Само название предмета моей науки — "экономика" — подразу­мевает экономию или максимизацию. Однако экономика как наука длительное время развивалась в отрыве от проблем экономики как объекта исследования. Действительно, только в последней трети нашего века, уже в период моей научной деятельности, экономиче­ская теория начала активно претендовать на то, чтобы приносить пользу бизнесмену-практику и государственному чиновнику. Однаж­ды великий представитель предыдущего поколения экономистов, А. Пигу из Кембриджского университета, задал риторический во­прос "Может ли кому-нибудь прийти в голову нанять экономиста для управления пивоваренным заводом?" Ну, а сегодня самые мод­ные средства экономического анализа, например исследование опера­ций и теория управления, используются и на государственных, и на частных предприятиях.

 

* Данная работа П.А. Самуэльсоиа представляет собой Нобелевскую лекцию, прочитанную им 11 декабря 1970 г. в г. Стокгольме (Швеция) на церемонии вручения ему Нобелевской премии по экономике. В текст лекции автором были внесены небольшие изменения и дополнения.

 

Итак, в самой основе нашего предмета заложена идея максими­зации. Мой учитель Йозеф Шумпетер как-то метко заметил, что способность человека действовать как "логическое животное", могу­щее систематически применять эмпирико-дедуктивный метод, сама по себе является прямым следствием дарвиновской борьбы за вы­живание. Подобно тому как в этой борьбе развился большой палец человека, мозг человека развивается, сталкиваясь с экономически­ми проблемами. Высказанная за сорок лет до недавних открытий в этологии,* сделанных Конрадом Лоренцом и Николасом Тинбергеном, эта мысль поражает своей глубиной. Не желая выходить за пределы темы моей лекции, я все же упомяну о более поздней точке зрения, высказанной Шумпетером в работе, в которой он представил читателю новую научную дисциплину — эконометрику (Schumpeter, 1933). Шумпетер писал, что количество начинает изучаться физиками и другими учеными-естественниками на довольно поздней, зрелой стадии развития их научных дисциплин. И поскольку при­менение количественного подхода отдано, условно говоря, на усмот­рение исследователей, то тем больше чести последователям Галилея и Ньютона, использующим математические методы. Однако в экономике, как говорил Шумпетер, сам предмет исследования выс­тупает в количественной форме: уберите численные значения цен или пропорции бартерных обменов — и у вас просто ничего не оста­нется. Счетоводство не использует арифметику, оно само есть ариф­метика. Ведь на ранней стадии своего развития, согласно Шумпетеру, арифметика была именно счетоводством, точно так же, как гео­метрия сводилась к землемерным работам.

 

* Наука о поведении животных.

 

Я вовсе не хочу создавать у вас впечатление, что экономический анализ использует принцип максимизации прежде всего в связи с необходимостью написания учебников для тех, кто должен профес­сионально принимать решения. Еще до того, как экономическая на­ука стала выступать с практическими рекомендациями, мы, эконо­мисты, уже занимались проблемами максимума и минимума. В до­минировавшем в течение сорока лет после 1890 г трактате Альфре­да Маршалла "Принципы экономической науки"* большое внима­ние было уделено проблеме оптимального объема производства, при котором чистая прибыль достигает максимума. Но задолго до Мар­шалла, в 1838 г., О. Курно в своем классическом труде "Исследова­ния математических принципов в теории богатства" применил ап­парат дифференциального исчисления к изучению проблемы на­хождения объема производства, обеспечивающего максимум при­были. Вопрос о минимизации затрат также был поставлен более ста лет тому назад. По крайней мере, им занимался фон Тюнен при рассмотрении понятия предельной производительности.

 

* Русский перевод этой книги, вышедший в 1982 г. в издательстве "Прогресс", был необоснованно озаглавлен ''Принципы политической экономии''.

 

Сейчас модно говорить о кризисе идентичности. Необходимо из­бегать ошибок, подобных той, которую приписывают Эдварду Гиб­бону, в период написания им "Истории упадка и разрушения Рим­ской империи" Гиббон, как утверждают, порой путал себя с Рим­ской империей. В современном театре часто стирается граница между наблюдающими зрителями и играющими актерами, а в современ­ной науке — между наблюдающими учеными и выступающими в качестве объекта наблюдения подопытными морскими свинками (или атомами в квантовой механике). Что касается значения принципов максимума в естественных науках, то я покажу, что отвесная траек­тория падающего яблока и эллиптическая орбита вращающейся планеты могут быть представлены в виде оптимального решения некоторой специфической задачи математического программирова­ния. Однако вряд ли кто-либо поддастся искушению наделить ябло­ко или планету свободой выбора или способностью к сознательной минимизации. Тем не менее утверждение о том, что шарик Галилея скатывается по наклонной плоскости, как бы минимизируя интег­рал действия или интеграл Гамильтона, представляет ценность для физиков-наблюдателей, стремящихся сформулировать предсказуе­мые закономерности, присущие явлениям природы.

Почему же ученый находит полезной возможность связать пози­тивное описание реального поведения с решением задачи максими­зации? Этим вопросом я много занимался в начале своей научной деятельности. Со времени своих первых статей, посвященных "выявленным предпочтениям" (Samuelson, 1938a, 1938b, 1948, 1953), и до завершения "Основ экономического анализа" (Samuelson, 1947) я находил эту тему увлекательной. Ученый, как и домашняя хозяйка, никогда не ощущает, что его работа закончена. В последнее время я работаю над очень трудной проблемой анализа стохастической спе­кулятивной цены. Интересно, например, как изменяются цены на какао на биржах Лондона и Нью-Йорка (Samuelson, 1971). Столк­нувшись при этом с неудобоваримой системой нелинейных разностных уравнений и неравенств, я было отчаялся найти в математи­ческой литературе доказательство хотя бы существования реше­ния. Но неожиданно проблема облегчилась, когда, роясь в своей па­мяти, я вспомнил, что мои дескриптивные соотношения могут интерпретироваться как необходимые и достаточные условия вполне определенной задачи о максимуме. Однако я забегу слишком далеко вперед, если сразу же создам у вас впечатление, что принципы максимума имеют ценность просто как удобная подпорка для ана­литика. Семьдесят лет назад, когда был учрежден Нобелевский фонд, непревзойденной популярностью пользовались взгляды Эрнста Маха.* Мах, как вы помните, говорил, что цель научной деятельнос­ти заключается в "экономном" описании природы. Он вовсе не хо­тел этим сказать, что создать свою систему мира Ньютона побудила необходимость разработать основы навигации для обеспечения без­опасного мореплавания торговых судов. Скорее, он имел в виду, что хорошее объяснение — это простое объяснение, которое легко запомнить и которое увязывается с большим разнообразием наблюдае­мых явлений. Было бы ошибкой в духе Гиббона иллюстрировать это деистическими взглядами Мопертюи, в соответствии с которыми законы природы телеологичны. Мах вовсе не говорил, что Мать-Природа — экономист, он лишь утверждал, что учёный, формули­рующий законы, которые описывают наблюдаемые явления, в сущ­ности выступает как экономист или просто ведущий себя экономно человек.

 

* Вне зависимости от ценности концепций Маха с современной точки зрения, мы должны быть благодарны ему за ту роль, которую его идеи сыграли в создании Эйнштейном специальной теории относительности. Хотя с годами Эйнштейн и стал отвергать методологию Маха это не может подорвать ее репутацию.

 

Я должен отметить, что эти различные роли почти по случайно­му стечению обстоятельств действительно тесно связаны. Часто физику удаётся найти лучшее, более экономное описание явлений природы, если он способен сформулировать наблюдаемые законы, используя принцип максимума. Экономист часто может получить лучшее, более экономное описание экономического поведения, ис­пользуя тот же инструментарий.

Позвольте мне проиллюстрировать это очень простыми приме­рами. Падение Ньютонова яблока может быть описано двумя спосо­бами: оно падает на землю с постоянным ускорением; или его поло­жение как функция времени изменяется вдоль кривой, которая минимизирует (от момента начала падения до момента наблюдения) интеграл функции, представляющей собой квадрат мгновенной ско­рости минус линейная функция положения. "Как, — скажете вы, — Вы серьёзно считаете, что второе объяснение является простым⁷" Я не буду с этим спорить, замечу только, что для математически под­кованного физика выражение

не более сложно, чем х = -g; и он знает, что формулировка прин­ципа Гамильтона в вариационной форме обладает великими мнемо­ническими свойствами, когда речь идёт о переходе от одной систе­мы координат к другой.

Хотя я не физик и не думаю, что многие из моих слушателей — физики, позвольте мне привести более наглядный пример полезности принципа максимума в физике. Свет перемещается в воздухе из одной точки в другую по прямой линии. Подобно случаю с падаю­щим яблоком, это перемещение может быть описано в виде реше­ния задачи вариационного исчисления на нахождение минимума. Но рассмотрим теперь, как свет отражается, попадая на зеркало. Вы можете увидеть и запомнить, что угол падения равен углу отра­жения. Более наглядным средством, облегчающим понимание этого факта, является принцип наименьшего времени Ферма, который был известен уже Герону и другим учёным Древней Греции. Приве­дённый ниже чертёж, на котором указаны равные треугольники, говорит сам за себя (рис. 1).

 

Если длина отрезка АВС' явно меньше длины ломаной ADC', то очевидно, что путь АВС (равный АВС') короче и занимает меньше времени, чем любой другой путь, например путь ADC.

Вы вправе утверждать, что, хотя представление в виде миниму­ма является удобным, оно ничем не лучше другого. Но пойдите пос­ле этой лекции в свою ванную комнату и посмотрите на своё отра­жение, опустив в воду большой палец ноги. Ваши конечности боль­ше не будут выглядеть прямыми, поскольку скорость распростра­нения света в воде отличается от скорости его распространения в воздухе. Принцип наименьшего времени даёт вам ключ к описанию поведения света в таких условиях, а знание закона Снелла об уг­лах — нет. Кто теперь может сомневаться относительно того, какое из двух научных объяснений лучше?

Пример из области экономики

Позвольте мне показать то же самое применительно к экономи­ке, взяв в качестве примера простейший случай. Рассмотрим фир­му, стремящуюся к максимизации своей прибыли, которая продаёт продукцию в соответствии с кривой спроса, причём цена является невозрастающей функцией продаваемого количества. Предположим далее, что для выпуска продукции необходимо затратить один, два или девяносто девять видов различных ресурсов. Ради простоты будем считать, что производственная функция, связывающая объё­мы затрат и выпуска, является гладкой и вогнутой.

Экономист, мыслящий в стиле Маха, будучи учёным-позити­вистом, заинтересованным попросту в регистрации и систематизации наблюдаемых фактов, мог бы в принципе перенести на перфо­карты информацию о 99 функциях спроса, связывающих количе­ство каждого ресурса, покупаемого фирмой, с 99 переменными, от­ражающими цены на ресурсы. Какой, колоссальной задачей было бы хранение массивов информации, определяющих 99 различных поверхностей в стомерном пространстве! Однако на самом деле 99 поверхностей не являются независимыми. В действительности доста­точно знать единственную "родительскую" поверхность, для того чтобы иметь возможность получить путём расчётов точную инфор­мацию о 99 "детях". Каким же образом становится возможной такая громадная экономия в описании? Да в силу того факта, что наблю­даемые кривые спроса, которые великий шведский экономист пред­последнего поколения Густав Кассель считал неделимыми атомами в теоретическом арсенале экономиста, в действительности являют­ся решениями задачи максимизации прибыли! При обычных усло­виях регулярности эти решения представляют собой функции, об­ратные семейству частных производных функции совокупного до­хода, который определяется как произведение объёма продукции (при данных объёмах затрат всех ресурсов) на цену спроса, по кото­рой эта продукция будет продана. При условии гладкости и строгой вогнутости эта "родительская" функция дохода имеет своими "деть­ми" матрицу частных производных второго порядка размерности 99х99, которая является симметричной и отрицательно определен­ной. Легко доказать, что эти функции могут быть однозначно обра­щены в форму нового семейства "детей" с теми же самыми свой­ствами. 99 таких "детей" не могут не иметь "родительской" функ­ции, которую, если бы она никогда не существовала, мы должны были бы создать, подобно Пигмалиону. Математически это выглядит так:

где

— гладкая, строго вогнутая "регулярная функция дохода. Необхо­димыми условиями максимума будут

Если, кроме того, матрица Гесса вторых частных производных является отрицательно определённой,, то уравнений (2) достаточно для максимума. Отсюда вытекают обратные соотношения, которые могут интерпретироваться как частные производные сопряженной функции Хотеллинга-Роя Н., а именно:

Отсюда следует, что при

наши переменные удовлетворяют неравенству

Можно сказать и больше. Хотя мне трудно представить себе характер поверхностей даже в трёхмерном пространстве, я могу уверенно заявить на основе вышесказанного, что повышение цены на любой ресурс при сохранении остальных цен постоянными опре­делённо приведёт к снижению спроса на этот ресурс со стороны фирмы, т.е. дv_i / дрⁱ < 0. Такой банальный результат мог бы пред­видеть любой, кто вникнет в ситуацию и спросит себя' "Предпо­ложим, я был бы последним простаком среди предпринимателей. Что я стал бы делать, чтобы сохранить по возможности большую прибыль в случае подорожания одного из ресурсов?

Здесь здравый смысл и высшая математика оказываются в со­гласии. Однако все мы знаем о парадоксе Гиффена, в соответствии с которым повышение цены на картофель — основную еду бедных ирландских крестьян — может снизить их жизненный уровень на­столько, что заставит покупать скорее больше, чем меньше картофеля. В этом случае сам здравый смысл обнаруживается только под про­жектором математики.

С помощью математики я могу видеть свойство 99-мерных по­верхностей, скрытое от простого глаза. Если повышение цены удоб­рений (только их одних) всегда приводит к увеличению закупок некоей фирмой чёрной икры, то из одного этого факта я могу пред­сказать результат следующего эксперимента, который никогда не проводил сам и по которому не располагаю никакими данными на­блюдений: повышение цены на одну только икру приведет к росту закупок фирмой удобрений. В термодинамике такие условия вза­имности или интегрируемости известны как условия Максвелла. В экономике они известны как условия Хотеллинга — в честь Гароль­да Хотеллинга, сформулировавшего их в 1932 г. (Hotelling, 1932).

Одна из привлекательных сторон научной деятельности состоит в том, что мы все карабкаемся на небеса на плечах своих предшест­венников. Экономика, подобно физике, имеет своих героев, и букву "Н" я использовал в своих математических уравнениях не в честь сэра Уильяма Гамильтона (Hamilton), а скорее в честь Гарольда Хотеллинга (Hotelhng). Ведь именно его работа столь сильно вдох­новляла меня, когда я начинал свою карьеру Примерно в это же время покойный Генри Шульц пытался эконометрическими метода­ми проверить соответствие условии интегрируемости Хотеллинга эмпирическим данным (Schultz, 1938).

Имеются еще и другие предсказуемые условия определенности, касающиеся того, насколько описанные "перекрестные эффекты" должны быть слабыми по сравнению с "собственными эффектами" повышения цен, однако я не буду отнимать у аудитории время на их обсуждение. Упомяну лишь об одном условии: знаки всех глав­ных миноров должны чередоваться.

В качестве последней иллюстрации черной магии, посредством которой формула максимума позволяет получить четкие выводы от­носительно сложной системы с большим числом переменных, по­звольте напомнить о работах, в которых я сформулировал и обоб­щил принцип, известный в физике как принцип Ле Шателье (Samuelson, 1947, 1958, 1960а). Этот принцип был обнародован почти сто лет тому назад французским физиком, который занимался тер­модинамикой, развивая в ней направление, связанное с именем Гиббса. Принцип не отличается большой ясностью. Треть века тому на­зад, когда я зачитывался различными трактатами по физике, мое математическое ухо не могло различить, какую мелодию в них играют. Если вы сегодня возьмете большинство книг по физике, возможно, вас постигнет та же участь. Обычно в них используются невразуми­тельные телеологические аргументы. Например, можно прочесть нечто подобное: "Если вы наложите внешнее ограничение на систе­му, находящуюся в равновесии, то она перейдет в новое состояние равновесия, позволяющее поглотить изменение" (или "противодейст­вовать ему", или "подстроиться под него" или "минимизировать его").

В свое время я был поражен замечанием, сделанным одним из моих преподавателей в Гарварде, Эвином Бидвеллом Уилсоном Уилсон учился у Уилларда Гиббса в Йеле и плодотворно работал во многих областях математики и физики. Его учебник высшей математики использовался как стандартное пособие в течение десятиле­тий. Ему принадлежит капитальная доработка лекций Гиббса по векторному анализу. Он написал один из первых учебников по аэро­динамике. Он был другом Р. А. Фишера и экспертом по математиче­ской статистике и демографии. Наконец, он рано заинтересовался работами Парето и стал читать лекции по математической экономи­ке в Гарварде. Моя более ранняя формулировка неравенства (4) появилась в значительной мере благодаря лекциям Уилсона по тер­модинамике. В частности, на меня сильное впечатление произвело его заявление, что тот факт, что повышение давления сопровожда­ется уменьшением объема, — не столько теорема о системе термо­динамического равновесия, сколько математическая теорема о вогну­тых вверх поверхностях или отрицательно определенных квадратич­ных формах. Вооружившись этими сведениями, я вознамерился ос­мыслить принцип Ле Шателье.

Позвольте мне привести общепринятую формулировку этого принципа. "Сожмите резиновый шар, и его объем уменьшится. Срав­ните, однако, как сокращается его объем при двух разных условиях эксперимента. Сначала представьте себе, что его поверхность изолирована от окружающего мира, так что так называемая порожден­ная теплота не может теряться. Во втором случае снова сожмите резиновый шар, однако пусть его температура уравняется с темпе­ратурой в помещении. Тогда, в соответствии с принципом Ле Шате­лье, сокращение объема в случае, когда система изолирована, будет меньшим, чем во втором случае, когда температура в конце концов станет постоянной". Более круто нисходящая кривая (тонкая ли­ния) на рис. 2 показывает связь между давлением, откладываемым по вертикальной оси, и объемом, откладываемым по горизонтальной оси, которая превалирует при увеличении давления в условиях изо­ляции. Более пологая кривая (жирная линия), проходящая через ту же точку А, показывает связь давления и объема при изотермиче­ском измерении. Сущность принципа Ле Шателье заключается имен­но в том, что тонкая кривая должна быть более крутой, чем жирная кривая. Используя принятые в термодинамике обозначения, можно записать:

где индекс t означает постоянство температуры, a s показывает, что речь идет об изолированном (адиабатическом или изоэнтропическом изменении.

Рис. 2

Но какое отношение все это имеет к экономике? Воистину, нет более трагической фигуры, чем экономист или бывший инженер, пытающиеся вымучивать аналогии между понятиями физики и эко­номики. Сколько же довелось мне прочесть скучнейших страниц, на которых автор занимался поиском в экономике чего-то такого, что соответствует энтропии или тому или иному виду энергии! Бес­смысленные "законы", такие, как "закон сохранения покупательной способности", представляют собой сомнительное подражание важ­ному физическому закону сохранения энергии. А когда экономист ссылается на принцип неопределенности Гейзенберга применительно к миру социальных явлений, это в лучшем случае следует рассмат­ривать как оборот речи или как игру слов, а не как правомерное применение соотношений квантовой механики.

Однако если в качестве примера максимизирующей системы вы возьмете фирму-монополиста, использующую 99 видов ресурсов, то окажется, что можно увязать ее структурные связи с теми, которые превалируют в термодинамической системе, максимизирующей энт­ропию. Давление и объем, а для данного случая — абсолютная тем­пература и энтропия, связаны друг с другом тем же отношением сопряженности или двойственности, что и ставка заработной платы с количеством труда или земельная рента с земельной площадью. Рис. 2 теперь может выполнять двойную службу, описывая эконо­мические связи в точности так же, как он описьшал связи термоди­намические. Теперь по вертикальной оси откладывается р₁, — цена первого ресурса. По горизонтальной оси откладывается объем этого ресурса v₁. Здесь можно говорить о системе с 99 переменными, но я надеюсь, что вы простите мне, если я буду рассматривать более простой случай двух переменных, скажем, труда и земли.

Как и в случае резинового шара, мы представим себе экспери­мент при двух различных условиях. В первом случае мы повышаем цену первого ресурса (труда) р₁, зафиксировав на постоянном уров­не объем второго ресурса (земли) v₁, как, например, в краткосроч­ном случае, рассмотренном Маршаллом, когда может меняться только предложение труда.

Наклон тонкой кривой, проходящей через точку А, показывает, что рост р₁ влечет за собой снижение v₁.

Во втором случае мы повысим р₁ на ту же величину, но сохра­ним на прежнем уровне р₂. И снова у монополиста, максимизирующего прибыль, в качественном плане может быть только одна реак­ция: будет закуплен меньший объем v₁, как это показывает от­рицательный наклон жирной кривой, проходящей через точку А. Теперь можно сформулировать некое утверждение, которое можно назвать принципом Ле Шателье-Самуэльсона: жирная кривая дол­говременного приспособления при постоянной цене второго ресурса (и, конечно, при объеме закупок второго ресурса, mutatis mutandis, измененном так, чтобы восстановить равновесие, отвечающее мак­симуму прибыли) должна иметь менее крутой наклон или большую эластичность, чем тонкая кривая, описывающая реакцию со сторо­ны спроса, когда объем затрат второго ресурса зафиксирован. Ма­тематически это означает, что

Я включил знаки равенства, чтобы учесть случай, когда объемы потребления двух ресурсов в производстве могут быть полностью независимы. В этом соотношении примечательно то, что указанные неравенства будут выполняться вне зависимости от того, будут ли эти два ресурса взаимными дополнителями, как, например, насосы для распыления удобрений и инсектициды, или субститутами, такими как органические и минеральные удобрения. Если это заинтересует слушателя, то он может попробовать привести интуитивную проверку данного утверждения в указанных противоположных случаях.

Принцип Ле Шателье находит разнообразное применение не только в теории производства, но и в общей теории ограниченного рационирования.

Теория потребительского спроса

Сказанное выше подводит меня к теории потребительского спроса. В отличие от только что рассмотренной ситуации, когда максимизи­руется прибыль, здесь мы имеем дело с финансовым ограничением, в пределах которого определяется максимум. До середины 30-х го­дов теория полезности обнаруживала признаки вырождения в бес­плодные тавтологии. Психологически понимаемую полезность или удовлетворенность вряд ли можно было определить, не говоря уже о том, чтобы ее измерить. Экономисты австрийской школы настаи­вали, что люди максимизируют полезность, но, столкнувшись с не­обходимостью дать ей определение, тавтологично заявляли, что, как бы люди себя ни вели, они, вероятно, получали максимум удовлет­воренности, ибо в противном случае они вели бы себя иначе. Точно та» же мы можем сократить на два дробь, у которой числитель и знаменатель — четные, можно было бы, используя принцип "брит­вы Оккама",* полностью вывести за рамки понятие полезности и привести это длинное рассуждение к бессмысленной формулиров­ке "Люди Делают то, что они делают".

 

 * Оккам Уильям (1285-1349)— английский философ-схоласт. Принцип "бритвы Оккама" гласит: "Сущности не следует множить без необходимости", т.е. понятия, не сводимые к интуитивному знанию и не поддающиеся проверке в опыте, должны быть удалены из науки.

 

Я не слишком преувеличиваю. Правда, русский ученый Слуц­кий (Slutsky, 1915) вышел за эти пределы, но его работа, опублико­ванная в итальянском журнале, осталась незамеченной в хаосе со­бытии первой мировой войны. В более известной работе Парето (Pareto, 1907, 1909) недоставало математического аппарата вейерштрассовой теории условного экстремума. Двумерный анализ кри­вых безразличия был проведен У. Джонсоном, кембриджским логи­ком, учившимся с Маршаллом и Уайтхедом. Он, как полагают, ока­зал влияние на работы по теории вероятностей Дж.М. Кейнса (Keynes, 1921), Фрэнка Рамсея (Ramsey, 1931) и сэра Гарольда Джеффриза (Jeffreys, 1939). Тем не менее, когда я начинал свою научную дея­тельность, лидирующее положение в разработке теории поведения потребителей занимали сэр Рой Аллен и сэр Джон Хикс (Hicks and Alien, 1934) в Лондонской школе экономики и Генри Шульц— в Чикаго, а работы Слуцкого оставались неизвестными.

С самого начала я стремился установить, какие фальсифицируе­мые гипотезы* относительно наблюдаемых цен и размеров спроса вытекают из предположения, что потребитель тратит свои ограни­ченные доходы при данных ценах так, чтобы максимизировать свою относительную полезность (то есть сравнивая варианты по принци­пу "лучше-хуже" и не приписывая этим "лучше-хуже" никаких числовых значений). Не вдаваясь в подробности, скажу, что идея "выявленного предпочтения" пришла ко мне внезапно в ходе спора с одним из моих учителей, как это бывало со многими из моих луч­ших идей. Узнав от Леонтьева о кривых безразличия, я нашел им применение в следующем году в курсе международной торговли Хаберлера. Когда он стал возражать против постулирования мною выпуклых кривых безразличия, я неожиданно для самого себя отве­тил на это: "Ну, если они вогнутые, то индексы Ласпейраса-Пааше в вашей докторской диссертации ничего не стоят".** Далекое от того, чтобы означать reductio ad absurdum, это предложение по зрелом размышлении подсказало, как исследователь мог бы опровергнуть гипотезу о максимизирующем поведении посредством проверки ее в наблюдаемых ситуациях с двумя товарами и ценами. После этого осталось только разработать детали теории выявленного предпоч­тения.

 

* П. Самуэльсон опирается здесь на принцип фальсификации, выдвинутый K.P. Поппером, постулирующий потенциальную опровержимость любого утверждения, отно­симого к науке (Прим. ред.).

** Чтобы понять это представьте себе что вы максимизируете полезность вашего потребления (Q_x, Q_y,... ) по ценам (Р_x, Р_y,...) тратя положительный доход Р_xQ_x +...=∑PQ. Тогда для двух ситуаций (P¹,Q¹, ∑P¹Q¹) и (Р², Q², ∑P²Q²) возможность наблюдать одновременно что / ∑P¹Q¹ < 1 и ∑ P²Q¹ /∑ P²Q²< 1 противоречит ординалистской максимизации относительной полезности. При варианте  вместо < отрицание этой возможности есть одна из форм Слабой аксиомы выявленного предпочтения.

 

Моя ранняя теория выявленного предпочтения сама по себе была совершенно адекватной для исследования проблем с двумя потре­бительскими товарами. Я продолжал считать, что если мы устра­ним аналогичные проблемы для выбора из более чем двух ситуаций,* то можно было бы устранить феномен "неинтегрируемости" поля безразличия.

 

* Используя обозначения предыдущей сноски я вывел, что неинтегрируемость могла бы быть устранена в силу следующей аксиомы: >∑PⁱQⁱ⁺¹  для всех i=1,2,... , n-11" исключает  "∑PⁿQⁿ >∑PⁿQ¹ . При n = 2— это в сущности повторение Слабой аксиомы, при всех n > 2 — это Сильная аксиома Хаутеккера.

 

В ситуации, подобной данной, когда докладчик обычно уж очень склонен к перечислению своих научных побед, особенно полезно почаще делать паузы, чтобы вспомнить поражения и неудачи Даже с помощью ведущих математиков мира я не смог проверить и дока­зать истинность вывода, приведенного в последней из сносок, и меня убедили изъять этот материал из опубликованного варианта "Вы­явленного предпочтения" (Samuelson, 1948) Тем большего почета заслуживает Хендрик Хаутеккер (Houthakker, 1950), который в первой же своей экономической работе сформулировал Сильную аксиому и доказал, что она исключает неинтегрируемость

В 1950 г. я сделал обзор дискуссии по интегрируемости, вернув­шись к Парето, к началу века, и еще дальше — к классической диссертации Ирвинга Фишера (1892) (см Fisher, 1925), и даже еще дальше — к извлеченной из забвения работе малоизвестного Антонелли (Antonelli, 1886). В середине 30-х годов, когда я выступил со своей идеей, проблема интегрируемости находилась в настолько неопределенном состоянии, что работавшие в тесном сотрудниче­стве уже упомянутые сэр Джон Хикс и сэр Рой Аллен резко расхо­дились во взглядах на этот предмет. Теперь, когда осознаны эмпи­рические проявления неинтегрируемости, большинство теоретиков склонно постулировать интегрируемость. Как пояснить ее смысл? Мой добрый друг Николае Джорджеску-Реген, из классической ра­боты которого я почерпнул так много тонких замечаний относитель­но проблемы интегрируемости (Georgesku-Roegen, 1936), стал бы доказывать, что невозможно выразить одними лишь словами столь сложные математические соотношения. Я же придерживаюсь противоположного взгляда, потому что математика — это язык и в прин­ципе то, что может постигнуть один простофиля, может постигнуть и другой. Поэтому позвольте мне отослать вас к рис. 2, благодаря которому я могу дать широкую интерпретацию условий интегрируемости для рассмотренной нами фирмы, максимизирующей прибыль и использующей 99 видов ресурсов.

Круто ниспадающие кривые на диаграмме представляют собой функции спроса на первый ресурс когда количество всех остальных ресурсов остается ограниченным, как в краткосроч­ном периоде у Маршалла. Жирные и более пологие кривые также представляют собой функции спроса на тот же ресурс v₁ при ценах p₁, но при условии, что цены всех остальных факторов заморожены. Если бы кто-то предложил мне объяснить, что означает интегрируе­мость, но не позволил при этом использовать язык частных произ­водных, я бы мог проиллюстрировать это свойством пропорциональ­ности площадей на рис. 2. Я могу сказать, что идея такого предло­жения применительно к экономике пришла мне в голову в связи с некоторыми любительскими изысканиями в термодинамике. Читая чудесно написанное введение в термодинамику Клерка Максвелла, я обнаружил (Samuelson, 1960), что его объяснение существования одной и той же шкалы абсолютной температуры в каждом теле могло бы быть верным только в том случае, если на p-v-диаграмме, на которую я ранее ссылался в связи с принципом Ле Шателье, два семейства кривых — круто ниспадающие, тонкие, и более полого ниспадающие, жирные, — образуют параллелограммы наподобие a, b с, d на рис 2., такие, что

[площадь а] / [площадь b] = [площадь с] / [площадь d]

Так же обстоит дело и с двумя различными экономическими кривыми. Именно вследствие условий интегрируемости Хотеллинга, которые связывают вместе 99 различных функций спроса на факторы, отмеченные выше площади обладают свойством пропорциональности. Заканчивая рассмотрение этого интересного резуль­тата, я хотел бы, с вашего позволения, упомянуть еще, что он оста­ется в силе даже тогда, когда, как и в линейном программировании, соответствующие поверхности имеют углы и грани, на которых ча­стные производные не определены однозначно.

Я бы не хотел заканчивать разговор о максимизации функций, не подчеркнув, что все это не следует воспринимать как всего лишь упражнения в логике и математике.* В экономической науке кипят дискуссии о том, стремятся ли корпорации максимизировать свою прибыль. Однако ни одна из спорящих сторон не задается вопросом о том, какое значение для объекта наблюдения имеет наличие или отсутствие той или иной функции, которую он максимизирует. А если выйти за относительно узкие рамки экономики, то я должен признаться, что писания социологов, таких, как Талкотт Парсонс (Parsons, 1949), кажутся мне уж очень пустыми, потому что они, по-видимому, никогда не задаются вопросом о том, какая разница между случаями, когда социальное действие рассматривается как часть системы, максимизирующей ценность, или когда оно вытекает из "функциональной" интерпретации наблюдаемых феноменов.

 

* В своем отклике на публикацию предыдущего варианта данной лекции Роберт Килтингуорт, аспирант Йельского университета, указал, что в физике часто не проводится особого различия между максимумом и минимумом или для данного случая между экстремумом какого-либо вида и стационарной точкой перегиба. Я вполне согласен с этим и часто имел случай указывать, что для физика типичным является обращение только к <вариационному> аспекту проблемы (см., например, мою статью о причинности и телеологии в экономике в: Lerner(ed.), 1965, р. 99-143, особенно р. 128). Так, я могу бросить мяч, чтобы попасть вам по голове двумя способами: прямой наводкой или бросив его так высоко, чтобы он упал на вас сверху (непрямой наводкой). Первая из траекторий минимизирует интеграл <действия> вторая— нет. Точно так же как природа не терпит пустоты только до уровня давления в 30 дюймов ртутного столба, она оказывается близорукой при нахождении минимума, минимизируя действие лишь на пути до первой сопряженной точки. И в других ситуациях, как, например в случае прохождения света, физик на самом деле не верит, что процесс происходит телеологически: он размышляет о световых волнах, распространяющихся от каждой точки во всех направлениях в соответствии с принципом Гюйгенса, и он ожидает, что такие волны будут в различных точках усиливать или нейтрализовывать друг друга. То, что в геометрической оптике видится как луч света, это, попросту, места, где волны нейтрализуют друг друга в наименьшей степени. На языке экономики это скорее похоже на выдержанные в духе Дарвина рассуждения Армена Алчиана о том, что выживание наиболее приспособленных дает нам феномены, которые выглядят так, как будто порождены проблемой экстремума (Alchian, 1940). Как указал Киллингуорт, ссылаясь на работу А. д’Аспо (d’Aspo, 1939, ch. 18), отсюда вытекает следующее: на моем рис. 1 мы сгибаем зеркало вокруг точки В, сохраняя его наклон к ней, но придавая ему кривизну большую чем кривизна эллипса фокусами которого являются А и С. Тогда фактическая траектория по которой перемещается свет (как это видно от А к В и затем к О) по длине будет наибольшей, а не наименьшей! И в других случаях можно представить фактическую траекторию не минимальной и не максимальной, а попросту стационарной точкой перегиба (своего рода седловой точкой). Если приложить некоторое усилие то как и выше, можно свести ситуацию к случаю сопряженной точки. Ход рассуждений при этом следующий. Разделите одновременно на два, на четыре и т.д. расстояния от В до А и С до тех пор, пока в конце концов не сможете сказать, что конечная траектория, по которой перемещается свет действительно представляет собой минимум. Или в более общем виде, в геометрической оптике для достаточно близких друг к другу точек траектории, по которой перемещается свет, соответствующий интеграл Герона-Ферма-Мопертюи действительно принимает минимальное значение. Следует подчеркнуть что в экономической теории важна именно истинная минимизация так как предполагается что экономические субъекты с самого начала руководствуются некими цепями.

Проблемы, не связанные с максимумом

Мне не хочется выглядеть империалистом и выдвигать претен­зии на универсальную применимость принципа максимума в теорети­ческой экономике. Есть множество областей, где он просто не применяется. Возьмем для примера мою раннюю работу, посвященную взаимодействию акселератора и мультипликатора (Samuelson, 1939). Это важная тема для макроэкономического анализа. Действительно, как я уже отмечал в другом месте, эта статья чрезвычайно подняла мою репутацию. Конечно, тема была фундаментальной, а математиче­ский анализ условий устойчивости давал возможность получить изящное решение на уровне, доступном для понимания как толко­вого начинающего, так и виртуоза математической экономики. Од­нако первоначальная спецификация модели принадлежит моему гарвардскому учителю Элвину Хансену, а работы сэра Роя Харрода (Harrod, 1936) и Эрика Лундберга (Lundberg, 1937) ясно указали путь к построению этой модели.

Я рассматриваю здесь связь акселератора и мультипликатора потому, что это типичный пример динамической системы, которую ни в каком полезном смысле нельзя связать с проблемой максиму­ма. Обследуя больного, мы узнаем кое-что и о здоровых, а обследуя здоровых, мы можем также узнать что-то и о больных. Тот факт, что проблема "акселератор-мультипликатор" не может быть связа­на с максимизацией, сильно затрудняет ее анализ Так, когда один мои коллега был молод, он написал под моим руководством доктор­скую диссертацию (Eckaus, 1954), обобщив анализ взаимодействия акселератора-мультипликатора для случая многих секторов и мно­гих стран. Это было прекрасное исследование, д-р Эккаус с боль­шой изобретательностью и изяществом выжал из модели все, что можно было выжать. Одновременно он, по-видимому, был первым, кто обнаружил, что отношение величины полезного выпуска к затра­там первоклассных интеллектуальных ресурсов было при этом в каком-то смысле разочаровывающим "великой простоты" получи­лось слишком мало. Добросовестный исследователь должен был ука­зать на широкий круг возможностей, которые могли бы реализовать­ся, и затратить значительные умственные усилия на классификацию и систематизацию этих возможностей.

Для того чтобы проиллюстрировать действительную неподатли­вость этой проблемы, позвольте рассказать вам об одной серьезной трудности, возникающей при ее анализе. Представим себе Европу 1970 г. в виде 17-секторного комплекса мультипликаторов и акселераторов, который является устойчивым, то есть мы можем пока­зать, что все его характеристические корни являются демпфирую­щими и ослабляющими, а не антидемпфирующими и порождающи­ми взрывную динамику. Теперь обратимся к истории и возьмем 1950 г. Коэффициенты модели Европы будут несколько другими, однако мы снова будем считать, что они порождают устойчивую систему. Теперь позвольте мне сообщить вам в точности один бит информации. В 1960 г., который лежит посредине, по чудесному совпадению оказалось, что коэффициенты модели во всех до едино­го случаях в точности равны средним арифметическим между коэф­фициентами 1950 и 1970 гг. Что вы сказали бы об устойчивости сис­темы в 1960 г.?

Если мой вопрос не настроил вас на то, что вы столкнетесь с парадоксом, то я уверен, что вашим первым искушением было бы сказать, что это — устойчивая система, находящаяся на полпути от одной устойчивой системы к другой. Однако это не согласовывалось бы с результатами д-ра Эккауса. Парадокс получит объяснение, когда вы узнаете, что детерминантные условия устойчивости системы не определяют область устойчивости, задаваемую через соотношения между коэффициентами системы, как выпуклую (Samuelson, 1947). Следовательно, точка на полпути между двумя точками области мо­жет сама оказаться вне этой области. Такой ситуации не возникает в случае максимизирующих систем, которые "ведут себя хорошо".

Полагаю, что сказал достаточно, чтобы показать, что самой труд­ной частью моей книги "Основы экономического анализа" (Samuelson, 1947) было рассмотрение статики и динамики немаксимизирующих систем.

Динамика и максимизация

Естественно, из этого не следует, что с помощью максимизации нельзя исследовать широкую область динамических процессов. Так, например, рассмотрим динамический алгоритм нахождения верши­ны горы, который реализуется с помощью "градиентного метода". Его идея заключается в том, что ваша скорость в каком-либо на­правлении пропорциональна наклону горы в том же самом направ­лении. Нельзя рассчитывать, что такой метод приведет вас на высо­чайшую вершину Альп из любой начальной точки, находящейся в Европе. Однако он сходится к точке максимума любой вогнутой по­верхности из тех, что фигурируют в школьных учебниках.

Подобно световым лучам в физике, о которых я говорил ранее, оптимальные траектории роста в теориях, выросших из новатор­ской работы Фрэнка Рамсея, появившейся более сорока лет тому назад (Ramsey, 1928), сами по себе демонстрируют богатство дина­мических явлений. Такая динамика совсем не похожа, скажем, на ту, которая составила предмет позитивистского анализа связи аксе­лератора с мультипликатором. Может быть, вы помните, что сэр Уильям Гамильтон затратил много лет, пытаясь обобщить понятие комплексного числа на случай более чем двух измерений. Рассказы­вают, что его семья с сочувствием относилась к его исследованиям кватерниона, и каждый вечер дети приветствовали его по возвра­щении из астрономической обсерватории вопросом: "Папа, ты уме­ешь перемножать свои кватернионы?" лишь для того, чтобы полу­чить грустный ответ: "Я умею складывать мои кватернионы, но я не умею их перемножать". Если бы в 30-е годы Ллойд Метцлер и я имели детей, они каждый вечер спрашивали бы нас: "Все ли ваши характеристические корни вели себя хорошо и были устойчивы?" Ибо в те дни, находясь под впечатлением затянувшейся Американ­ской Депрессии и ее нечувствительности к эфемерным государствен­ным дотациям, мы были в какой-то мере во власти догмы устойчи­вости.

Совершенно иными были мои главные интересы в течение 50-х годов, когда я занимался бесплодными поисками доказательства так называемой "теоремы о магистрали" (Samuelson 1949a, 1960а, 1968b, Samuelson and Solow, 1956; Dorfman, Samuelson and Solow, 1958). Здесь речь тоже идет о модели максимизации, по крайней мере в смысле межвременной эффективности. Когда вы изучаете модель "затраты-выпуск" фон Неймана, вы сталкиваетесь с задачей на­хождения минимакса, или седловой точки, подобной той, которая рассматривается в его же теории игр. Это исключает возможность того, что ваши динамические характеристические корни будут демп­фироваться. Так что если бы мои дети не относились к моей науч­ной работе с тем чувством, которое можно назвать "снисходительным пренебрежением", то в 50-х годах они должны были бы спрашивать меня "Папа, образуют твои характеристические корни взаимно об­ратные или противоположные по знаку пары, соответствующие дви­жению по цепной линии вокруг магистральной седловой точки?"

Могу ли я попросить вас о снисхождении? Позвольте мне откло­ниться от темы и рассказать один анекдот. Я делаю это с некоторым смущением, потому что, когда меня приглашали прочитать лекцию, профессор Лундберг предупредил, что это должна быть серьезная лекция. Хотя и говорят, что я был нахальным молодым человеком, у меня было только одно столкновение с великим Джоном фон Нейма­ном, который, конечно, был гигантом современной математики и, кроме того, проявил свою гениальность в работе над водородной бомбой, теорией игр и основами квантовой механики. Ради того, чтобы дать представление о его величии, я готов даже с еще большим бесстыдством бросить вызов профессору Лундбергу и рассказать вам анекдот в анекдоте. Кто-то однажды спросил великого йельского математика Какутани: "Вы великий математик?" Какутани скромно ответил: "О, вовсе нет. Я — рядовой трудяга, искатель истины" — "Ну, если вы не великий математик, то кого бы вы назвали тако­вым?" — спросили его. Какутани думал, думал, а затем, как гласит предание, наконец сказал "Джонни фон Неймана".

И вот с этим Голиафом у меня произошло столкновение. Как-то, а это было в 1945 г., фон Нейман читал лекцию в Гарварде о своей модели общего равновесия. Он заявил, что в ней используется но­вый математический аппарат, не связанный с традиционным мате­матическим аппаратом физики и теорией экстремумов. Я подал го­лос из задних рядов, сказав, что это вовсе не отличается от понятия границы издержек упущенной выгоды, используемого в экономи­ческой теории, когда при фиксированных количествах всех ресур­сов и всех, кроме одного, продуктов общество стремится максими­зировать объем выпуска остающегося продукта. Фон Нейман отреа­гировал на это с быстротой молнии, что было для него характерным: "Вы можете держать пари на одну сигару?" К стыду своему, дол­жен сказать, что в этот раз маленький Давид, поджав хвост, бежал с поля боя. И все же когда-нибудь, когда я войду в ворота Святого Петра, я думаю, что половина сигары мне достанется, но только половина, потому что точка зрения фон Неймана также была обоснованной.

Беглый просмотр современных журналов и учебников показы­вает, что, в то время как студент, изучающий классическую меха­нику, часто сталкивается со случаями колебаний около положения равновесия (например, маятника), студент-экономист чаще имеет дело с движениями по цепной линии около седловой точки: подобно тому как канат, подвешенный на двух гвоздях, принимает форму цепной линии, выпуклой в сторону земли, так и экономические дви­жения совершаются вдоль цепной линии, выпуклой в сторону магистрали. Я хотел бы здесь напомнить о происхождении слова "маги­страль" (Turnpike). Все американцы привыкли к тому, что если нужно попасть из Бостона в Лос-Анджелес, то лучше всего побыстрее до­ехать до главной магистрали и только в конце путешествия нужно свернуть с нее к пункту назначения. Так же и в экономике для того чтобы обеспечить наиболее эффективное развитие страны, при оп­ределенных обстоятельствах следует как можно быстрее вступить на путь максимального и сбалансированного роста, так сказать, "оседлать" эту магистраль, а затем, по окончании, например, 20-летнего периода, свернуть к конечной цели развития. Здесь мы сталкиваем­ся с интересным эффектом: когда горизонт становится широким, вы проводите большую часть своего времени в пределах малого расстоя­ния от магистрали. Все, больше я не буду произносить это слово, на котором можно сломать язык.

Заключение

Я был не в состоянии дать в одной лекции хотя бы самое поверх­ностное представление о роли принципов максимума в экономиче­ском анализе. Не смог я составить и репрезентативную выборку из моих собственных интересов в экономической науке или хотя бы в более узкой области, каковой является теория максимизации. Так, одним из предметов моего непреходящего внимания на протяжении ряда лет была "экономика благосостояния". Вместе с моим близким другом Абрамом Бергсоном из Гарварда я пытался понять, о максими­зации чего можно вести речь, говоря о "невидимой руке" Адама Смита Например, рассмотрим понятие, которое мы сегодня называ­ем "оптимальностью по Парето" и которое с тем же основанием можно было бы назвать "оптимальностью по Бергсону" — ведь он в 1938 г. вложил ясный смысл в то, что Парето лишь нащупывал, и связал это узкое понятие с более широким понятием социальных норм и функций благосостояния (Bergson, 1938). Как раз недавно я читал статью одного автора из "новых левых". Она написана белым стихом, который, как выяснилось, в высшей степени неэффективен как средство общения, но который истинный ученый должен оси­лить, если этого требуют интересы науки. Автор подверг уничтожаю­щей критике понятие оптимальности по Парето. Однако когда я пе­реварил его труд, мне показалось, что именно в обществе, достиг­шем изобилия, где диссидентские группы добиваются возможности вести свой собственный образ жизни, особевно важной становится позиция "дать людям, что они хотят". Автор из поколения "старых левых", занимавшийся социалистической экономикой, призванной удовлетворить потребности людей на грани прожиточного миниму­ма, конечно, в меньшей степени нуждался в понятии оптимальности по Парето, чем современный исследователь общественных процес­сов в США и Швеции.

Кроме того, особое удовлетворение принесло мне то, что мои работы по экономике благосостояния (Samuelson, 1954; 1955, 1969) позволили пролить свет на проблему анализа общественных благ, поставленную еще Кнутом Викселлем (Wicksell, 1896) и Эриком Линдалем (Lindahl, 1919).

Американский экономист Г. Давенпорт, от которого нас отделя­ют два поколения (он был лучшим другом Торстена Веблена, и Веблен даже некоторое время жил в угольном подвале его дома), од­нажды сказал: "Нет причины, почему экономическая теория долж­на быть монополией реакционеров". Всю свою жизнь я стремился принимать это слова близко к сердцу и сегодня осмеливаюсь повто­рить их здесь в расчете на ваше сочувственное внимание.