Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Халилов Шавкат Бобоевич
Задача Дирихле для многомерных эллиптических систем уравнений второго порядка
01.01.02 - дифференциальные уравнения
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Душанбе - 2009
Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан Научные консультанты: доктор физикоЦматематических наук, профессор Янушаускас Альгимантас Ионасович доктор физикоЦматематических наук, профессор Сафаров Джума Холович
Официальные оппоненты: доктор физикоЦматематических наук, профессор Кожанов Александр Иванович доктор физикоЦматематических наук, профессор Раджабов Нусрат Раджабович доктор физикоЦматематических наук, профессор Борздыко Вероника Ивановна
Ведущая организация: Белгородский государственный университет
Защита состоится в 11ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан.
Автореферат разослан 2009 г.
И.о. ученного секретаря диссертационного совета Мустафокулов Р.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В 1937 г. И.Г.Петровский1 выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, называемых теперь эллиптическими по Петровскому. Решения таких систем обладают многими свойствами, характерными для решений одного эллиптического уравнения. Например, все регулярные решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 г. А.В.Бицадзепостроил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которой нарушалась нетеровость задачи Дирихле. В связи с системой Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем возник вопрос классификации граничных задач по характеру их разрешимости. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нетеровы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Вскоре такие дополнительные ограничения предложил М.И.Вишик3. Он усилил условия эллиптичности по Петровскому требованием сильной эллиптичности, то есть либо положительной, либо отрицательной определенностью симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы по характеру разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то есть эти задачи всегда нетеровы.
Задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем была сформулирована в совместном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Е.Шилова на III Математическом съезде в 1956 г. и там же была подчеркнута важность исследований не сильно эллиптических систем.
Исследованиям краевых задач для не сильно эллиптических систем посвящены работы А.В.Бицадзе, А.И.Янушаускаса, А.Д.Джураева, Ю.Т.Антохина, М.З.Соломяка, Л.П.Волевича, Б.В.Вайнберга, В.В.Грушина, В.И.Шевченко, В.Н.Черномаза, В.С.Виноградова, А.П.Солдатова, Р.С.Сакса, Е.Н.Кузьмина, В.Феллера, Н.Е.Товмасяна, а также работы их учеников.
Система Бицадзе тесно связана с системой Коши-Римана. Изучение эллиптических систем с двумя независимыми переменными привело к созданию теории обобщенных аналитических функций. К настоящему времени эллиптические системы первого порядка с двумя независимыми переменными исследоПетровский И.Г. О системах дифференциальных уравнений, все решения которых аналитичны//Докл.
АН СССР. 1937, т.17, №7, с.339 - 342.
Бицадзе А.В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными// Успехи матем. наук. 1948, т.3, №6, с.211 - 112.
Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Матем. сборник. 1951, т.29, №3, с.615 - 676.
ваны достаточно хорошо. Также хорошо разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, а для систем с двумя независимыми переменными любого порядка решена задача гомотопической классификации. В общем случае для граничных задач не наблюдается никаких новых явлений по сравнению с системой Бицадзе, содержащей к тому же младшие члены. Для эллиптических систем со многими независимыми переменными характер разрешимости классических граничных задач существенно зависит от структуры системы, размерности пространства, структуры рассматриваемой области. Корректность же классических граничных задач для общих эллиптических по Петровскому систем, даже с постоянными коэффициентами, исследована пока еще не достаточно, также далеки от полного решения и задачи гомотопической классификации таких систем по характеру их разрешимости. Эти обстоятельства указывают на актуальность исследования вопроса о разрешимости классических граничных задач для многомерных (n > 2) не сильно эллиптических систем.
Цель и задачи исследования Изучение условий корректности классической задачи Дирихле для многомерных не сильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными и несимметричными главными частями в ограниченных и неограниченных областях, проверка влияния младших членов на разрешимость задачи и эффект потери гладкости при гомотопии.
Научная новизна результатов. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Рассмотренные в работе эллиптические системы уравнения второго порядка являются обобщением ранее рассмотренных систем.
Построены общие представления решения системы с симметричной главной частью в произвольной ограниченной области, а для систем с несимметричными главными частями построены общие представления решений в полупространстве, в шаре и в произвольной ограниченной области.
Для систем с несимметричными главными частями доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в полупространстве.
Доказана фредгольмовость задачи Дирихле для общих систем с постоянными коэффициентами в областях достаточно малой размерности.
Для общих систем с переменными коэффициентами найдена область фредгольмовости задачи Дирихле.
Научная и практическая значимость. Работа теоретическая. В ней развивается теория классических граничных задач для эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка. Результаты исследования могут быть использованы в изучении задач теории упругости.
Методы исследования в основном базируются на классических методах интегральных уравнений, методах функции Грина и функции Леви (метод параметрикса).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики Академии наук Республики Таджикистан, на семинарах кафедры высшей математики и кафедры теории функций и математического анализа ТНУ, на семинаре Института математики СО РАН "Избранные вопросы математического анализа" (рук. д. ф.-м. наук А.И. Кожанов), на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 60 - летию Т. Собирова ( Душанбе, 2002), на международной конференции "33rd Iranian Mathematics conference" (Мешхад, Иран 2002), на научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 2003), на IV международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" (Душанбе,ТГНУ, 2005), на 7th International Pure Mathematics conference (2006, Islamabad, Pakistan), на научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15 - летию независимости РТ (Душанбе, 2006), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100 - летию со дня рождения академика И.Н.Векуа (Новосибирск, 2007), на международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70 - летию академика АН РТ З.Д.Усманова (Душанбе, 2007), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75 - летию со дня рождения академика А.Д.Джураева (Душанбе, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 печатных работах автора.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 2страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и 16 параграфов. Библиография содержит 84 источника на русском и иностранных языках. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В "Введении" изложено состояние исследуемой проблемы, дана краткая характеристика работ, примыкающих к теме диссертации, приведен краткий обзор основных результатов диссертации.
В главе I (зз1.1. - 1.2) "Вспомогательные сведения" приводятся необходимые сведения, касающиеся классической теории ньютоновых и обобщенных потенциалов, а так же некоторые общие сведения из теории эллиптических систем уравнений в частных производных, которые используются в последующих главах диссертации.
Глава II (зз2.1 - 2.5) посвящена исследованию задачи Дирихле для не сильно эллиптической системы с симметричной главной частью n ui n - uj + (x) + Lkj(uk) = fj(x), (1) xj i=1 xi k=где (x) - заданная достаточно гладкая функция (в частности, может быть постоянным вещественным параметром), x = (x1, x2, , xn), Lkj, j, k = 1, n - линейные дифференциальные операторы первого порядка, а - оператор Лапласа.
Система (1) при (x) = 1 является эллиптической по Петровскому, а при (x) = 1 тип системы вырождается. При (x) < 1 система (1) является сильно эллиптической, а при (x) > 1 не является таковой.
Пусть D - ограниченная область евклидова пространства En c ляпуновской границей S.
Для системы (1) задача Дирихле исследуется в следующей постановке.
Задача Дирихле. Найти регулярное в области D решение u1, u2, , un системы (1), удовлетворяющее на границе S области D краевым условиям uj S= gj(x), j = 1, n, (2) где gj(x), j = 1, n - заданные на S функции класса C1(S).
В з2.1 получены формулы общего представления решения для системы n ui - uj + (x) = 0, j = 1, n (3) xj i=1 xi в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей.
В случае = const все регулярные в области D решения системы (3) представляются в виде uj(x) = j(x) - G(x, y) dy, j = 1, n, (4) yj D где 1, 2, , n и - произвольные регулярные в области D гармонические функции, связанные интегро-дифференциальным соотношением n n i (x) + G(x, y) dy =, (5) xi yi xi i=1 i=D где G(x, y) = [(n - 2)n]-1[r2-n(x, y) - g(x, y)] - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, n = 2( )n[(n/2)]-1 - площадь единичной сферы пространства En.
Если = (x) C1(D), то общее представление решения системы (3) имеет вид:
uj(x) = j(x) - (y)G(x, y) dy, j = 1, n, (6) yj D где j(x) - регулярные в области D гармонические функции, 1(x) - регулярное решение уравнения n ((x) - 1) 1(x) + = 0. (7) xi xi i=Теперь гармонические функции j(x), j = 1, n и 1(x) связаны между собой соотношением n n 1 i 1(x) + G(x, y)(y) dy =.
xi yi xi i=1 i=D В з2.2 представление (4) и соотношение (5) обобщаются на случаи неоднородной системы n ui - uj + = fj(x), j = 1, n (8) xj i=1 xi с непрерывно дифференцируемыми в области D правыми частями, а задача Дирихле для этой системы эквивалентным образом сводится к интегральному уравнению ( - 2)(x) + K(x, y)(y)dyS = -2h(x), x S, yn S K(x, y) = O(r1+/2-n(x, y)), 0 < 1, yn где (x) - граничное значение гармонической функции (x), фигурирующей в формулах (4), (5), h(x) - известная непрерывная на поверхности S функция, которая выражается через функции gj(x), заданные на границе области, и правые части fj(x) уравнений системы, а - показатель Ляпунова поверхности S.
Теорема 2.2.1.1 Пусть D - область из En, граница которой является поверхностью Ляпунова. В области D задача Дирихле (2) для системы (8) Номера теорем соответствуют их номерам в диссертации.
фредгольмова, если = 2 и функции gj непрерывно дифференцируемые на S, а fj непрерывно дифференцируемы в D. При = 2 нарушается фредгольмовость задачи.
В з2.3 задача Дирихле исследуется для системы n ui - uj + (x) = fj(x), j = 1, n, (9) xj i=1 xi где (x) C2(D) C1(D).
Исходя из общего представления (6), задача Дирихле для однородной системы (9) сводится к задаче Дирихле для гармонических функций j(x) с краевыми условиями j S = gj(x), а функция 1(x) выражается через гармоническую функцию 0(x) соотношением n a(y) 0(y) 1(x) = 0(x) + W (x, y) dy, yi yi i=D где a(y) = ln[(y) - 1], W (x, y) = G(x, y) + G(x, z)(z, y)dz, D (z, y) - резольвента Фредгольма ядра n a(x) G(x, y) K(x, y) = = O(r1-n(x, y)).
xi xi i=Для определения гармонической функции 0(x) получена задача Дирихле 0 xS = 0(x), граничное значение которой определяется из интегрального уравнения W5(x, y) (2 - (x))0(x) - 2 0(y)dyS = h(x), (10) yn S где W5(x, y) r2-n(x, y) = O + O(r2+-n), yn yn а n i h(x) =.
xi xS i=Уравнение (10) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма третьего рода.
Пусть 1 : {x En : (x) - 1 = 0}, 2 : {x En : (x) - 2 = 0}. Тогда если 2 S =, то уравнение (10) превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Если 2 S, то (10) является интегральным уравнением Фредгольма первого рода. Следовательно, в этом случае задача Дирихле не является фредгольмовой. А если 2 S =, то уравнение (10) на части границы вырождается в интегральное уравнение первого рода и задача Дирихле может быть фредгольмовой и может не быть таковой. Здесь требуется дополнительное исследование. Таким образом, задача Дирихле для однородной системы (9), при 1 D =, 2 S = всегда фредгольмова, а при 1 D =, 2 S = нарушается фредгольмовость этой задачи.
Однородная задача Дирихле для неоднородной системы (9) также сведена к определению гармонической функции 0(x), которая определяется из соотношения n 0(x) - (y)G(x, y) 0(y)dy+ xi yi i=D n + P (x, y)0(y)dy = Qk(x, y)fk(y)dy, (11) k=D D Ядра P (x, y) и Qk(x, y), (k = 1, n) при x y удовлетворяют оценке O(r1-n(x, y)), и интегралы с этими ядрами в уравнении (11) равномерно сходятся и определяют непрерывные в замкнутой области D функции. Исходя из этого, в (11), как и в случае однородной системы, заменяя в интегралах гармоническую функцию 0(x) ее интегральным представлением через функцию Грина области, для определения граничного значения функции 0(x) получено интегральное уравнение, отличающееся от уравнения (10) непрерывной правой частью. Результаты з2.3 сформулированы в виде Теорема 2.3.1. Пусть (x) C2(D) C1(D), fj(x) C1(D) и gj(x) C1(S), j = 1, n. Тогда при 1 D =, 2 S = задача Дирихле (2) для системы (9) всегда фредгольмова.
В з2.4, используя результаты з2.2, задача Дирихле для системы (1) с постоянными коэффициентами сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода n G(x, y) y uj(x) - Lkj[G(x, y)]uk(y)dy = j(x) + Fj(x) + (y)dy, yj k=D D где n G(x, y) Lkj[G(x, y)] = b(l) - ckjG(x, y) = O(r1-n(x, y)), kj yl l=при x y, а j(x), j = 1, n - решения задачи Дирихле для гармонических функций с краевыми условиями j S = gj(x), Fj(x) - известные функции класса C2(D) C1(D) и (x) = 0(x) + C(x, y, )0(y)dy - G(x), - 1 - D n Bs(x, y) где C(x, y, ) - резольвенты ядра, Bs(x, y) = O(r2-n(x, y)) - ys s=известные ядра, которые строятся при помощи функции Грина G(x, y), и элементы матричной резольвенты матричного ядра Lkj[G(x, y)], а 0(x) - гармоническая функция, удовлетворяющая соотношению n G(x, y) 0(x) - 0(y)dy - H(x, y, )0(y)dy = h(x), (12) xi yi i=D D H(x, y, ) = O(r1-n(x, y)), при x y.
G(x) - известная функция класса C1(D) C(D), которая определяется при помощи функций gj(x) и fj(x).
Из соотношения (12) для определения гармонической функции 0(x) получена задача Дирихле, граничное значение которой определяется из интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема 2.4.1. Если область D достаточно мала, то задача Дирихле (2) для системы (1) с постоянными коэффициентами при = 2 всегда фред гольмова, а при = 2 нарушается фредгольмовость задачи Дирихле, то есть в этом случае система (1) сильно связана.
В з2.5 рассмотрена задача Дирихле (2) для системы (1) в случае, когда = (x) C2(D) C1(D), b(l)(x) C2(D) C1(D), kj ckj(x) C1(D) C(D), fj(x) C1(D). Аналогично случаю постоянных коэффициентов, система (1) сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода n y uj(x) - Lki[Qj(x, y)]uk(y)dy = i i,k=D m n = j(x) + ckuj + Q0 (x, y)fk(y)dy+ kj k k=1 k=D + Qj(x, y)0(y)dy, D где y Lki[Qj(x, y)] = O(r1-n(x, y)) при x y, i j(x) - известные функции класса C2(D) C1(D) выражающиеся, через коэффициенты системы, правой части и граничных значений, Qj(x, y) = O(r1-n(x, y)) - известные ядра, которые строятся при помощи функции Грина для уравнения Лапласа, элементов матричной резольвенты y матричного ядра (Lsl[G(x, y)])n и резольвенты ядра n a(t) G(t, y) K(t, y) = = O(r1-n(t, y)).
ti ti i=Для определения гармонической функции 0(x) получена задача Дирихле, краевое значение которой определяется из интегрального уравнения Фредгольма третьего рода, распространенного по всей границе S области D. Таким образом, доказана Теорема 2.5.1. Пусть bl (x) C2(D) C1(D), ckj(x) C1(D) и выполkj няются условия теоремы 2.2.1. Тогда задача Дирихле (2) для системы (1) фредгольмова.
Глава III (зз3.1 - 3.6) посвящена исследованию несильно эллиптических по Петровскому систем с постоянными коэффициентами n n - uj + i(ui) + Lkj(uk) = fj(x), j = 1, n, (13) xj i=k=n n ui - uj + j + Lkj(uk) = fj(x), j = 1, n, (14) xi k=i=n n -Luj + li(ui) + Lkj(uk) = fj(x), j = 1, n, (15) xj i=k=n n -Luj + j li(ui) + Lkj(uk) = fj(x), j = 1, n, (16) i=1 k=где n i() = ki, i = 1, n xk k=-линейные дифференциальные операторы первого порядка;
n L() = li() xi i=-линейный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, n li() = aik xk k=-линейные дифференциальные операторы первого порядка (ik = const, aik = aki = const); Lkj - те же самые операторы, которые были определены в главе II.
Применяемый в этой главе метод исследования задачи Дирихле позволяет привести эту задачу для вышеназванных систем к системе интегральных уравнений Фредгольма и в зависимости от коэффициентов системы определить условия фредгольмовости поставленной задачи в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей.
В з3.1 строятся формулы общих представлений решения однородных систем (13) - (16) без младших членов.
В работах А.И. Янушаускаса5 и Г.В.Васильевой6, было показано, что каждая компонента любого регулярного решения системы (3) ( = const) удовлетворяет условию uj = 0, то есть является бигармонической функцией.
Исходя из этого факта, в названных работах в областях специального вида (напримерь, в полупространстве и в шаре) было получено общее представление решения системы (3) и была исследована задача Дирихле.
Пусть ij = -ji, i = j, ii = , i, j = 1, n. Тогда тем же свойством об ладают компоненты решения однородных систем, соответствующих системам n - uj + i(ui) = fj(x), j = 1, n, (17) xj i=n ui - uj + j = fj(x), j = 1, n. (18) xi i=Используя эту идею, в этом параграфе доказано, что произвольное регулярное в полупространстве решение системы (17) представляется через регуn лярные в полупространстве E+ : {xn > 0} гармонические функции j(x), (j = 1, n), (x) формулами uj(x) = j(x) + xn, j = 1, n, (19) xj где эти функции связаны между собой соотношением n i(i) + 2( - 1) - n() = 0. (20) xn i=Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала//Новосибирск: Наука, СО. 1985, 262 с.
Васильева Г.В. К задаче Дирихле для многомерного аналога системы Бицадзе// Докл. АН СССР. 1978, т.238, №4, с.816 - 819.
Эти формулы для системы (18) принимают вид:
uj(x) = j(x) + xnj(), j = 1, n, n i + 2 - n() = 0.
xi xn i=Если UR : {|x|2 < R2}, |x|2 = x2 + x2 + + x2, то все регулярные в шаре 1 2 n UR решения системы (13) представляются формулами uj(x) = j(x) + (|x|2 - R2), j = 0; j = 1, n; = 0, xj где n n n 2 xk - k(x) + (n - 2)(x) = k(k), xk k=1 xk k=1 k=n i(x) = ikxk.
k=Пусть теперь D - ограниченная область евклидова пространства En с ляпуновской границей S. Тогда все регулярные в этой области решения системы (17) представляются в виде h uj(x) = j(x) - G(x, y) dy; j = 0, j = 1, n; h = 0, (21) yj D где n n h h(x) + i G(x, y) dy = i(i). (22) yi i=1 i=D Эти формулы для системы (18) имеют вид:
uj(x) = j(x) - G(x, y)y(h)dy; j = 0, j = 1, n; h = 0, j D где n n i h(x) + G(x, y)y(h)dy =.
j xi xi i=1 i=D Далее, в этом параграфе аналогичная формула представления общего решения строится для системы n -Luj + li(ui) = 0 j = 1, n, (23) xj i=а для системы n n -Luj + j li(ui) + Lkj(uk) = fj(x), j = 1, n, (24) i=1 k=обнаружено, что когда произведения матрицы A0 = (aij)n с матрицей 0 12 1n -12 0 2n 0 =...
...
.. .
-1n -2n коммутативны, то uj(x) = j(x) + xnj() (25) и n n 2ln() - aini() = li(i). (26) i=1 i=В з3.2 решена задача Дирихле для системы (17) в полупространстве.
При помощи общего представления решения (19) и соотношения (20) эта задача для системы (17) сведена к решению задач Дирихле для гармонических функций j(x) в полупространстве xn > 0 с краевыми условиями x =0 = gj(x ) и задачи о наклонной производной для функции (x) с краеn вым условием n() - 2( - 1) = H1(x ).
xn xn=Решение последней задачи при n = 3 записано в явном виде (x1, x2, x3) = 1 [( - 2)r(x, y ) + p0x3]H1(y1, y2)dy1dy= -, 4p0 r(x, y )[p0r(x, y ) + ( - 2)x3 + 13(x1 - y1) + 23(x2 - y2)] - - где p2 = ( - 2)2 + 2 + 2, r2(x, y ) = (x1 - y1)2 + (x2 - y2)2 + x2.
0 13 23 Теорема 3.2.1. Задача Дирихле (2) для системы (17) в полупространстве E+ при > 1, = 2 всегда разрешима и имеет единственное решение, когда заданные функции gj(x ) C1(E2), (x = (x1, x2)), gj(x ) и их первые производные исчезают на бесконечности, а при > 1, = 2 задача Дирихле (2) для системы (17) не нетерова.
При n > 3 задача Дирихле сводится к сингулярному интегральному уравнению 1 A(x, y ) (1 - /2)0(x ) + 0(y )dy = h(x ), 2n rn-1(x, y ) En-где n-xk - yk A(x, y ) = kn, r(x, y ) k=а h(x ) - известная непрерывная исчезающая на бесконечности, определенная на гиперплоскости En-1 функция. Исходя из этого, доказывается, что задача Дирихле при > 1, = 2 всегда нормально разрешима, при 1 < 2, 2 < 4 - имеет единственное решение, а при 4 нетерова (теорема 3.2.2.).
В этом параграфе также исследована задача Дирихле для неоднородной системы (17). Решение поставленной задачи записано в явном виде и определены условия разрешимости задачи относительно данных задачи. Доказана n Теорема 3.2.3. Если gj(x ) C1(En-1) и fj(x) C(E+), то задача Дирихле для неоднородной системы (17) при > 1, = 2 всегда фредгольмова.
Третий параграф (з3.3) главы III посвящается исследованию задачи Дирихле для системы (13) в ограниченной области D с ляпуновской границей.
Сначала решается задача Дирихле для системы (17).
Для системы (17) найдена формула обращения, которая имеет вид:
n 0 uj(x) = j(x) - G(x, y) dy + Kij(x, y)fi(y)dy, (27) yj - i=D D n 0(y) 0(x) + i G(x, y) dy = yj i=D n n = i(i) + Qi(x, y)fi(y)dy, (28) - i=1 i=D где ядра Kij(x, y) удовлетворяют оценке O(r2-n(x, y)), а ядра Qi(x, y) - оценке O(r1-n(x, y)).
В формулах (27) j(x) являются известными регулярными в области D гармоническими функциями, а гармоническая функция 0(x) определяется из соотношения (28). Доказано, что соотношение (28) эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма, которое при = 2 является интегральным уравнением второго рода, а при = 2 - первого рода.
Далее, применяя к общей системе (13) формулы (27), задача Дирихле для этой системы сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Получено:
n Bkj(x, y) uj(x) = j(x) + (y)dy+ yk k=D n m + Bkj(x, y)fk(y)dy + ckuj (x), j = 1, n, k k=1 k=D n - wkj(y)gj(y)dyS + wkj(y)(y)dy+ yn yj j=S D + wkj(y)fj(y)dy = 0, k = 1, m, D где Bkj(x, y) = G(x, y)kj + Akj(x, z)G(z, y)dz, D а Akj(x, y) - элементы обобщенной матричной резольвенты матричного ядра y j (Lkj[G(x, y)])n и wkj(y), j(x), uj (x) и vk(x) - известные непрерывно дифk ференцируемые в замкнутой области D функции. Для определения гармонической функции 0(x) получено соотношение n G(x, y) 0(x) - i 0(y)dy + T0(x, y, )0(y)dy = h(x), (29) yi i=D D где = ( - 1)-1, T0(x, y, ) = O(r1-n(x, y)), при x y.
Равенство (29) от (28) отличается интегральной частью, ядро которого имеет слабую особенность, и известной непрерывной в замкнутой области D функции в правой части. Отсюда следует, что задача Дирихле для системы (13) в ограниченной области D с ляпуновской границей при = всегда фредгольмова (теорема 3.3.1).
В з3.4 в качестве иллюстрации рассмотрена задача Дирихле для системы (17) в единичном шаре.
Пятый параграф этой главы (з3.5) посвящен исследованию задачи Дирихле для системы (15) в полупространстве и в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей.
Доказано, что задача Дирихле для системы (15) при = 2 в полупростран n стве E+ : {xn > 0} всегда разрешима и имеет единственное решение, а при = 2 она имеет бесконечное множество решений вида uj(x) = xn, j = 1, n, L = 0.
xj Для разрешимости неоднородной задачи Дирихле необходимо выполнение условия n li(i) = 0, i=которое равносильно бесконечному числу условий типа ортогональности.
Для решения задачи Дирихле в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей линейным преобразованием переменных система (15) приводится к системе n vj = Hj(v1, v2, , vn, , fj), (y) = i[vi(y)], (30) i=где n Hj(v1, v2, , vn, , fj) = j[(y)] + Lkj[vk(y)] - fj(y), k=n ( - 1) = i[Hi1(v1, v2, , vn, fi)], (31) i=n n n j() = jk, i() = li, li = aiklk, yk yl k=1 l=1 k=n n Lkj() = d(s) + ckj, d(s) = b(l)sl, kj kj kj ys s=1 l=n 1, если s = l, akisilk = 0, если s = l.
i, k=Здесь через v1, v2, , vn, , fj, hj обозначены, соответственно, образ функций u1, u2, , un, , fj, gj при неособом линейном преобразовании переменных yj = 1jx1 + 2jx2 + + njxn, j = 1, n.
Система (30) по своей внешней структуре похожа на систему (13). Но условия кососимметричности матрицы коэффициентов не выполняются, и поэтому представление решения (21) и соотношение (20) для системы (30) не имеют места. Предполагая правые части уравнения системы (30) известными, решения этой системы представляются в виде 2 r2-n(y, z) vj(y) = - pj(z)dzS(2 - n)n zn Sz - r2-n(y, z)Hj (v1, v2, , vn, , fj)dz, y D1, (32) (2 - n)n D2 r2-n(y, z) pj(y) - pj(z)dzS = (n - 2)n zn Sz = hj(y) + r2-n(y, z)Hj (v1, v2, , vn, , fj)dz, y S1. (33) (n - 2)n DРавенства (33) относительно функций pj(y) являются системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая всегда разрешима и имеет единственное решение. Используя равенства (39) и (33) для определения функций vj, получена система интегро-дифференциальных уравнений:
z vj(y) = qj(y) - K0(y, z)Hj (v1, v2, , vn, , fj)dz, y D1, (n - 2)n Dгде qj(y) - известные регулярные в D1 гармонические функции и K0(y, z) = O(r2-n(y, z)), при x y.
Аналогично, предполагая правую часть уравнения (31) известной, его решение представляется как решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона с произвольным граничным значением. Используя последнее уравнение системы (30), для определения граничного значения функции (x) получено:
2 - r2-n(y, z) (2 - )0(y) - 0(z)dzS1(n - 2)n zn S- P2(y, z)0(z)dzS1 = (y), y S1, (34) (n - 2)n Sгде (y) - некоторая непрерывная функция, которая выражается функциями vj, hj, fj, а P2(y, z) - известное фредгольмовое ядро.
Равенство (34) относительно неизвестной функции 0 при = 2 явля ется интегральным уравнением Фредгольма второго рода, а при = 2 это равенство превращается в интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
Для определения функций vj(y) при = 2 получена система интегральных уравнений n vj(y) + Qj (y, z, )vk(z)dz = qj2(y), (35) (n - 2)n k=1 kDгде qj2(y) - вполне определенные непрерывные функции.
Ядра Qj (y, z, ) при = 2 удовлетворяют оценке O(r1-n(y, z)). Следова kтельно, система уравнений (35) является системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода и справедлива следующая Теорема 3.5.1. Если gj(x) C1(S) и fj(x) C1(D) и область D достаточно мала, то задача Дирихле (2) для системы (15) при = 2 фредголь мова. При = 2 нарушается фредгольмовость задачи.
В з3.6 решается задача Дирихле в полупространстве и в произвольной ограниченной области для системы (16).
n В полупространстве E+, как и в случае однородной системы (15) без младших членов, для определения функций j, входящих в общее представление (25), получена задача Дирихле для системы уравнений Lj = 0 с граничными условиями j(x, 0) = gj(x ), которая имеет единственное решение, а для определения функции (x) из (26) получена задача с косой производной для эллиптического дифференциального уравнения L = 0 в полупространстве n E+ с граничным условием n n 2akn - ainik = (x, 0) (36) xk xn=k=1 i=Если n-(2 - )ann - ainin = 0, (37) i=то эта задача является фредгольмовой, а если условие (37) не выполняется, то задача с косой производной не является фредгольмовой. Из условия коммутативности произведения матрицы A0 и 0 следует, что n-ainin = i=и в силу эллиптичности оператора L, ann > 0. Таким образом, отсюда следует, что однородная система (16) без младших членов при = 2 также является сильно связанной, а в случае = 2 задача Дирихле сводится к задаче о на клонной производной для уравнения L(u) = 0, граничное условие которой определяется из соотношения (36).
Далее, в этом же параграфе аналогичным методом задача Дирихле для системы (16) сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма. В этом случае операторы j и Lkj остаются без изменений, а операторы j заменяются операторами n n j() = jk, jk = ljlk yk k=1 l=и уравнение (31) заменяется уравнением:
n n n n 2 asl + j Lkj[vk] = j(fj), ysyl j=1 k=s,l=1 j=где n asl = -sl + sjjl, j=sl - символ Кронекера. Доказана следующая теорема, которая является обобщением теоремы 3.5.1 для системы (15).
Теорема 3.6.1. Если gj(x) C1(S) и fj(x) C1(D) и область D1 доn статочно мала, то задача Дирихле (2) для системы (16) при kk = k=n фредгольмова, а при kk = 2 нарушается фредгольмовость поставленной k=задачи.
Четвертая глава (зз4.1. - 4.3) посвящена исследованию задачи Дирихле для систем (13), (15) и (16) с переменными коэффициентами. Гомотопический класс эллиптических систем с переменными коэффициентами меняется от точки к точке рассматриваемой области и, как обычно, на границе областей перехода от одного гомотопического класса к другому тип системы вырождается. Рассмотрим задачи Дирихле в тех областях, в которых рассматриваемые системы не являются сильно эллиптическими и граница рассматриваемой области не имеет общих точек с областью сильной эллиптичности исследуемой системы.
Структура систем (13) и (15) позволяет написать общее представление решений систем n - uj + i(ui) = 0, j = 1, n, (38) xj i=n -Luj + li(ui) = 0, j = 1, n (39) xj i=в области D с ляпуновской границей, когда kj(x), aki(x) C2(D). Для системы (38) это представление общего решения имеет вид:
uj(x) = j(x) - G(x, y)y()dy, j = 1, n, j D где j(x) - регулярные в области D гармонические функции, а (x) является регулярным в области D решением уравнения n n + i() = 0, i() = ik(x). (40) xi xk i=1 k=Если определитель матрицы (x) = (kj(x))n для любого x D не равен нулю, то n n i (x) + G(x, y)y()dy =.
i xi xi i=1 i=D В частности, если kj(x) = -kj(x), k = j, kk = (x), то уравнение (40) принимает вид:
n ((x) - 1) + k(x) = 0, (41) xk k=n kj k(x) =, k = 1, n.
xj j=Пусть D1 - ограниченная область пространства En, целиком содержащая в себе замкнутую область D, и пусть в этой области задана система дифференциальных уравнений (15), коэффициенты aik(x), i, k = 1, n, которой являются функциями класса C2(D1). Тогда общее решение этой системы представляется формулой uj(x) = j(x) - (y)(x, y) dy, j = 1, n, yj D где j(x) - регулярные в области D решения уравнений Lj = 0, j = 1, n и (x) - произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в области D функция, а (x, y) - функция Грина задачи Дирихле в области D для уравнения Lu = 0. Функции j(x) и (x) связаны между собой соотношением:
n n x (x) - li [(y)(x, y)] (y)dy = li(i).
yi i=1 i=D В з4.1 изучается задача Дирихле для системы (13) в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей. Используя функции Грина для гармонических функций и представление гармонической функции через ее граничное значение, задача Дирихле сводится к интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода. Доказывается, что если область D не имеет пересечения с множеством нулей функции (x) - 1 и замкнутая область D не имеет пересечения со множеством нулей функции (x)-2, то задача Дирихле для этой системы фредгольмова.
Пусть ij(x) C2(D) C1(D) и kj(x) = -kj(x), k = j, kk = (x).
Тогда для системы (13) имеет место утверждение теоремы 2.5.1.
Когда область D не имеет пересечения с множеством 1 : {(x) - 1 = 0}, то уравнение (41) можно переписать следующим образом:
n + b(x) k(x) = 0, (42) xk k=и, аналогично случаю системы с симметричной главной частью решение задачи Дирихле для системы (17) сводится к определению функции (x). Из уравнения (42) функция (x) выражается произвольной регулярной гармонической функцией 0(x) по формуле n (x) = 0(x) + K(x, y)b(y) k(y) dy, yk k=D где K(x, y) = G(x, y) + G(x, z)(z, y)dz, D (x, y) - резольвента ядра n G(x, y) K0(x, y) = b(x) k(x) = O(r1-n(x, y)), при x y, xk k=а для определения функции 0(x) получено соотношение n n i 0(x) - Ai(x, y)0(y)dy - B0(x, y)0(y)dy =, xi xi i=1 i=D D где n Ai(x, y) = ki(y)G(x, y), j = 1, n, yk k=B0(x, y) = O(r1-n(x, y)), при x y.
Выражая гармоническую функцию 0(x) через ее граничное значение 0(x), для определения 0(x) получено интегральное уравнение третьего рода 1 1 P0(x, y) 1 - (x) (x) + (y)dyS = F (x), (43) 2 (n - 2)n yn S где n i F (x) =.
xi xS i=Решение неоднородной системы (38) записывается в явном виде n uj(x) = j(x) + Bj(x, y)0(y)dy + Bij(x, y)fi(y)dy, i=D D где Bij(x, y) = ijG(x, y) - b(y) Aj(x, z)K(z, y)dz, yi D а функция 0(x) является решением интегрального уравнения Фредгольма, отличающегося от интегрального уравнения (43) непрерывным слагаемым в правой части.
Чтобы решить задачу Дирихле для системы (13) с переменными коэффициентами, она сводится к системе уравнений n n n ui uj = kj(x) - Lkj(uk) - fj(x), j = 1, n, (x) =, xk k=1 xi k=1 i=n n fj - b(x) k(x) = -b(x) + b(x) Lkj(uk).
xk xj xj k=1 j=1 j, k=Тем самым доказывается следующая Теорема 4.1.1. Если kj(x), bl (x) C2(D) C1(D), ckj(x), kj fj(x) C1(D), gj(x) C1(S) и kj = -jk, j = k, jj = (x) и область D достаточно мала, то при 1 D = и 2 S = задача Дирихле (2) для системы (13) фредгольмова.
Во втором параграфе этой главы (з4.2) рассматривается задача Дирихле (2) для системы (15).
Пусть система (15) задана в некоторой области D1, содержащей D S.
Относительно коэффициентов системы предположим, что aik(x) C2(D1), b(l)(x) C2(D1), cj(x) C1(D1), fj(x) C1(D1) и для краткости изложеjk n ния предположим, что = const. Обозначая lj(ui) = (x), систему (15) i=перепишем следующим образом:
L(uj) = Aj(u1, u2, , un, , fj), (44) где n Aj(u1, u2, , un, , fj) = Lkj(uk) + - fj(x), j = 1, n.
xj k=Предполагая правые части (44) известными функциями, решение задачи Дирихле (2) для системы (44) представляется в виде H(x, y, p) uj(x) = - H(x, y, 0)pj(y)dy - 2 a(y) qj(y)dyS, j = 1, n. (45) y D S Будем считать, что pj(x) непрерывно дифференцируемы, а qj(x) - непрерывны. - направление конормали, соответствующее эллиптическому оператору L в точках поверхности S, (2-n)/n 1 n n H(x, y, 0) = Aik(y)(xi - yi)(xk - yk), = - - 1, 4 D(y) i,k=p H(x, y, p) = H(x, y, 0) + H(x, z, 0)K(m)(z, y)dy, m=D K(p)(x, y) = K(n-1)(x, z)K(z, y)dy, K(1)(x, y) = K(x, y), D K(p)(x, y) = O(rp-n(x, y)), при, x y, p < n, lK(p)(x, y) = O log, при, x y, p = n, r(x, y) l0 - максимум r(x, y) по замкнутой области D = D S. При p > n функция K(p)(x, y) непрерывна даже при x = y;
K(x, y) = Lx[H(x, y, 0)] = O(r1-n(x, y)), при x y, H(x, y, p) = O(r2-n(x, y)), при, x y.
Функции pj(x) и qj(x) являются решением системы интегральных уравнений Kp+1(x, y) pj(x) - K(x, y)pj(y)dy - 2 a(y) qj(y)dyS = y D S = Aj(u1, u2, , un, , fj), y D, j = 1, n, (46) qj(x) - H(x, y, 0)pj(y)dyD H(x, y, 0) - 2 a(y) qj(y)dyS = gj(x), y S j = 1, n (47) y S Если область D достаточно мала, то системы уравнений (46)Ц(47) имеют единственное решение. Подставляя решения pj(x) и qj(x) этих систем в формулу (45), для определения функций uj(x) получена система интегральных уравнений Фредгольма n y uj(x) + Lkj[G2(x, y)]uk(y)dy = (y)G2(x, y)(y) cos(n, yj)dySk=D S (1) - (y)G2(x, y) (y)dy + Bj (g1, g2, , gn, fj), j = 1, n, yj D где G2(x, y) = O(r1-n(x, y)), при x y, (1) а выражения Bj (g1, g2, , gn, fj) являются известными непрерывными функциями, которые определяются коэффициентами и правой частью системы и граничными данными.
Неизвестная функция (x) определяется из интегрального уравнения (1 - )(x) - T1(x, y)(y)dy = f(x), D где T1(x, y) = O(r1-n(x, y)), при x y, n f(x) = li H(x, y, 0)0(y) cos(n, yi)dyS+ i=S n n (1) + li T (x, y)0(y) cos(n, yi)dyS + li[Bi (g1, g2, , gn, fi)], i=1 i=S а функция 0(x) - из уравнения 1 (2 - )0(x) - T3(x, y)0(y)dyS = 2 1 - S - (1 - )-1B(g1, g2, , gn, f1, f2, , fn), где r2-n(x, y) T3(x, y) = O, при x y.
yn Bj(g1, g2, , gn, fj) и B(g1, g2, , gn, f1, f2, , fn) - известные непрерывные функции, которые строятся при помощи функций g1, g2, , gn, f1, f2, , fn.
Следовательно, задача Дирихле (2) для системы (15) при = 1 и = всегда фредгольмова, а при = 1 и = 2 не является таковой.
Этим методом можно доказать фредгольмовость задачи Дирихле для системы (15), когда = (x) C2(D) C1(D).
В третьем параграфе (з4.3) задача Дирихле (2) исследуется для системы (16). Аналогично случаю системы (15) с переменными коэффициентами эта задача сводится к решению интегрального уравнения (2 - (x0))0(x0) + y H(x0, y, 0) 0(y)dyS+ S + C0x0, y)0(y)dyS = F0(x0), (48) S где C0(x0, y) имеет слабую особенность.
Ядро y H(x0, y, 0) является сингулярным. Сингулярный оператор в (48) имеет символ 1 i (x0, ) = ((x0) - 2) + cos(r, l), 2 где r - любое направление в касательной плоскости в рассматриваемой точке x0 поверхности S и inf |(x0, )| inf |(x0) - 2|.
Если (x0) = 2, то сингулярное интегральное уравнение (48) допускает регу ляризацию и верна следующая Теорема 4.4.1. Пусть gj(x) C0,(S), fj(x) C0,(D), aki(x) C1,(D) C0,(D), b(l)(x) C1,(D) C0,(D), ckj(x) C1,(D) kj и пусть произведение матрицы A0 и 0 является коммутативным. Тогда, если 1D = и 2S = и область D достаточно мала, то задача Ди рихле (2) для системы уравнений (16) всегда фредгольмова. Если 1 D = и 2 S =, то нарушается фредгольмовость задачи Дирихле.
Публикации по теме диссертации 1. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных//В кн.: Исследования по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных производных.
Новосибирск: Изд. СО АН СССР. 1986. с.119 - 129.
2. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных//Материалы конф. молодых ученых АН Тадж.ССР,секция физ. - мат. наук. Душанбе. 1987, с.64 - 66.
3. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной системы дифференциальных уравнений эллиптического типа//Доклады АН Тадж. ССР.
1987, Т.XXX, №6, с.339 - 342.
4. Халилов Ш.Б. О задачи Дирихле для одной многомерной системы эллиптического типа//Дифференц. уравнения. 1987, т.23, №9, с.1608 - 1612.
5. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем уравнений второго порядка//Дисс. на соискание уч. степени канд. физ. - мат. наук. Душанбе. 1988. 101 с.
6. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной не сильно эллиптической системы уравнений второго порядка//Тезисы Республиканской научно практической конф. молодых ученых и специалистов. Секция математика. 1989, с.89 - 92.
7. Халилов Ш.Б. О разрешимости задачи Дирихле для многомерных эллиптических систем//Дифференц. уравнения. 1990, т.26, №9, с.1621 - 1626.
8. Халилов Ш.Б. К теорий многомерных не сильно эллиптических систем Куляб.: Тезисы Республиканской научно - практической конф. ученых и специалистов Таджикистана. 1991, с.29 - 31.
9. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для не сильно эллиптических систем в полупространстве//Вестник ТГУ. Душанбе. 1993, №3, с.23 - 32.
10. Халилов Ш.Б. О задачи Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем уравнений в частных производных//Вестник Госуниверситета. №1, Душанбе. 2001, с. 9 - 17.
11. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной не сильно эллиптической системы в полупространстве//Доклады АН РТ. 2001, Т.XLIV, №3 - 4, с. - 64.
12. Халилов Ш.Б. О задаче Дирихле для многомерных несильно эллиптических систем уравнений в частных производных//Материалы международной научной конференции, посвященной 60 - летию Т. Собирова "Дифференциальные уравнения и их приложения." Душанбе. 2002, с. - 13.
13. Халилов Ш.Б. К теорий краевых задач для многомерных эллиптических систем//Труды международной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе.
2003, с.156 - 158.
14. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной несильно эллиптической системы уравнения второго порядка в полупространстве//IV международная конференция по математическому моделированию. Тезиси докладов.
Якутск. 2004, с.44.
15. Халилов Ш.Б. О задаче Дирихле для несильно эллиптических систем уравнений в частных производных// Математические заметки ЯГУ. 2004, т.11, вып.2, с.98 - 110.
16. Халилов Ш.Б. Общее представление решений одной эллиптической по И.Г.Петровскому системы уравнений второго порядка//Труды международной научно - теоретической конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложении, посвященной 10 - летию ТРСУ. Душанбе. 2005, с.109 - 110.
17. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одного класса эллиптических по Петровскому систем уравнений в частных производных второго порядка//Материалы международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа". ТГНУ.
Душанбе. 2005, с.204 - 206.
18. Халилов Ш.Б. К теорий краевых задач для многомерных несильно эллиптических систем//Вестник Национального университета. Серия математика. Душанбе. 2005, №2, c.138 - 148.
19. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для эллиптической по Петровскому системы уравнений второго порядка.//Дифференц. уравнения. 2006. т.42, №3, с.1 - 7.
20. Халилов Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных эллиптических по Петровскому систем уравнений в частных производных// Межд. конф.
"Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва - 2007). Сборник тезисов. С.136 - 137.
21. Халилов Ш.Б. О задаче Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем// Материалы межд. научной конференции "Акктуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70 - летию академика АН РТ Усманова З.Д.
Душанбе, 2007, с.126 - 127.
22. Халилов Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных эллиптических систем уравнений с частными производными// Материалы II международной научно-практической конференции "Перспективы развития науки и образования в XXI веке". Душанбе, 2007, с.29 - 31.