньютоновская механика не могла, и это в конце концов было воспринято как ее кризис.
С серьезными проблемами столкнулись ученые и при попытке применить математический аппарат ньютоновской механики к описанию очень быстрых движений. И в этом случае источником "неприятностей" стала математическая идеализация задачи о движении, в соответствии с которой взаимодействие между отдельными материальными точками определяется мгновенным расстоянием между ними, причем неявно предполагается бесконечно большая скорость передачи информации об изменении взаимного расположения этих точек. Решение этих проблем оказалось возможным в рамках специальной и общей теории относительности, где вместо классических представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени используются релятивистские концепции единого 4-х мерного неевклидова пространства-времени.
Наконец, применение ньютоновской механики оказалось совершенно невозможным для описания движения в масштабах микромира (молекулы, атомы, элементарные частицы). Отказ от основных классических идеализаций (материальная точка, траектория, сила и др.) потребовал полной смены не только математического аппарата, но и самой формулировки задачи о движении, которая из динамической превратилась в статистическую.

3.2. Связь законов сохранения с фундаментальной симметрией пространства и времени

Несмотря на то, что ничего принципиально нового, кроме уравнения (3.1), в механике нет, за прошедшие почти три века было предложено много различных приемов решения этого уравнения, когда не требуется знать траекторию r (t), а нужно только предсказать, может ли материальная точка переместиться из одного положения в пространстве в другое. Среди этих приемов выделяются те, которые основаны на законах сохранения, имеющих огромное значение не только в механике, но и во всем естествознании. Законы сохранения позволяют проанализировать возможные изменения состояния материальных точек без непосредственного расчета их траекторий. В классической механике таких законов три: законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.
Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия Е материальной точки не изменяется при движении этой точки в поле потенциальных сил: Е = const. Так как полная механическая энергия, по определению, равна сумме потенциальной энергии П и кинетической энергии Т, то закон сохранения полной механической энергии может быть записан в виде:

Т + П = const . (3.3)

Следует отметить, что при движении в поле непотенциальных сил (например, силы трения) полная механическая энергия не сохраняется.
Закон сохранения импульса формулируется для замкнутой системы материальных точек и констатирует постоянство суммы их импульсов:

N
е mi vi = const (3.4)
i=1

Этот закон имеет всеобщий характер и распространяется за пределы классической механики. В частности, он остается справедливым в релятивистской механике, где, правда, под массой mi понимают не классическую, а релятивистскую массу, зависящую от скорости тела. Даже в квантовой механике, где импульс уже не равен произведению массы на скорость (так как понятие скорости в квантовой механике вообще отсутствует в обычном понимании этого термина), закон сохранения импульса, по-прежнему, имеет место. Этот закон, с одной стороны, запрещает самодвижение объектов (например, барон Мюнхгаузен нарушил именно этот закон, подняв за волосы себя вместе с лошадью), с другой стороны, открывает возможность реализации некоторых нетривиальных способов увеличения скорости (реактивное движение).
Закон сохранения момента импульса имеет большое значение, прежде всего, в связи с движением тел в поле центральных сил (например, в гравитационном поле), а также при вращении тел. В частности, в соответствии с этим законом происходит движение планет вокруг Солнца. Импульс р каждой планеты все время меняется, но момент импульса L = prsina остается неизменным. Именно с сохранением момента импульса связан второй закон Кеплера, в соответствии с которым радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади. В случае вращающегося твердого тела его суммарный импульс равен нулю, однако, момент импульса L отличен от нуля и в отсутствие моментов внешних сил остается постоянным: L = const.
Триумф небесной механики в XVIII - XIX в.в. был связан именно с применением законов сохранения, а не с непосредственным решением дифференциальных уравнений.
В 1918 г. немецкий математик Эмми Нетер сформулировала замечательную теорему, согласно которой для физической системы, движение которой описывается некоторым дифференциальным уравнением, каждому непрерывному преобразованию симметрии координат и времени соответствует определенный закон сохранения и наоборот. Непрерывными преобразованиями симметрии пространства и времени являются, например, сдвиг начала отсчета времени, сдвиг начала координат и поворот осей координат в пространстве. Это означает, что поведение изолированной механической системы не зависит от того, какой момент времени принят за нулевой, в каком месте пространства помещено начало координат и как ориентированы в пространстве оси координат. Например, сила притяжения межу двумя точечными массами, находящимися на определенном расстоянии друг от друга, не изменится, если мы перейдем к другому началу отсчета времени, так как в законе всемирного тяготения время в явном виде вообще не фигурирует. Точно так же, эта сила не изменится, если мы сместим начало координат или повернем оси координат, так как сила взаимодействия определяется только взаимным расстоянием между телами. Если при смещении начала отсчета времени ничего не меняется в поведении рассматриваемых объектов, то говорят, что время однородно. Аналогично, если пространство симметрично относительно сдвига начала координат и поворота осей координат, то говорят, что пространство однородно и изотропно.
Согласно теореме Нетер, с однородностью времени связан закон сохранения энергии, с однородностью пространства - закон сохранения импульса, а с изотропностью пространства - закон сохранения момента импульса.
Следует отметить, что отмеченная связь законов сохранения с симметрией пространства и времени имеет большое философское значение, так как затрагивает вечные онтологические вопросы. Действительно, однородность времени фактически означает отсутствие фиксированного начала его отсчета, т.е. бесконечность (вечность) времени. Однородность пространства таким же образом означает неограниченность, бесконечность. Но тогда, если считать пространство и время формами существования материи, то аналогичный вывод можно сделать и о материальном мире: он вечен и бесконечен. В противном случае пространство и время, оторванные от бытия, становятся трудноопределимыми, "фиктивными" категориями.
Таким образом, будучи тесно связанными с ньютоновскими уравнениями движения, законы сохранения приобретают онтологический смысл, отражая метафизическое представление о пространстве и времени, которые либо свидетельствуют о вечности и бесконечности нашего мира, либо вообще "отрываются" от него, становясь схоластическими понятиями. С другой стороны, ограниченность ньютоновской механики в определенной степени должна "переноситься" и на вытекающий из нее фундаментальный вывод о вечности и бесконечности Вселенной. Современные космологические концепции подтверждают правильность такой позиции.

Вопросы для самопроверки:
1. Какие идеализированные объекты и понятия используются в механике Ньютона?
2. В чем причина необычайной "предсказательной силы" ньютоновской механики?
3. Какими объектами и явлениями ограничивается область применения классической механики?
4. В чем заключается триумф созданной в XVII в.небесной механики?
5. Чем определяется состояние материальной точки?
6. Какие законы сохранения имеют наибольшее значение в классической механике?
7. В чем суть теоремы Нетер, и какие следствия онтологического характера из нее вытекают?