Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
АКБАРОВ РАХМАТ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ЗАДАНИЯМИ ГРАНИЧНЫХ МОМЕНТОВ 01. 01. 01. - математический анализ А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Душанбе - 2009
Работа выполнена в Кулябском государственном университете Научный доктор физико-математических наук, академик консультант: АН РТ, профессор Михайлов Леонид Григорьевич Официальные доктор физико-математических наук, профессор оппоненты: Антонцев Станислав Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Усманов Нурулло доктор физико-математических наук, профессор Саттаров Абдуманон Саттарович Ведущая Московский государственный университет организация: им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики
Защита состоится л 3 июня 2009г. в 11 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу:
734063, г. Душанбе, ул. Айни 299/1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан
Автореферат разослан И.о. ученого секретаря Диссертационного совета Мустафокулов Р.
I.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
.
1.
Актуальность темы. В теории краевых задач аналитических функций (а.ф.) и теории обобщенных аналитических функций (о.а.ф.), а также в теории сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.), было рассмотрено немало различных обобщений и дополнений (1), (2), (3).
С другой стороны, еще с 19-го века, после создания теории интегральных уравнений Фредгольма, в работах Кнезера и Лихтенштейна в качестве обобщения была построена теория нагруженных интегральных уравнений (4).
В данной работе впервые ставятся и изучаются нагруженные с.и.у. с ядром Коши, либо Гильберта, но также изучаются необходимые для этого нагруженные краевые задачи Римана (сопряжения) и Гильберта. Все это дополняется еще заданиями граничных моментов искомых функций. Кроме того, добавляются граничные задачи в классах функций, допускающих изолированные особые точки, но с наперед заданными главными частями(5). Актуальными надо считать также исследованные в работе краевые задачи теории о.а.ф. с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов.
Задачи с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов от искомых функций могут возникать, кроме того, еще в тех или иных других ситуациях, как это было, например, в фундаментальных исследованиях Л.Г. Михайлова (6), (7).
________________ (1) Гахов Ф.Д. - Краевые задачи. - М., Физматгиз, 1977, 640 с.
(2) Мусхелишвили Н.И. - Сингулярные интегральные уравнения. - М., Наука, 1968, 511 с.
(3) Векуа И.Н. - Обобщенные аналитические функции. - М. Наука, 1959, 628 с.
(4) Смирнов В.И. - Курс высшей математики, т. IV-М, Наука, 1974, 336 с.
(5) Акбаров Р. - Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующими особые интегральные уравнения, Душанбе, Дониш, 2006, 245 с.
(6) Михайлов Л.Г. - Новый класс особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе: АН Тадж. ССР, 1963, 184 с.
(7) Михайлов Л.Г. - ДАН СССР, Т. 256, №2, 1981, С. 276-281.
2. Методика исследования. В диссертационной работе применяются: метод аналитического продолжения, принципы симметрии (т.е. зеркального отражения, либо инверсии), метод интегральных уравнений.
3. Цель работы. Изучить новые классы краевых задач и сингулярных интегральных уравнений (с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов). Более подробно:
1) Нахождение необходимых и достаточных условий существования решений;
2) Вывод формул для общих решений и условий разрешимости;
Особое внимание при этом уделяется анализу вкладов в общее решение, происходящих от нагруженных свободных членов и заданных главных частей, разложенных в ряд Лорана.
4. Научная новизна.
1) Получены решения в замкнутой форме нагруженной краевой задачи сопряжения и ей соответствующего характеристического с.и.у. в новой и притом обобщенной постановке;
2) Изучена общая задача линейного сопряжения с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов;
3) Исследованы в новой и притом обобщенной постановке и решены в замкнутой форме нагруженная краевая задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов и ей соответствующее характеристическое с.и.у. с ядром Гильберта.
4) Дана постановка смешанной краевой задачи в классе а.ф. и для неё также изучается задача с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов, а также соответствующее характеристическое с.и.у.
5) Изучена нагруженная краевая задача сопряжения с дополнительным заданием граничных моментов в классе о.а.ф.
5. Теоретическая (научная) и практическая значимость. В работе впервые были поставлены и изучены совершенно новые (ранее никем не изучавшиеся) обобщения краевых задач теорий а.ф. и о.а.ф., а именно:
1) Краевые задачи с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов;
2) Характеристическое с.и.у. с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов;
3) Для всех указанных в п. 1 и в п. 2 обобщения 2-х основных краевых задач и обобщенного характеристического с.и.у. - решения получены в замкнутой форме;
4) Общая линейная задача сопряжения с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов изучена в классах а.ф. и о.а.ф.
Указанные выше новые научные результаты могут и должны найти широкое применение в целом ряде краевых задач математической физики, в теории упругости, в гидродинамике, в теориях фильтрации и дифракции.
6. Аппробация работы. Основные результаты, содержащиеся в диссертации, обсуждались в отделе дифференциальных уравнений Института математики АН РТ (руководитель профессор Михайлов Л.Г.); на кафедре теории функций Белорусского государственного университета (19751980 - руководитель профессор Зверович Э.И.); на кафедре теории функций и математического анализа Таджикского национального университета (1979 - руководитель академик АН РТ, профессор Раджабов Н.); на кафедре математического анализа Кулябского государственного университета (1980-19г.г. руководитель профессор Сафаров Д.Х.); на ежегодных научных конференциях Кулябского государственного университета (1978-2008гг.), на республиканской конференции по уравнениям математической физики (Душанбе, 1983), на всесоюзной конференции по теории функциональных уравнений (Душанбе, 1987), на республиканской научной конференции Дифференциальные уравнения и их приложения, (Куляб, 1991), на международной научной конференции Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 1996), на международной конференции Аналитические методы анализа (Минск, 1999), на международной научной конференции Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа (Душанбе, 2005).
7. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1)-(42). Если говорить о важнейших публикациях в центральной печати, то, прежде всего, надо указать на работы 1980-1987 г.г. (10)-(15), (18) (Сибирский математический журнал). Но, кроме того, необходимо, конечно, особо отметить публикацию монографии (34), а также совсем недавней статьи в одном из самых престижных научных журналов мира, в докладах АН России (42), Т. 423, №2 за 2009г., в которой отражена важнейшая часть диссертации.
8. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав, списка литературы из наименований. Работа изложена на 368 страницах.
II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
.
Во введении изложена актуальность избранной темы исследования, цель и научная новизна работы, даны методика исследования и краткое содержание работы.
Первая глава посвящена нагруженным краевым задачам теории а.ф. с дополнительным заданием граничных моментов и состоит из 4-х параграфов.
В з 1, рассматривается нагруженная задача сопряжения а.ф.
Дается постановка задачи для сложного контура. Затем выписывается известное решение как однородной задачи без нагрузки, так и однородной задачи с нагрузкой, а затем с дополнительными заданиями граничных моментов. Затем исследуется нагруженная неоднородная задача с дополнительными заданиями граничных моментов, причем исследуемая нагруженная краевая задача сводится к линейным алгебраическим системам. В п.8 дается решение нагруженной неоднородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов и с учетом заданных главных частей.
И задан сложный кусочно-гладкий контур L, т.е.
Пусть на C / объединение конечного числа простых гладких кривых (замкнутых или разомкнутых), имеющих конечное число общих точек. Ввиду сложности контура L, дополнение C \ L может /И быть как связным, так и состоять из любого конечного числа связных компонентов.
Пусть = {t1,t2,...,tk} - множество точек контура L, содержащее все концы, кратные точки, точки нарушения гладкости, а также конечное число других точек контура. Будем считать, что множество L \ распадается на конечное число связных компонентов L1,L2,Е,LN, (лкривых контура L), каждая из которых есть гладкая кривая, гомеоморфная интервалу (0,1) числовой оси. Фиксируя произвольно ориентацию на каждой кривой Lj, зададим тем самым ориентацию на контуре L. Пусть на каждой кривой Lj заданы две H - непрерывные функции Gj (t) и gj (t), причем Gj (t) 0 и H - непрерывно продолжима на начальную и концевую точки кривой Lj. Получающиеся при этом предельные значения будем считать конечными и отличными от нуля. Через G (t) и g (t) обозначим функции, определяемые равенствами: G (t) = Gj(t) и g (t) = gj (t) при t Lj (j = 1, N). Зададим дивизор I = t1 j1.t2 j2... tn jn порядка n m = ordI = j, составленный из точек множества , взятых =с произвольными целыми кратностями(8). Рассмотрим следующую краевую задачу:
Найти все функции (z), ограниченные на бесконечности, аналитические на C \ L, H - непрерывно продолжимые слева и /И справа на L \ , где должно выполняться краевое условие:
n + (t) = G(t) - (t) + g(t) + (t) (1.1.1) k k k =где,,..., - некоторые комплексные постоянные, 1 2 n остающиеся произвольными либо подлежащими определению так же, как а. ф. +(z)и -(z), а под знаком суммы из (1.1.1) ______________ (8) Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях. УМН. т.26, вып.1 (157), 1971, 113-179 с.
называемой нагрузкой (t), (t),..., (t) -заданные линейно - 1 2 n независимые комплексные функции, удовлетворяющие условию Н.
Кроме того, требуется подобрать,,...,, так, чтобы 1 2 n существовало многообразие решений (1.1.1), из которых затем надо выделить решения, удовлетворяющие дополнительным заданиям граничных моментов j j h (t) +(t)dt = pj, j =1,2,...,m1; h (t) -(t)dt = pj, (1.1.2) L L ~ j = m1 +1,...,m1 + m2 = m;
где hj (t) - заданные комплексные функции класса Н, а pj - заданные комплексные постоянные.
Сформулируем некоторые результаты Теорема 1.14. Нагруженная неоднородная задача (1.1.1) с дополнительными заданиями граничных моментов (1.1.2) сводится к л. а. с. (1.1.39+), состоящей из m1 комплексных уравнений с n + m + + 1 неизвестными комплексными постоянными с0,с1,...,с+m и,,...,. Пусть + m + 1 1 2 n 0, тогда 1) Если m1 < n + m + + 1, то задача (1.1.1) - (1.1.2) безусловно, разрешима и её общее решение, задаваемое формулой (z) g( ) d (z)=0(z)+1(z)+2(z)= (z)P+m(z)+ + + 2 i ( ) -z L n (z) g ( ) d + (1.1.35) k + 2 i ( ) - z k =L содержит n + m - m1 + + 1 произвольных комплексных постоянных;
2) Если m1 = n + m + + 1 и определитель системы (1.1.39+) отличен от нуля, то задача (1.1.1) - (1.1.2) имеет и при том единственное решение;
3) Если m1 > n + m + + 1, то для разрешимости задачи (1.1.1) - (1.1.2) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (1.1.39+) и основной матрицы из (1.1.39+) обозначаемые через r. Тогда общее решение задачи содержит n + m + + 1 - r произвольных постоянных.
Пусть D+ - конечная (m +1) связная область с простой гладкой L состоящей из кривой L0, охватывающей остальные И кривые L1, L2,..., Lm [1]. Обозначим D- = C \ D+. Для этой / конфигурации рассмотрим задачи (1.1.1) с учетом заданных 1 главных частей f (z) = f+ (z) + f- (z), где f (z) = (z) + (z) + n...+ (z).
Здесь через f+ (z) и f- (z) обозначена сумма главных частей неизвестной функции по всем особым точкам, лежащим в D+ и D- соответственно. Функции f+ (z) и f- (z) аналитичны всюду вне соответствующих особых точек, в частности f+ (z) аналитична в D-, а f- (z) в D+.
Следствия 1.3. Если главные части неизвестной функции (z) заданы в виде пары функций f+(z) и f-(z) И И аналитических соответственно на C \ F+ и C \ F-, то / / условие разрешимости задачи (1.1.1) можно представить в виде n g( ) ( ) -k -d + d = k + + ( ) (z) k=LL f+ ( ) f- ( ) -= - d ( = 1,2,..., ) (1.1.60) + + ( ) ( ) L и при их выполнении, общее решение задачи (1.1.1) дается формулой (z) f-( ) f+( ) d (z) = f (z)+ - + (z)P(z)+ - + 2 i ( ) ( ) -z L n (z) g( ) d (z) ( ) d k + + , (1.1.57) k + + 2 i ( ) - z 2 i (z) - z k =L L где P (z) 0, а в случае выполнения условий (А) и (В) - формулами:
+ + +(z) = f+(z) +G(z) f-(z) + 0 (z) + 1 (z) + +(z), z D+ (1.1.64) - -(z) = f-(z) +G-1(z) f+(z) +0 (z) + 1 (z) + -(z), z Dгде (z) g( ) d 0(z) = (z)Px(z), 1 (z) = ;
+ 2 i ( ) - z L n (z) ( ) d k (z) = 2 k + 2 i (z) - z k=L В з 2 исследуется нагруженная общая задача линейного сопряжения с дополнительными заданиями граничных моментов. Выписываются различные формы записи, условия разрешимости задачи. Здесь обобщаются результаты Л.Г.
Михайлова.
Теорема 2. 7. Для разрешимости нагруженной общей задачи линейного сопряжения (1.2.1) с учетом заданных главных частей и с дополнительными условиями на искомую функцию необходимо и достаточно, чтобы для каждой =1,2,..., n выполнялись условия разрешимости n + + Re ) ( )d + j k j g( ( ) ( )d = k =L L (1.2.21) n+ n + + = Re + j Re - j ( ) ( )d + ( ) ( )d + =1 =1 U U + для любого решения ( ) ( j =1,2,..., ) сопряженной j задачи (1.2.1'). Условия разрешимости (1.2.21) равносильна записи n Re jk = Red, j = 1,2,...,, (1.2.22) k j k =1 где + = ( ) ( )d ;
jk k j L n+ n+ + + d = - ) ( )d + j j + j - j g( ( ) ( )d + ( ) ( )d =1 =L U + U Тогда справедлива Теорема 2.8. Условия разрешимости нагруженной общей задачи линейного сопряжения (1.2.1) с учетом заданных главных частей сводится к л. а. с. (1.2.22), состоящей из вещественных уравнений с n неизвестными вещественными произвольными постоянными,,...,, 1 2 n 1) Если < n, то задача (1.2.1) разрешима и ее общее решение содержит n - произвольных вещественных постоянных;
2) Если = n и det 0, то задача (1.2.1) имеет и jk притом единственное решение;
3) Если > n, то для разрешимости задачи (1.2.1) необходимо, чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (1.2.22) и основной матрицы из (1.2.22). Тогда общее решение задачи содержит n - r произвольных вещественных постоянных, где r = rang.
jk В з 3 изучается внутренняя нагруженная задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию для односвязной области по следующему плану.
Сначала дается постановка задачи и приводятся некоторые вспомогательные формулы и с их помощью дается как решение нагруженной однородной задачи, так и нагруженной неоднородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов для единичного круга и полуплоскости.
Теорема 3.6. Нагруженная однородная задача Гильберта n (t) Re = (t) (1.3.29) k k a + ib k = с дополнительными заданиями граничных моментов Re j ( ) ( )d = qj, j =1,2,..., p (1.3.2) h L сводится к л. а. с. (1.3.38') - (1.3.36), в совокупности состоящей из p + 2 -1 вещественных уравнений с n неизвестными вещественными произвольными постоянными,,...,. Пусть = Jnd(a + ib) < 0, тогда:
1 2 n 1) Если p + 2 -1 < n, то задача (1.3.29) - (1.3.2) разрешима и ее общее решение задаваемое формулой n 1 ei + z ( ) (z) = zei ( z) k 2 k e ( ) ei - z d (1.3.35) k = содержит n - p - 2 | | +1 произвольных вещественных постоянных;
2) Если p + 2 -1 = n и определитель системы объединяющей (1.3.38') - (1.3.2) отличен от нуля, то задача (1.3.29) - (1.3.2) имеет и притом единственное решение;
3) Если p + 2 -1 > n, то для разрешимости задачи (1.3.29) - (1.3.2) необходимо и достаточно равенство ранга (обозначаемое через r) основной матрицы объединяющей (1.3.38) - (1.3.36) рангу расширенной матрицы из (1.3.38') - (1.3.36); тогда общее решение задачи содержит n-r произвольных постоянных.
з 4 посвящается исследованию нагруженной смешанной краевой задачи для круга с дополнительными заданиями граничных моментов. На единичной окружности задается краевое условие задачи Гильберта с нагруженными свободными членами, а на сложном контуре, лежащем внутри круга, - краевое условие задачи Римана. Общий план исследования такой же, как и в предыдущих параграфах. Различие заключается в том, что здесь метод введения дополнительных контуров комбинируется с методом симметрии и задача исследуется с учетом заданных главных частей.
Теорема 4.3'. Нагруженная смешанная задача (1.4.2) - (1.4.3) с дополнительными заданиями граничных моментов (1.4.4) с учетом заданных главных частей сводится к л. а. с. (1.4.37') - (1.4.37''), состоящей из p - 2 - m -1 комплексных уравнений ~ с m неизвестными комплексными произвольными постоянными,,..., ~. Пусть 1 + 22 + 2m < 0, тогда:
1 2 m ~ 1) Если p - 2 - m -1 < m, то задача (1.4.2) - (1.4.4) разрешима и её общее решение, задаваемое формулой (1.4.36), ~ где P(z) 0, содержит m - p + 2 + m +1 произвольных комплексных постоянных;
~ 2) Если p - 2 - m -1 = m и определитель системы, объединяющей (1.4.37') - (1.4.37'') отличен от нуля, то задача (1.4.2) - (1.4.4) имеет и притом единственное решение;
~ 3) Если p - 2 - m -1 > m, то для разрешимости задачи (1.4.2) - (1.4.4) необходимо и достаточно равенство ранга обозначаемое через r, расширенной матрицы из (1.4.37') - (1.4.37'') рангу основной матрицы из (1.4.37') - (1.4.37''). Тогда ~ общее решение задачи содержит m - r произвольных комплексных постоянных.
Вторая глава посвящена исследованию нагруженных сингулярных интегральных уравнений с дополнительным заданием граничных моментов. Она состоит из 5 параграфов.
В з 1 исследуется характеристическое с.и.у. с дополнительным заданием граничных моментов.
Теорема 1.1. Если 0, то нагруженное х. с. и. у.
n b(t) ( ) K0 (t) = a(t) (t) + k k d = c(t) + (t) (2.1.1) i - t k =L разрешима при любой правой части, а её общее решение содержит + n произвольных комплексных постоянных и даётся формулой n (t) = (t) + (t) + (t) = 1 0 c k k k =b(t)z(t) c( ) d = b(t)z(t)P-1(t) + a(t)c(t) - + i z( ) - t L nn b(t)z(t) ( d k + a(t) (t) - (2.1.17) k k k i z( ) - t k =1 k =L Если < 0, то нагруженное х. с. и. у. (2.1.1) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет + n условиям разрешимости:
n k k j c( ) + ( ) ( )d = 0,( j =1,2,..., ) (2.1.18) k =1 L где (t) - любое решение союзного уравнения j 1 b( ) ( )d = K (t) = a(t) (t) - (2.1.10') i - t L При выполнении условий (2.1.18), общее решение х. с. и. у.
(2.1.1) даётся формулой (2.1.17), где P-1(t) 0.
Следствие 1.1. Условия разрешимости (2.1.18) при < приводятся к л. а. с.
n = d, j =1,2,..., , (2.1.18') a jk k j k =состоящей из комплексных уравнений с n неизвестными комплексными произвольными постоянными, которая разрешима в следующих случаях.
1) Если < n, то как л. а. с. (2.1.18') так и х. с. и. у.
(2.1.1) разрешимы и их общее решение задаваемой формулой (2.1.17), где P-1(t) 0, содержит n - произвольных комплексных постоянных;
2) Если, = det ajk 0, то л. а. с. (2.1.18') и = n вместе с ней х. с. и. у. (2.1.1) имеют и притом единственное решение;
3) Если > n, то л. а. с. (2.1.18') и в месте с ней х. с. и. у.
(2.1.1) разрешима тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы из (2.1.18') равен рангу основной матрицы из (2.1.18').
В з 2 исследуется нагруженная х.с.и.у. соответствующего з.с.а.ф. с дополнительными заданиями граничных моментов с учетом заданных главных частей.
Теорема 2.6. Нагруженная х. с. и. у. (2.1.1) с дополнительными заданиями граничных моментов (2.1.2) j h (t) (t)dt = qj, j =1,2,..., m, L и с учетом заданных главных частей сводится к л. а. с.
(2.2.27), состоящей из m комплексных уравнений с n + неизвестными c0,c1,...,c-1 u,,...,. Пусть 0, 1 2 n тогда 1) Если m < n + , то задача (2.1.1) - (2.1.2) разрешима и её общее решение задаваемое формулой n b(t)z(t) c( ) d (t) = a(t)c(t) - + a(t) (t) - k k i z( ) - t k =L n b(t)z(t) ( ) d k - + b(t)z(t)P-1(t) - k i z( ) - t k=L b(t) b(t) - f+ (t) - f-(t) - a(t) - b(t) a(t) + b(t) b(t)z(t) f-( )[a( ) -b( )]- f+( )[a( ) +b( )] d - (2.2.18) i Z( ) -t L содержит n + - m произвольных комплексных постоянных;
2) Если m = n + и определитель системы (2.2.27) не равен нулю, то задача (2.1.1) - (2.1.2) имеет и притом единственное решение;
3) Если m > n + , то для разрешимости задачи (2.1.1) - (2.1.2) необходимо и достаточно равенство рангов основной матрицы из (2.1.27) и расширенной матрицы из (2.1.27) обозначаемых через r. Тогда общее решение уравнения содержит n + - r произвольных комплексных постоянных.
В з 3 исследуется х.с.и.у., соответствующее краевой задаче Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов.
Теорема 3.8. Нагруженное неоднородное х. с. и. у.
n b(s) - s a(s)u(s) k k u( )ctg 2 d = c(s) + (s), (2.3.1) k= с дополнительными заданиями граничных моментов (2.3.2) u( )hj ( )d = qj, j = 1,2,..., p, сводится к л. а. с. (2.3.44) и 2|| условий разрешимости (2.3.40), (2.3.43) n = d, j = 1,2,...,m (2.3.44) jk k j k =n j = d, j =1,2,..., -1 (2.3.40) a jk k k =2 ( ) c( ) ( )e sin ( - s)dsd + 0 2 n ( ) + k k ( ) ( )e sin ( - s)dsd = k =0 состоящее из m+2|| вещественных уравнений с n неизвестными вещественными постоянными,,...,.
1 2 n Пусть < 0, тогда:
1) Если m + 2 < n, то нагруженное неоднородное х. с.
и. у. (2.3.1) - (2.3.2) разрешимо и её общее решение задаваемое формулой 1 - s ( ) 1 u(s) = (s)e (s)c(s) - (s) e c( )ctg 2 d + n + (s)e (s) (s) k k k=n 1 - s ( ) - (s) (2.3.41) 2 k k e ( )ctg 2 d k=при дополнительном условии (2.3.40), (2.3.43), содержит n - m - 2 произвольных вещественных постоянных;
2) Если m + 2 = n и определитель системы объединяющей (2.3.40), (2.3.43), (2.3.44) отличен от нуля, то х.
с. и. у. (2.3.1) - (2.3.2) имеет и притом единственное решение;
3) Если m + 2 > n, то для разрешимости х. с. и. у. (2.3.1) - (2.3.2) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы объединяющей (2.3.40), (2.3.43), (2.3.44) и основной матрицы (2.3.40), (2.3.43), (2.3.44) (обозначаемые через r). Тогда общее решение содержит n - r произвольных вещественных постоянных.
В з 4 исследуется нагруженное неоднородное х.с.и.у. с ядром Гильберта с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов Теорема 4.9. Нагруженное неоднородное х.с.и.у. (2.3.1) с учетом заданных главных частей f (z) = Re f (z) + iJmf (z) и с дополнительными заданиями граничных моментов (2.3.2) сводится к л.а.с. (2.4.45'):
n = d, j = 1,2,..., p, (2.4.45') jk k j k=и 2|| вещественным условиям разрешимости (2.4.44):
m = d, = 0,1,2,..., -1, a k k k=(2.4.44) в совокупности состоящее из p + 2 вещественных уравнений с n неизвестными произвольными вещественными постоянными,,...,. Пусть < 0, тогда:
1 2 n 1) Если p + 2 < n, то задача (2.3.1) - (2.3.2) с учетом заданных главных частей разрешима и ее общее решение задаваемое формулой 1 -s (s) ( ) 1 u(s) = Re f (s)- (s)Ref (s) + (s) Ref ( )ctg 2 d + n (s) + (s)c(s) + (s) (s) - k k k =1 n 1 - s ( ) - (s) k k c( ) + ( ) ctg 2 d ; (2.4.39) k =1 при дополнительном условии (2.4.40) содержит n - p - 2 произвольных вещественных постоянных;
2) Если p + 2 = n и определитель системы объединяющей (2.4.45') - (2.4.44) отличен от нуля, то задача (2.3.1) - (2.3.2) имеет и притом единственное решение;
3) Если p + 2 > n, то для разрешимости задачи (2.3.1) - (2.3.2) с учетом заданных главных частей необходимо и достаточно равенство ранга (обозначаемого через r), основной матрицы объединяющей (2.4.45') - (2.4.44) рангу расширенной матрицы из (2.4.45') - (2.4.44). Тогда общее решение х.с.и.у.
содержит n - r произвольных вещественных постоянных.
Третья глава посвящена исследованию нагруженной задачи сопряжения обобщенных аналитических функций (з.с.о.а.ф.) с дополнительными заданиями граничных моментов и состоит из трех параграфов. Результаты этой главы обобщают результаты Л. Г. Михайлова(9).
В з 1 приводятся основные сведения из теории о.а.ф., такие, как: обобщенная неоднородная система уравнений КошиРимана, интегрирование некоторых дифференциальных уравнений, интегральные представления решения уравнения, взаимно-однозначные соответствия между кусочнорегулярными решениями и кусочно-голоморфными функциями и обращение основной формулы.
____________________________ (9) Михайлов Л. Г. - Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. - Ученые записки Тадж. госуниверситета, Сталинабад, 1957. с. 32 - з 2 посвящен построению аналогов а.ф.
В з 3 изучается нагруженная краевая задача Римана о.а.ф. с дополнительными заданиями граничных моментов. Дается постановка задачи, а затем решение как нагруженной однородной задачи Римана, так и нагруженной неоднородной задачи Римана для однородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов. В п.10 дается решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для неоднородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов.
Теорема 3.12. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф.
n + W (t) = G(t)W (t) + g(t) + (t), (3.3.2) k k k =для однородного уравнения w(z) = A(z)W (z) (3.1.22) z с первым из дополнительных условий типа моментов (3.3.3) j h (t)W+(t)dt = pj, j =1,2,...,m1;
L сводится к л.а.с.
2ж-1 n Ak + = d, j =1,2,...,m1, jk jk k j k=0 k =(3.3.53) состоящей из m1 комплексных уравнений с + n неизвестными комплексными (или 2 вещественными) обобщенными постоянными A0, A1,..., A2ж и,,...,.
1 2 n Пусть > 0, тогда:
1) Если m1 < + n, то задача (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) безусловно разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой W (z) = (z)[Wg (z) +W (z) +Vp (z)] (3.3.49) ж-где 1 g( ) 1 g( ) Wg(z) = (z, ) d - (z, ) d (3.3.43) 1 + + ( ) 2 i ( ) 2 i L L n 1 ( ) 1 ( ) k k W (z) = k 1 + + (z, ) ( ) d -2 i (z, ) ( ) d (3.3.26) k=2 i L L 2х-Vp (z) = Vk (z) - аналог многочлена, (3.3.24) Ak х-k=содержит + n - m1 произвольных комплексных обобщенных постоянных;
2) Если m1 = + n и определитель системы (3.3.53) отличен от нуля, то задача (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) имеет и притом единственное решение;
3) Если m1 > + n, то для разрешимости задачи (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги основной матрицы из (3.3.53) рангу расширенной матрицы из (3.3.53) обозначаемые через r. Тогда общее решение задачи содержит + n - r произвольных комплексных обобщенных постоянных.
Теорема 3.13. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф. (3.3.2) для однородного уравнения (3.1.22) с первым из дополнительных заданий граничных моментов (3.3.3) сводится к л.а.с. (3.3.54) - (3.3.52):
2ж- = d, j =1,2,...,m1, jk k j k=(3.3.54) n j = d, j = 0,1,..., -1, a jk k k=(3.3.52) состоящей из m1 + || комплексных уравнений с n неизвестными комплексными обобщенными постоянными,,...,. Пусть < 0, тогда:
1 2 n 1) Если m1 + < n, то задача (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой (3.3.49), где Vp -1(z) 0, содержит n - m1 - произвольных комплексных обобщенных постоянных;
2) Если m1 + = n и определитель системы объединяющей (3.3.54) - (3.3.52) отличен от нуля, то задача (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) имеет и притом единственное решение;
3) Если m1 + > n, то для разрешимости задачи (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги основной матрицы объединяющей (3.3.54) - (3.3.52) (обозначаемые через r) рангу расширенной матрицы объединяющей (3.3.54) - (3.3.52). Тогда общее решение задачи содержит n - r произвольных комплексных обобщенных постоянных.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. ДАН Тадж. ССР, т. 21, № 3, 1978, с. 3-6.
2. Акбаров Р. Задача Гильберта с заданными главными частями. Рукопись депонирована в НИНИТИ 4 апреля 19через журнал Вестник, Белорусского ун-та, № 1155-ДЕП.
3. Акбаров Р. Задача Гильберта кусочно-аналитической функции с заданными главными частями. ДАН БССР, т. 22, № 7, 1978, с. 588-591.
4. Акбаров Р. Задача линейного сопряжения с заданными главными частями для векторов. ДАН Тадж. ССР, т. XXI, 1978, с. 3-6.
5. Акбаров Р. О задаче Римана для аналитических функций с особенностями. Вестник Белорусского ун-та, серия 1, № 1, 1979, с. 67- 69.
6. Акбаров Р. Задача Римана для кусочно-мероморфных функций с заданными главными частями на римановых поверхностях. Вестник. Белорусского университета, серия 1, № 1, 1979, с. 46-49. (Зверович Э. И. - соавтор) 7. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана с заданными главными частями, Известия АН Тадж. ССР, № 3, 73, 1979, с. 76-79.
8. Акбаров Р. Об общей задаче линейного сопряжения с особенностями. Вестник. Белорусского университета, серия 1, № 2, 1979, с. 75-78.
9. Акбаров Р. Линейные краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями.
Автореферат канд. дис. Минск 1980, с. 3-15.
10. Акбаров Р. О краевых задачах теории аналитических функций с заданными главными частями на плоскости.
Сибирский матем. журнал, т. 21, № 4, 1980, с. 227.
11. Акбаров Р. Задача Римана с заданными главными частями, Известия АН Тадж. ССР, № 4 (78), 1980, с. 3-7.
12. Акбаров Р. Смешанная краевая задача Гильберта для односвязной области с заданными главными частями, ДАН Тадж. ССР, т. 24, № 3, 1981. с. 3-6.
13. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями на замкнутой римановой поверхности.
ДАН Тадж. ССР. т. XXV, № 6, 1982, с. 315-319.
14. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями для векторов. Тезисы республиканской конференции по уравнениям математической физики.
Душанбе, 1983, с. 101-102.
15. Акбаров Р. Смешанная векторно-матричная задача РиманаГильберта с заданными главными частями для односвязной области. Сибирский математический журнал, т.XXV, № 2, 1984, с. 13-20.
16. Акбаров Р. О векторно-матричной задаче линейного сопряжения с заданными главными частями. ДАН Тадж.
ССР. т. XXVIII, № 9, 1985, с. 489-492.
17. Акбаров Р. О смешанной векторно-матричной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями. Тезисы Всесоюзной конференции по теории функциональных уравнений. Душанбе, 1987, с. 18-19.
18. Акбаров Р. О смешанной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями на римановой поверхности.
Сибирский математический журнал, т. XXVIII, 1987, с. 3-6.
19. Акбаров Р. О решении особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы докладов Республиканской конференции Дифференциальные уравнения и их приложения. Куляб, 1991, с. 10-12.
20. Акбаров Р. Задача Римана с мультипликативными заданными главными частями. Рукопись депонирована в ВИНИТИ через журнал Известия АН Тадж. ССР, № 337691 ДЕП.
21. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с бесконечным числом заданных главных частей. ДАН Тадж. ССР, т. XXXV, № 1, 1992, с. 3-5.
22. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана. ДАН Тадж. ССР, № 12, с. 3-5.
23. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы научной конференции КГУ, 1993, с. 170-171.
24. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Известия АН Тадж. ССР, № 1, 1993, с. 3- 6.
25. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Международная конф.
Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 17-19 ноября 1996, с. 18.
26. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия Математика, выпуск 1. Куляб, 1996, с. 3 -10.
27. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия Математика, выпуск 1. Куляб, 1996, с. 11-13.
28. Акбаров Р. Решение характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторноматричной задаче сопряжения с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия Математика, выпуск 2. Куляб, 1999, с. 37- 46.
29. Акбаров Р. Особые случаи задачи Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия Математика, выпуск 2. Куляб, 1999, с. 47- 59.
30. Акбаров Р. О решении характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторноматричной задаче сопряжения с заданными главными частями. ДАН РТ, т. 42, 1999, с. 3- 6.
31. Акбаров Р. О решении характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторноматричной задаче сопряжения с заданными главными частями, тезисы докладов международной конференции, 14-18 сентября 1999 года, Аналитические методы анализа, Минск, Беларусь, с. 21- 22.
32. Акбаров Р. Решение характеристического уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями в исключительных случаях, ДАН РТ, т.
XLIII, № 4, 2000, с. 64 - 69.
33. Акбаров Р. О задаче Римана с заданными главными частями для дифференциалов на римановых поверхностях.
Материалы международной научной конференции 8-ноября 2005 года. Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа. Душанбе, с. 18-21.
34. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе, 2006, с. 245.
35. Акбаров Р. Задачи сопряжения аналитических функций с дополнительными членами в правых частях и с дополнительными условиями на решения. ДАН, РТ, № 2, 2006, с. 124-126. (Михайлов Л. Г. - соавтор) 36. Акбаров Р. О характеристическом сингулярном интегральном уравнении с дополнительными членами в правой части и с дополнительными условиями на решения.
ДАН РТ, № 5 т. 49, 2006, с. 409- 411.
37. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана для обобщенных аналитических функций с дополнительными условиями на искомые функции, ДАН РТ, т. 49, № 10-12, 2006, с. 908-913.
38. Акбаров Р. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ. Т. 51, № 8, 2008, с. 568 - 539. Акбаров Р. Нагруженная краевая задача сопряжения обобщенных аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ, Т. 51. № 9, 2008, с. 633 - 637.
40. Акбаров Р. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов смешанной задачи ДАН РТ, т. 51. № 10, 2008, с. 715 -721.
41. Акбаров Р. Нагруженная смешанная краевая задача с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ, т. 51. № 11, 2008, с. 797- 802.
42. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов, ДАН РФ, т. 23, № 2, 2009. (Л. Г. Михайлов - соавтор).