2.2. Простые и сложные проценты

Существует две основные схемы наращения капитала:

  • схема простых процентов;
  • схема сложных процентов.

Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая норма доходности - i. Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину (Рi). Через n лет размер инвестированного капитала S(n) будет равен:

S(n) = P + Pi + ... + Pi = P(1 + ni). (2.6)

 


Это формула простых процентов, где n - срок инвестиций. Стандартный временной интервал в финансовых операциях - один год.

Если ссуда выдается на t дней, то срок инвестиций определяется по формуле:

n = t / K, (2.7)



где

t - число дней ссуды,
К - число дней в году или временная база.

Если К = 360 (30 дн. x 12 мес.), то полученные проценты называют обыкновенными или коммерческими. Если К = 365 дн., К = 366 дн., то получают точные проценты.

Число дней ссуды t также можно измерять приближенно и точно, т.а е. либо условно - 30 дней в месяц, либо точно - по календарю.

Пример. Выдана ссуда 5 млн. долл. на один месяц - февраль под 13%. Определить точные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды:
S = 5(1 + (28 / 365) * 0,13) = 5,0498 долл., при t = 28 дн.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
S = 5.(1 + (28 / 360) * 0,13) = 5,05056 долл.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 5.(1 + (30 / 360) * 0,13) = 5,0542 долл.

ЗАДАНИЕ 1. Методы финансовых расчетов (простые проценты). На основании изложенного материала произвести вычисление по вариантам (данные приведены в прил. 5).

N - номер студента по журналу.

При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления могут не выплачиваться, а присоединяться к сумме долга. В этих случаях для определения наращенной суммы ссуды применяются сложные проценты. База для начисления сложных процентов, в отличие от начисления простых процентов, будет возрастать с каждым очередным периодом начисления.

Наращение по сложному проценту заключается в следующем. Размер инвестируемого капитала равен:

  • к концу 1-го года:

S1 = P + Pi = P(1 + i);

  • к концу 2-го года:


    S2 = S1 + S1* i = P(1 + i) + P(1 + i) i = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2;


  • к концу n-го года:
Sn = P(1 + i) n. (2.8)
 

Это формула сложных процентов или наращение по сложному проценту. Формула (2.8) сложного процента является одной из базовых в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения факторного множителя FM1(i; n) = (1 + i)n, обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных i и n (прил. 1).

 
S = P * FM1(i; n), (2.9)

 

где FM1(i; n) = (1 + i)n - факторный множитель.

Экономический смысл факторного множителя FM1(i; n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один руб., один долл. и т. п.) через n периодов при заданной процентной ставке i.


Пример. Какой величины достигнет долг, равный 10 млн. руб., через 5 лет при росте по ставке сложного процента i = 15% годовых.

Решение.

1) S = P(1 + i)n, S = 10(1 + 0,15)5 = 20,114 млн. руб.

2) S = P * FM1(i; n), S = 10 FM1(15%; 5) = 102,011 = 20,11 млн. руб.

В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и т.ад. В этом случае расчет ведется по формуле:

S = P (1 + i / m)n*m , (2.10)

 

где

i - годовая ставка, в долях;
m - количество начислений в году;
n - количество лет, в течении которых производится начисление;
Р - исходная сумма.

Пример [6]. Вложены деньги в банк 5 млн. руб на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Определить накопленную сумму.

Решение.

1. За два года при полугодовом начислении процентов имеем четыре начисления по ставке 20%/2 = 10%. Схема возрастания капитала приведена в табл. 1:

Таблица 1

Период

Сумма, с которой идёт начисление,
Р (млн. руб.)

Множитель наращения
Сумма к концу периода,
S (млн. руб.)
6 мес.
5,0
1,10
5,5
12 мес.
5,5
1,10
6,05
18 мес.
6,05
1,10
6,625
24мес.
6,625
1,10
7,3205

2. S = P(1 + i / m)n*m ; S = 5 (1 + 0,2 / 2)2*2 = 7,3205 млн. руб.

3. S = P FM1(i / m; n * m);

S = P FM1(10%; 4) = 5 * 1,464 = 7,32 млн. руб.


Пример [4]. Инвестор только что заплатил 100 долл. за опцион на покупку собственности за 10 000 долл. по истечении 2-х лет. Уже выплаченные за опцион 100 долл. не будут включены в цену покупки. Какую сумму сегодня должен положить в банк инвестор при выплате 10% годовых при ежемесячном накоплении с тем, чтобы через 2 года остаток составил 10 000 долл.?

Решение.

S = P (1 + i / m)n*m ;
P = 10а000 / (1 + 10 / 12)2*12 = 8,260 долл.

Дисконтирование по сложному проценту заключается в оценке будущих поступлений Р с позиции текущего момента. Инвестор анализирует будущие доходы при минимальном, "безопасном" уровне доходности, которым характеризуются вложения в государственные ценные бумаги.

Инвестор исходит из следующих предпосылок:

  • происходит обесценивание денег;
  • темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства может существенно отличаться от темпа инфляции;
  • необходимо периодическое начисление дохода в размере не ниже определенного минимума.

На этой основе он решает вопрос, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело, в частности в приобретение недвижимости, исходя из прогнозируемой рентабельности. Расчет осуществляется по формуле:

P = S / (1 + i)n , (2.11)

 

где

S - доход, планируемый к получению в n-ом году;
Р - текущая стоимость, т.ае. оценка величины S c позиции текущего момента;
i - процентная ставка.

Дисконтный множитель 1/(1 + i) = FM2(i; n) табулирован и приведен
в прил. 2.

Экономический смысл FM2(i; n) заключается в том, что он показывает, чему, с позиций текущего момента, равна одна денежная единица n периодов спустя при заданной ставке i. Тогда

Р = S * FM2(i; n). (2.12)

 


Пример. Инвестор, рассчитывающий перепродать недвижимость через 2 года за 10 000 долл. должен решить сколько ему следует предложить за недвижимость сегодня?

Решение.

1. Если инвестор требует 10% ставки дохода на вложенный капитал, то
Р = 10а000 / (1 + 0.1)2 = 8а264,462 долл. или
Р = 10а000 * FM2(10%; 2) = 8а264,4 долл.
2. Если инвестор захочет дешевле, чем за 8а264 долл., купить недвижимость, то необходимо увеличить процентную ставку, чтобы выполнить условия (10% доходности на вложенный капитал) и перепродать недвижимость через 2 года за 10а000 долл.
3. Если продавец недвижимости потребует более высокую цену, то инвестор не сможет получить своей ставки дохода в 10% и вынужден отказаться от сделки.
ЗАДАНИЕ 2. Методы финансовых расчетов (сложные проценты). Используя изложенный материал, произвести расчеты по вариантам, исходные данные приведены в прил. 6.