Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
УДК 519.6 Семенов
Юрий Матвеевич Конструктивные методы анализа множеств управляемости и достижимости динамических систем
01.01.02. Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Чебоксары 2010
Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова
Научный консультант:
доктор технических наук, академик РАН, профессор Коровин Сергей Константинович.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Васильев Фёдор Павлович, МГУ ВМК доктор физико-математических наук, профессор Афанасьев Александр Петрович, ИСА РАН доктор физико-математических наук, профессор Елкин Владимир Иванович, В - РАН
Ведущая организация:
Российский университет дружбы народов.
Защита диссертации состоится 6 октября 2010 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская федерация, Москва, ГСП - 1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, аудитория 685.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
Автореферат разослан 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного Совета Д 501.001.43, доктор физико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович Общая характеристика диссертации
Актуальность темы исследования. Математическая теория управления содержит ряд тесно связанных направлений исследования динамических управляемых систем: вопросы оптимизации, управляемости и наблюдаемости, теорию управления движением, теорию автоматического управления, теорию факторизации и декомпозиции управляемых систем, теорию стабилизации управляемых систем, теорию наблюдателей в условиях определенности и неопределенности, игровые задачи и т. д., а также численные методы их решения.
В математическую и прикладную теорию управления выдающийся и разносторонний вклад внесли отечественные математики академики РАН Р. В. Гамкрелидзе, С. В. Емельянов, В. А. Ильин, С. К. Коровин, Н. Н.
Красовский, А. Б. Куржанский, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Ю. С.
Осипов, Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, Ф. Л. Черноусько, чл.-кор. РАН С. М. Асеев, В. И. Зубов, Ю. Н. Павловский, а также Е. Р. Аваков, А. А.
Аграчев, В. В. Александров, В. М. Алексеев, Ю. Н. Андреев, А. В. Арутюнов, А. П. Афанасьев, В. И. Благодатских, В. Г. Болтянский, А. Г.
Бутковский, Ф. П. Васильев, Р. Ф. Габасов, И. В. Гайшун, Н. Л. Григоренко, А. В. Дмитрук, А. Я. Дубовицкий, В. И. Елкин, М. И. Зеликин, А. В.
Ильин, Ф. М. Кириллова, М. М. Коган, В. И. Коробов, А. П. Крищенко, И. А. Крылов, Л. А. Кун, А. М. Летов, А. В. Лотов, А. А. Милютин, М.
С. Никольский, А. И. Овсеевич, Н. Н. Петров, Е. С. Половинкин, Б. Н.
Пшеничный, А. И. Субботин, В. И. Сумин, М. И. Сумин, В. М. Тихомиров, Е. Л. Тонков, Р. П. Федоренко, А. А. Фельдбаум, А. Ф. Филиппов, В.
В. Фомичев, А. М. Формальский и другие.
С самого начала развития теории управления много внимания уделялось исследованию линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами. Линейные управляемые системы с постоянными коэффициентами обычно задаются системами линейных дифференциальных уравнений вида = Ax + Bu, x Rn, u U Rm, (1) в которой A Mnn и B Mmn постоянные матрицы. Класс линейных управляемых систем с постоянными кэффициентами единствен, для которого почти все вопросы теории управления поддаются общему анализу, в частности, теории управляемости и достижимости.
Множество всех точек пространства Rn, которые можно перевести в точку 0 за время t > 0 называется множеством 0-управляемости системы (1) за время t > 0 и обозначается S(t). Множество всех точек пространства Rn, в которые можно перевести точку 0 за время t > 0 называется множеством 0-достижимости системы (1) за время t > 0 и обозначается K(t).
Обычно они представляются интегралами от многозначных отображений t t S(t) = - e-AsBU ds, K(t) = eAt e-AsBU ds. (2) 0 Исторически сформировался ряд общих задач теории управляемости и достижимости динамических систем. Выделим из них следующие:
1. Задача мгновенной 0-управляемости. При каких условияx множество S(t) = Rn t > 0 ? 2. Задача полной управляемости. При каких условияx существует конечный момент времени T 0, для которого множество S(t) = Rn t > T ? Если система (1) вполне управляема, то как вычислить нижнюю грань (момент полной управляемости) tcc моментов времени t, для которых S(t) = Rn? 3. Задача глобальной 0-управляемости. При каких условияx множество S : = { S(t) : t > 0} = Rn ? 4. Задача локальной мгновенной 0-управляемости. При каких условияx множества S(t) содержат окрестность точки 0 t > 0 ? 5. Задача локальной 0-управляемости. При каких условияx существует такой момент времени t (0, +), что множества S(t) содержат окрестность точки 0 t > t ? Если система (1) локально 0-управляема, то как вычислить момент локальной 0-управляемости tlc (нижнюю грань моментов времени t, для которых S(t) содержит окрестность точки 0)? Все перечисленные задачи и их аналоги для множеств достижимости являются специализациями общей проблемы описания эволюции множеств управляемости и достижимости (множеств УД) системы (1) при изменении параметра t в интервале (0, +). Существует много работ, в которых исследовались с разных сторон эти задачи. Выделим среди них наиболее значительные.
В 1958 году Р. В. Гамкрелидзе [1] доказал критерий полной управляемости в важном случае систем вида (1), когда = Ax + bu, x Rn, b Rn, u R. (3) В 1959 году критерий полной управляемости для систем вида (1) с U = Rm дал Л. С. Понтрягин [2]. В 1961 году R. E. Kalman [3] привел много приложений критерию полной управляемости системы (1) с U = Rm и положил его в основу теорий управляемости и наблюдаемости, после чего этот критерий получил название критерия Калмана. B. F. Brammer [5] в 19году дал полное решение задачи локальной 0-управляемости систем вида (1) и доказал критерий полной управляемости систем вида (1) с коническими множествами ограничений управлений. В 1978 году Семенов Ю. М.
[1] получил наиболее полное решение задачи глобальной 0-управляемости, вошедшее в кандидатскую диссертацию автора. Решение задачи мгновенной 0-управляемости в общем случае было дано R. M. Bianchini в 1982 [6].
В 1990 году Ю. М. Семенов [3] доказал теорему, в которой описал предел множеств управляемости при t 0 + 0, следствиями которой явились и критерий Калмана, и теорема R. M. Bianchini.
Казалось бы, что в теории управляемости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами больше не осталось задач достойных внимания. Однако, среди перечисленных выше задач для систем вида (1), оставалась нерешенной в общем случае задача полной управляемости, важная с теоретической точки зрения. Осталась совершенно неисследованной задача вычисления момента локальной 0-управляемости tlc и момента полной управляемости tcc для систем вида (1). Нам известна лишь одна публикация, в которой была сделана попытка вычисления момента tlc. В 1971 году S. H. Saperstone и J. A. Yorke [4] высказали предположение о моменте tlc для локально управляемого двойного гармонического осциллятора с разными частотами 1 = 2 с уравнением вида (3) с u [0, 1], как функции от значений 1, 2, но оно оказалось неверным. Следует также отметить, что теория управляемости и достижимости систем вида (1) до сих пор состояла из мало связанных между собой фрагментов и не имела определенную форму, в которой доказательства всех теорем имеют четко выделенные общие основания. Создание общей теории УД систем вида (1) актуально и потому, что позволяет пролить свет и на аналогичные проблемы для других классов управляемых систем и возможно даст какие-то новые идеи для их решения.
Цель работы состоит в построении теории эволюции множеств управляемости и достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами и разработке на ее основе конструктивных методов анализа множеств УД динамических систем.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории управления, линейной алгебры, выпуклого анализа и конечномерной геометрии. Существенное значение для теории имеет классификация линейных операторов на конечномерных пространствах. Термины теории категорий и функторов применяются как наиболее подходящие при обосновании и использовании метода приведения задач управляемости и достижимости к решению аналогичных для редуцированных управляемых систем.
Научная новизна. В диссертации в основу изучения множеств УД линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами (класса C) положено новое, геометрическое в своей основе, исследование множеств достижимости систем класса Cs, заданных интегралами от многозначных отображений вида t K(t) : = A(t) Z(s) ds, 0 , (4) обобщающих класс интегралов вида (2). Предполагается, что A(t) и Z(t) линейные операторы на пространстве V, где параметр t [0, +), выпуклое подмножество V. Множества управляемости для систем класса Cs не определяются. На основе построенной в диссертации теории эволюции интегралов вида (4) по параметру t в интервале (0, +), разработаны новые методы конструктивного анализа множеств УД систем класса C. Построенная теория эволюции множеств УД систем класса C позволяет дать новые доказательства всех известных теорем теории УД в классе C и решить до конца почти все ее общие проблемы. На основе теории эволюции множеств УД систем класса C разработаны новые конструктивные методы решения задачи вычисления моментов скачков функции размерности наибольшего линейного подпространства, лежащего в S(C, t) (t (0, +)), в частности, долго стоящей открытой, задачи вычисления момента полной управляемости. Эти методы использованы для вычисления моментов локальной 0-управляемости ряда конкретных систем класса C.
В диссертации получены следующие результаты:
1. Доказан ряд новых теорем геометрической теории эволюции множеств достижимости систем класса Cs, на базе которых построена общая теории эволюции множеств УД линейных управляемых систем, необязательно автономных. Эти теоремы положены в основу конструктивной теории эволюции множеств УД для систем класса C.
2. В рамках разработанной теории эволюции множеств УД систем класса C предложены решения основных проблем теории УД систем класса C.
Из них особо выделяется решение в общем случае задачи полной управляемости, когда множество U свободно от каких-либо ограничений. Показано, что тогда описание эволюции множеств УД систем класса C сводится к последовательному изучению эволюции конусов УД некоторого конечного ряда систем с понижающимися порядками, с коническими ограничениями управлений.
3. На основе теории эволюции множеств УД систем класса C разработаны общие конструктивные методы анализа (графический, численный и аналитический) множеств УД управляемых систем класса C. В том числе, для вполне управляемых линейных систем класса C с коническими ограничениями управлений, конструктивные методы вычисления момента полной управляемости tcc, описания пространства линейной стабилизации, поиска конуса опорных векторов к множеству управляемости S(C, tcc) в момент полной управляемости; следствиями которых являются, в частности, конструктивные методы вычисления момента tlc локальной 0управляемости для локально 0-управляемых систем класса C.
Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации имеют как теоретическое, так и практическое значение. Построенная теория эволюции множеств УД позволяет взглянуть на все факты теории УД систем класса C с единой точки зрения. Положенное в основу теории исследование интегралов вида (4) позволяет распространить теорию эволюции множеств УД на некоторые расширения класса линейных управляемых систем в классе линейных систем с переменными коэффициентами. Разработанные конструктивные методы анализа множеств УД дают подход к вычислению моментов скачков множеств УД, нахождению опорных конусов к множествам УД в моменты локальной 0-управляемости и находить моменты локальной 0-управляемости tlc систем класса C.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части были доложены на следующих семинарах и конференциях: на Всесоюзной конференции "Динамическое управление" (Свердловск, 1979);
на Всесоюзной школе "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1988, 1990); на Международном Советско-Польском семинаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989); на Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990); на "Понтрягинских чтениях" (Воронеж 1996, 1997, 1998, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009); на "Воронежской зимней математическая школе" (Воронеж, 2005); неоднократно выступал на Всероссийском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" под руководством академиков Емельянова С. В. и Коровина С. К., начиная с 2005; на семинаре кафедры системного анализа ВМиК МГУ под руководством академика Куржанского А. Б.; на 15-й и 17-й Международной конференции "Математика. Образование" (Чебоксары 2007 и 2009); на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2007); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва 2008); на 8-ой Всероссийской научно-технической конференции "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем" (Чебоксары 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 52 научных работ.
В основные публикации включено 12 работ, из них 10 относятся к публикациям перечня ВАК (Математический сборник, Дифференциальные уравнения), одна монография и одна работа из сборника трудов ИСА под редакцией академиков РАН С. В. Емельянова и С. К. Коровина.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, трех дополнений, списка литературы из 112 наименований. В работе имеется 12 рисунков.
Обзор содержания диссертации Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведены основные определения, даны общие постановки задач и краткий обзор состояния области исследования в настоящее время.
В первой главе обсуждаются и уточняются основные сведения из теории управления и смежных разделов математики, необходимые при построении конструктивной теории эволюции множеств УД линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами.
В первом пункте определяется категория B вещественных банаховых пространств, выделяется ее подкатегория E конечномерных банаховых пространств и вводится категория M (конечномерных вещественных линейных пространств, снабженных одним линейным оператором).
Во втором пункте приводятся необходимые сведения из теории выпуклых множеств. Отметим, что в класс выпуклых множеств мы не включаем пустое множество. Выпуклое множество P V называется конусом, если оно замкнуто относительно операции умножения на неотрицательные вещественные числа в V. Наибольшее линейное подпространство, содержащееся в замыкание P конуса P, называется линейным краем конуса P.
Полупрямая l V с концом в точке 0 называется лучом бесконечного (рецессивного) направления выпуклого множества P, если существует такая точка a P, что полупрямая a + l P. Объединение лучей бесконечных направлений выпуклого множества P образует выпуклый конус, который называется конусом бесконечных (рецессивных) направлений выпуклого множества P и обозначается conP. Если P лежит в конечномерном пространстве, то конус conP топологически замкнут. Если у выпуклого множества P нет лучей бесконечных направлений (P ограничено), то, по определению, conP = {0}. Наибольшее линейное подпространство, лежащее в конусе conP, обозначается linP. Выпуклое множество P называется правильным, если linP = 0. Через ConP обозначается коническая оболочка множества P, а через LinP линейная оболочка множества P. Символы con(. ), lin(. ) рассматриваются как операторы на классе выпуклых множеств, а символы Con(. ), Lin(. ) на классе множеств.
Следующая теорема входит в ряд наиболее принципиальных в теории эволюции множеств УД, поскольку именно она находится в основе свойства восстановимости множеств УД по отношению к редукциям систем.
Теорема 1.2.4. Пусть P выпуклое подмножество пространства V класса B, : V W сюръективное линейное непрерывное отображение пространства V в пространство W класса B. Если linP = Ker, то P = -1P. (2) Конечное семейство точек A = (a1,..., ar), лежащее в линейном подпространстве V V, называется X-семейством в V, если его коническая оболочка Con A = V. Если его линейная оболочка Lin A = V и размерность линейного края конуса Con A больше 0, то семейство точек A называется Y -семейством в V.
Предложение 1.2.9. Пусть выпуклое множество P содержится в nмерном линейном пространстве V. Следующие условия эквивалентны:
1) ConP = V ;
2) P содержит окрестность точки 0;
3) в P можно выделить такое семейство векторов (v0, v1,..., vn), что а) векторы (v1,..., vn) образуют базис в V ;
б) все координаты вектора v0 в базисе (v1,..., vn) отрицательны.
В третьем пункте определяется категория выпуклых пар V. Точнее рассматривать выпуклое множество P V как пару (V, P ), в которой P это выпуклое подмножество банахова пространства V. Класс всех выпуклых пар обозначается V. Линейное отображение : V W называется отображением выпуклой пары (V, P ) в выпуклую пару (W, Q), если P Q. В категории V выделяется ряд подкатегорий, полезных при классификации линейных управляемых систем; так через Vlin (Vcon, V0) обозначается категория линейных подпространств (замкнутых конусов и, соответственно, выпуклых множеств, содержащих точку 0). Здесь же определены важные функторы lin, Lin, con, Con на категории V со значениями в категориях Vlin и Vcon. По умолчанию все функторы на классах морфизмов тождественны.
Если каждому моменту времени t > 0 сопоставлена выпуклая пара (V, P (t)) класса V, то говорят, что задано t-семейство выпуклых пар (V, P ).
t-семейство выпуклых пар (V, P ) можно рассматривать как пару, составленную из линейного пространства V класса B и отображения P : (0, +) V(V ) в множество всех выпуклых подмножеств пространства V. Класс всех tсемейств выпуклых пар обозначается V и обращается в категорию. Категорию V можно рассматривать как t-семейство категорий выпуклых пар.
В категории V выделяется ряд подкатегорий.
В четвертом пункте рассматриваются различные классы управлений и приводятся основные сведения об их свойствах. Важным здесь является анализ понятия спаривания управлений (контингенции управлений), необходимое при выводе формул сложения множеств УД.
В пятом пункте определяются системы класса Cs. Система класса Cs задается четверкой C = (V, A, Z, ), где V конечномерное пространство, A, Z : [0, +) L(V ) однопараметрические семейства невырожденных линейных операторов на V, A(0) = 1V, замкнутое выпуклое подмножество пространства V.
Множества достижимости систем класса Cs определяются интегралами от многозначных отображений вида t K(C, t) : = A(t) Z(s) ds.
Множества управляемости для систем класса Cs не определяются. Системы вида (V, 1V, Z, ) называются H-системами и образуют класс Ch.
В шестом пункте определяется важное понятие K-остова управляемой системы C Cs, как однопараметрического семейства множеств достижимости K(C, t), t > 0 и, тем самым, устанавливается основной объект теории эволюции множеств УД. K-остовы H-систем монотонны по включению, если 0 . С K-остовом K(C, t) связываются в качестве наиболее важных объектов линейный linK(C, t) и конический conK(C, t) K-остовы системы C. Показано, что класс Cs содержит класс линейных управляемых систем (необязательно автономных). Здесь же собраны наиболее общие свойства множеств УД линейных управляемых систем.
В седьмом пункте определяются различные типы точек фазового пространства системы C, характерные для множеств достижимости управляемой системы. Определяются множества K0(C), K0(C), AP (C), K (C, t), K(C), K(C), K(C), каждое из которых описывает свои особенности в строении K-остова системы C на концах промежутка (0, +).
В восьмом пункте ставятся основные задачи теории УД в классе линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами.
Во второй главе строится общая теория эволюции множеств 0достижимости систем класса Cs.
В первом пункте приводится исследование интегралов от многозначных отображений вида t t K(C, t) = A(t) Z(s) ds, H(C, t) = Z(s) ds, 0 где A(t) и Z(t) функции определенные на [0, +) со значениями в R.
Во втором пункте рассматриваются системы класса Cs с линейными ограничивающими множествами. Если система C = (V, A, Z, ) Cs, то lin ее h-остов совпадает с ее линейным остовом. Из монотонности t-семейства пространств H(C, t) и конечности размерности пространства V следует существование строго возрастающей последовательности моментов времени ti (i = 0, 1,..., r ; t0 = 0, tr+1 = +) и соответствующей строго возрастающей последовательности линейных подпространств Li пространства V, что H(C, t) = Li, если t (ti, ti+1). Пространство Li, соответствующее системе Ch, обозначается Li(Ch). Пространство Lr(Ch) называется пространством полной линейной стабилизации системы и обозначается L(C).
Пусть V линейное подпространство пространства V. Опишем условия, гарантирующие каждое из включений V H(C, t) и H(C, t) V.
Пусть момент времени t > 0. Сформулируем условия, налагаемые на :
A) Z(s) V почти для всех s [0, t);
B) в линейном подпространстве V размерности m существует такое семейство открытых в V правильных конусов K1,..., Km, что система из любых m ненулевых векторов vi Ki, i = 1,..., m, линейно независима и мера каждого из множеств {s : Z(s) Ki = {0}, s [0, t)} больше 0 при всех i = 1,..., m.
Теорема 2.2.2. Пусть система C Cs, V V, dimV = m > 0. В lin таком случае условие A) необходимо и достаточно для того, чтобы H(C, t) V, а условие B) достаточно для того, чтобы V H(C, t).
Условие B) не является необходимым для включения V H(C, t), что легко увидеть на простейших примерах.
Если C система класса Cs с непрерывным t-семейством ограничиваlin ющих операторов, то при описании линейного пространства H(C, t) интеграл можно заменить на сумму.
Теорема 2.2.3. Если C = (V, A, Z, ) Cs и Z непрерывное tlin семейство линейных операторов, то t H(C, t) = Z(s) ds = Z(s).
0 Теорема 2.2.6. Если C = (V, A, Z, ) Cs система с аналитичеlin ским t-семейством ограничивающих операторов Z, то t-семейство линейных пространств H(C, t) стационарно в промежутке (0, +). Заметим, что линейное пространство H(C, t) в условиях теоремы 2.2.необязательно Z(t)-инвариантно для всех t > 0. Приведем еще один способ нахождения пространства L(Ch) для систем класса Cs с аналитическим ограничивающим оператором Z(t), используlin ющий конечное число вычислений. Теорема 2.2.11. Если C = (V, A, Z, ) Cs система с аналитичеlin ским ограничивающим оператором Z, то L(Ch) = Z(0) + Z (0) +... + Z(k-1)(0). где число k равно степени минимального многочлена оператора Z(0). В третьем пункте рассматриваются общие свойства линейных остовов систем класса Cs. Пусть C = (V, A, Z, ) система класса Cs. Линейный остов linK(C, t) системы C Cs вообще говоря немонотоннен по включению, в отличие от ее линейного h-остова. Пусть d(C, t) = dim(linH(C, t)). Из монотонности по включению t-семейства пространств linH(C, t) и конечности размерности пространства V следует конечность множества точек разрыва функции d(C, t) в интервале (0, +). Если функция d(C, t) постоянна, то линейный остов системы C называется линейно стабильным. В этом случае линейное пространство linH(C, t) не меняется с течением времени и обозначается L(Ch). Момент времени 0 называется тогда моментом полной линейной стабилизации линейного остова системы C. Если функция d(C, t) непостоянна, то ее точки разрыва записываются в порядке возрастания t1,..., tr. Отметим, что тогда 0 < t1 tr < +. Ясно, что r dimV. К последовательности моментов разрыва функции d(C, t) добавляются точка t0 = 0 и несобственная точка tr+1 = +. В этом случае t1 называется моментом первого скачка линейного остова системы C и обозначается t(C), а момент времени tr называется моментом полной стабилизации линейного остова системы C и обозначается T (C). Если система C вполне достижима, то T (C) = tca(C). Из монотонности по включению линейного остова системы Ch следует стабильность линейного пространства H(C, t) при t (ti, ti+1). Если t (ti, ti+1), то линейное пространство H(C, t) обозначается Li(Ch). Таким образом, с системой Ch связывается строго возрастающая последовательность L0(Ch) L1(Ch) ... Lr(Ch) линейных подпространств пространства V. Пространство Lr(Ch) называется пространством полной линейной стабилизации системы Ch и обозначается L(Ch). Значения линейного остова системы Ch в моменты времени ti (i = 1,..., r) обозначаются Li(Ch). Число r называется высотой линейного остова системы C. Значения функции d(Ch, t) в точках ti обозначаются i. Значение функции d(Ch, t) в интервале (ti, ti+1) обозначается hi. Из монотонности линейного остова системы Ch следуют неравенства h0 < h1 <... < hr. В четвертом пункте рассматриваются важнейшие общие свойства конических остовов систем класса Cs. При описании множества H(C, t) системы C = (V, Z, ) Chc с коническим множеством и непрерывным con t-семейством операторов Z(t) можно операцию интегрирования заменить операцией суммирования. Теорема 2.4.1. Если C Chc, то con H(C, t) = Z(s). 0 Теорема 2.4.5. Пусть C = (V, A, Z, ) Cs. Если множество K(C, T ) правильное и для всех t (0, T ] линейный оператор t (t) = Z(s)ds невырожден, то для всех t (0, T ] conK(C, t) = K(conC, t) и conH(C, t) = H(conC, t). Замечание 2.4.10. В теории достижимости принципиальной является проблема определения момента t(C) первого скачка линейного остова системы C класса Cs. Из теоремы 2.4.1 следует, что этот момент con совпадает с нижней гранью значений t, для которых неправилен конус Z(s). 0 Точка a фазового пространства V системы C называется точкой почти мгновенной нуль-достижимости, если для любых > 0 и > 0 найдется такое t (0, ), что расстояние между точкой a и множеством K(C, t) меньше . Множество всех таких точек обозначается K0(C) и называется множеством почти мгновенной нуль-достижимости системы C. Множество почти мгновенной нуль-достижимости можно задать равенством K0(C) = { {K(C, t) : t (0, )}}. >Теорема 2.5.1. Если система D получена из системы C класса Cs при помощи параллельного переноса ее ограничивающего множества, то K0(C) = K0(D). Теорема 2.5.6. Пусть C Cs - правильная система. Если существует lim Z(t) t0+и этот предел равен оператору 1V, то K0(C) = con. В третьей главе рассматриваются линейные управляемые системы вида = x + etu, x V, u V, где , : V V линейные операторы. Такие системы образуют простейшее расширение C класса C в классе Cs. Теоремы главы 2, используются для описания эволюции множеств УД для некоторых видов систем класса C. Важное значение здесь уделяются анализу понятию примитивности простой системы. В первом пункте рассматриваются детали эволюции множеств УД систем первого порядка класса C. Во втором пункте рассматриваются простые системы второго порядка специального типа. Общий класс простых систем класса C плохо обозрим; к нему относятся все ненулевые системы C = (V, , , ) C, у которых операторы и не имеют общих нетривиальных инвариантных линейных подпространств. Система C = (V, , , ) C называется простой C-системой, если ее порядок равен 2, а оператор имеет комплексные собственные значения i ( > 0). Класс простых C-систем разбивается на два типа. К первому типу относятся все те, у которых оператор - является гомотетией. Ко второму типу относятся все остальные простые C-системы. В третьем и четвертом пунктах исследуются особенности эволюции множеств УД простых C-систем типа 1 и 2 класса C. В пятом пункте рассматриваются операции свертки и спаривания экспонент, как специализаций формулы Коши, полезные при конструктивном исследовании эволюции множеств УД систем класса C. t-семейство линейных операторов t et e-ses ds называется сверткой экспонент линейных операторов и , и обозначается S(, , t). В тех случаях, когда ясно, какие именно операторы и имеются в виду, для свертки используется сокращенное обозначение S(t). При исследовании h-остова системы класса C полезно использовать t-семейство линейных операторов t P (, , t) = e-sesds, которое называется спариванием экспонент линейных операторов и . Для t-семейства операторов S(t) и P (t) имеют место формулы сложения. Предложение 3.5.5. Для любых t1,..., tn 0 имеют место равенства S(t1 + t2 +... + tn) = 2 3 1 = e(t +...+tn)S(t1) + e(t +...+tn)S(t2)et +... + S(tn)e(t +...+tn-1), P (t1 + t2 +... + tn) = 1 1 1 = P (t1) + e-t P (t2)et +... + e-(t +...+tn-1)P (tn)e(t +...+tn-1). В шестом пункте рассматриваются разнообразные виды формул сложения для множеств УД систем класса C. Представляет интерес общее определение формул сложения. Отмечается, что формулы сложения для систем класса C полезно рассматривать в классе кусочно-постоянных управлений. Если = (t1,..., tn) разбиение полуинтервала [0, t), и t = t1 +... + tn, то индукцией по n легко выводятся формулы сложения: K(C, t) = S(t1)e(t +...+tn)+ 1 3 +et S(t2)e(t +...+tn) +... + e(t +...+tn-1)S(tn), 1 H(C, t) = e-(t +...+tn)S(t1)e(t +...+tn)+ 2 3 n +e-(t +...+tn)S(t2)e(t +...+tn) +... + e-t S(tn), 2 H(C, t) = e-(t +...+tn)P (t1)e(t +...+tn)+ 3 +e-(t +...+tn)P (t2)e(t +...+tn) +... + P (tn). Формулы сложения позволяют вывести следующие предложения. Предложение 3.6.2. Если C C con, то для любого t > 0 конус H(C, t) содержит конусы e-tet и P (t). В частности, если C C lin, то линейное пространство H(C, t) при всех t > 0 содержит линейные пространства e-tet и P (t). Предложение 3.6.3. Если C C con, то при любом t > 0 конусы et и et лежат в конусе K(C, t). Из формулы сложения следует, что все пространства из сильного линейного остова системы C = (V, , ) класса C0, -инвариантны. Теорема 3.6.4. Если пространство L входит в сильный линейный остов системы C = (V, , ) C, то оно -инвариантно. Теорема 3.6.5. Пусть система C = (V, , ) C, V линейное подпространство в V. Если V K(C, t1), то для всех t > t1 -инвариантное линейное подпространство [V ] K(C, t). В седьмом пункте рассматриваются основные свойства морфизмов систем класса C. В теории систем класса C необходимо учитывать взаимное строение двух линейных операторов, определенных на фазовом пространстве системы. Теорема 3.7.1 (функториальность оператора K(., t)). Соответствие, по которому каждой системе C Ch сопоставляется t-семейство выпуклых пар (V, K(C, t)), определяет функтор на s-категории Cs со значениями в s-категории Vf. Таким образом, если морфизм системы C C 0 в систему того же класса, то для любого t > 0 имеют место равенства K(C, t) = K(D, t), LinK(C, t) = LinK(D, t), ConfK(C, t) = ConfK(D, t) и включения linK(C, t) linK(D, t), conK(C, t) conK(D, t). Если C C 0, то возможность редукции описания остова системы C к описанию остова системы меньшего порядка заложена в следующей теореме. Теорема 3.7.7. Пусть C C 0. Если множество K(C, t0) содержит -инвариантное линейное подпространство V0 при некотором t0 > 0, то K(C, t) содержит V0 при всех t > t0. Следствие 3.7.8. Пусть C = (V, , , ) система класса C 0, V-инвариантное линейное подпространство в V, D = C/V0, : C D морфизм факторизации. Если множество K(C, t0) V0, то для всех t t0 выполняется равенство K(C, t) = -1K(D, t). В восьмом пункте обсужается общая точка точка зрения на метод моделирования. Введение индикаторных функторов позволяет формализовать задачи теории эволюции множеств достижимости и управляемости с категорной точки зрения. В четвертой главе вводится и обсуждается понятие совершенного морфизма для систем класса Cs. Доказывается, что совершенные морфизмы позволяют восстанавливать множества УД по их образам в факторсистемах. В первом пункте определяются элементарные совершенные и совершенные морфизмы. Морфизм : C D называется элементарным совершенным, если Ker = {0} и Ker [lin]. Морфизм : C D называется t0-совершенным, если Ker = {0} и Ker lin K(C, t) для всех t > t0. Здесь доказана Теорема 4.1.2. Нетривиальный морфизм : C D категории C0-совершенен тогда и только тогда, когда он представим в виде композиции элементарных совершенных морфизмов. Во втором пункте исследуется строение множества почти мгновенной нуль-достижимости K0(C). Теорема 4.2.1. Пусть : C D - морфизм систем класса C0, тогда K0(C) K0(D). Если морфизм совершенен, то по множествам K0(D) и AP (D) однозначно восстанавливаются множества K0(C) и AP (C). Следующая теорема непосредственно следует из определений множеств почти мгновенной и почти совершенной нуль-достижимости. Теорема 4.2.2. Если : C D s-морфизм систем класса C, то K0(C) = -1K0(D), AP (C) = -1AP (D). Опишем множества AP (C) и K0(C) системы C C, ограничивающее множество которой является линейным многообразием. Теорема 4.2.3. Пусть C = (V, , ) система класса C, ограничивающее множество которой = a+0, где 0 линейное подпространство в V. В таком случае, если a [0], то AP (C) = K0(C) = [0]. Если a [0], то AP (C) = , а K0(C) = [0]. / Если система C класса C неправильная, то в ее ограничивающем множестве можно выделить некоторое ненулевое линейное многообразие H. Параллельное ему линейное подпространство обозначим H0. Профакторизовав систему C по линейному подпространству [H0], получим систему C, подчиненную системе C при помощи элементарного совершенного морфизма. Так определяется процесс, который в силу конечной размерности пространства системы C за конечное число шагов позволяет построить некоторую правильную систему D, подчиненную системе C при помощи композиции элементарных совершенных морфизмов. Обозначим через их композицию. Теорема 4.2.2 тогда дает полное описание множеств K0(C) и AP (C). В случае системы C класса C строение множества K0(C) описывается в следующей теореме. Теорема 4.2.4. Пусть C = (V, , ) система класса C, а D = (W, , ) связанная с ней совершенным морфизмом , подчиненная ей правильная система. В таком случае K0(C) = -1con = [lin] + con. Следствие 4.2.5. Если C C, то K0(C) замкнутый конус с инвариантным краем. Правильную систему D, подчиненную системе C посредством совершенного морфизма, можно построить при помощи факторизации системы C по линейному краю конуса K0(C). Следствие 4.2.6. Правильная система C, подчиненная системе C при помощи совершенного морфизма, определяется системой C однозначно, с точностью до изоморфизма. Следствие 4.2.7. Система C класса C мгновенно нуль-достижима тогда и только тогда, когда система C нулевая. В следующей теореме свойство мгновенной нуль-достижимости систем класса C0 характеризуется пятью эквивалентными условиями. Теорема 4.2.8. Следующие условия эквивалентны: a) система C мгновенно нуль-достижима; b) любая система, подчиненная системе C, мгновенно нуль-достижима; c) любая ненулевая система, подчиненной системе C, неправильна; d) морфизм системы C в нулевую систему совершенен; e) [lin] = V. Заметим, что условие Бьянчини мгновенной нуль-достижимости эквивалентно условию c). В третьем пункте рассматривается критерий совпадения множеств K0(C) и AP (C) Теорема 4.3.1. Если множество системы C = (V, , ) C правильное и не содержит точку 0, то существует такое > 0, что для любого (0, ) множество K(C, t) не содержит точку 0. Если ограничивающее множество правильной системы, подчиненной системе C C при помощи совершенного морфизма, содержит точку 0, то такая система включается в класс C1. Ясно, что C0 C1. Если семейство множеств K(C, t) монотонно по включению, то такая система включается в класс Cmon. Оказывается, что C1 = Cmon. Теорема 4.3.2. Следующие условия эквивалентны: a) C Cb) 0 K(C, t) t > 0; c) t-семейство множеств K(C, t) монотонно по включению; d) AP (C) = K0(C). Следствие 4.3.3. Класс Cmon = C1. В четвертом пункте приводятся добавочные сведения о множестве почти мгновенной полной управляемости. Теорема 4.4.1. Если C = (V, , ) линейная система с постоянными коэффициентами, то SK0(C) = [lin]. В пятой главе теория эволюции множеств УД систем класса Cs, построенная в первых четырех главах диссертации, применяется для конструктивного анализа множеств достижимости различных типов систем класса C. В силу полученных результатов, основное внимание уделяется исследованию K-остовов систем класса C в наиболее важном случае, когда множества ограничений управлений, являются конусами с конечным числом образующих. Исследование K-остовов таких систем сводится к специальным задачам линейной алгебры и геометрии в конечномерных пространствах. В первом пункте дается обзор основных теорем теории эволюции множеств УД систем класса C и приводится общая схема конструктивного анализа множеств УД систем класса C. Обсуждаются графический, численный и аналитический методы поиска основных характеристик множеств УД таких систем с коническими ограничениями управлений. Исследование K-остовов систем класса C связано с разбором большого количества вариантов. Некоторое уменьшение их количества, достигается, если рассматриваются вполне достижимые системы. Допустим, что C = (V, A, ), = Con(u1,..., ur), Lin = 0. Пусть S единичная сфера в фазовом пространстве системы C, а точка h 1 r S. Рассмотрим семейство траекторий u1(1) = eA u1,..., ur(r) = eA ur динамической системы = Ax. Скалярное произведение Fj(j) = h u(j) определяет отклонение точки uj(j) от гиперплоскости H с нормальным вектором h. Пусть для данного h S существует такое число T 0, что для всех j [0, T ] и j = 1,..., r имеет место неравенство Fj(j) = h u(j) 0. Тогда через T (h) обозначается верхняя грань таких чисел. Теорема 5.1.10. Если система C с коническим множеством ограничений управлений = Con(u1,..., ur) вполне управляема, то функция T (h) на сфере S достигает своего абсолютного максимума T (h0) в некоторой точке h0. В таком случае tca = T (h0) и гиперплоскость H0 = {x : h0 x = 0} делит фазовое пространство системы на два по+ лупространства H0 = {x : h0 x 0} и H0 = {x : h0 x 0}. За счет + выбора направления вектора h0 можно сделать так, что в H0 будут содержатся конусы K(C, t), а в H0 конусы S(C, t) при всех t (0, T (h0)). Если Con(u1,..., ur) = V, то tca = 0. В противном случае пусть h S таков, что векторы (u1,..., ur) лежат в полупространстве H+. Пусть T (h) верхняя грань всех чисел t, для которых все точки u1(t),..., ur(t) H+ для всех t [0, T (h)]. Пусть Tj(h) множество всех нулей функции Fj(t) = h uj(t), лежащих в отрезке [0, T (h)], тогда множество Uj(h) : = {uj(t) : t Tj(h)} H состоит из всех точек, в которых траектория uj(t) пересекают или касаются гиперплоскости H на отрезке [0, T (h)]. Положим U(h) : = U1(h) ... Ur(h). Вектор h S называется локально оптимальным, если линейный край V конуса ConU(h), натянутого на U(h), не равен 0 и [V ]A = V. Тогда задача вычисления момента tca редуцируется к задаче вычисления момента tca системы C/[V ]A. Если [V ]A = V, то на векторе h функция T (h) имеет абсолютный максимум, тогда вектор h = h0 и называется оптимальным. Решение задачи вычисления момента полной достижимости tca технически достаточно сложно. Рассмотрим более подробно подход к ее решению в простейшем случае, когда система C = (V, A, ) вполне достижима и = Con(a). Пусть вектор h S, a(t) = eAta, F (t, h) = h a(t). В первом приближении задача вычисления момента tca решается при помощи графического метода, визуальным анализом поведения графика функции F (t, h), в зависимости от расположения вектора h на сфере S. С помощью РС можно определить приближенно момент T (h). Варьируя координатами вектора h можно получить вектор h, на котором функция T (h) имеет, вообще говоря, локальный максимум на сфере S. На отрезке [0, T (h )] выделяются нули t0 = 0, t1,..., tr = T (h ) функции F (t, h ). На втором шаге вычисляются координаты векторов a(0), a(t1),..., a(tr). На третьем шаге проверяется можно ли вектор 0 представить в виде нетривиальной линейной комбинации (выпуклой комбинации) 0 = 0a(0) + 1a(t1) +... + ra(tr), в которой все коэффициенты 0, 1,..., r 0. На четвертом шаге среди векторов a(0), a(t1),..., a(tr)) выделяются векторы a(ti ),..., a(ti ), соот1 k ветствующие которым коэффициенты строго больше 0. Если наименьшее A-инвариантное линейное подпространство, содержащее эти векторы совпадает с V, то оптимальный вектор h0 = h и T (h ) = tca. Если нет, то следует перейти к анализу редуцированной системы C/[V ]A. После нахождения с некоторой точностью координат оптимального вектора h0 его координаты уточняются при помощи численных методов, требующих анализа изменения вида графика функции F (t, h0), при изменении координат вектора h0. Эти вычисления требуют повышенной точности, поскольку в нулях функции F (t, h0) в интервале (0, T (h0)) кривая a(t) касается гиперплоскости H0. Иногда можно эффективно использовать аналитический метод, сводящийся к анализу матрицы, составленной из координат векторов a(0), a(1),..., a(j), где 0 1 2 ... j = T (h), в зависимости от числа этих векторов. Если существует 1 > 0, для которого a(1) = 1a(0), 1 < 0, то момент 1 = T (h) и является моментом "взрыва" системы. Если такого момента нет, то ищем такие моменты времени 0 < 1 < 2, что вектор 0 можно представить в виде нетривиальной выпуклой комбинации векторов a(0), a(1), a(2). Эта задача сводится к анализу миноров 3-го порядка матрицы, составленной из координат векторов a(0), a(1), a(2). Если и в этом случае нет решения, то добавляем еще один вектор и т. д. На деле при поиске момента tca приходится использовать попеременно все три метода. В пункте 2 рассматриваются системы класса C с диагональной матрицей с одним собственным значением R. Для таких систем дается полное описание эволюции множеств достижимости. В пунктах 3 - 5 исследуются K-остовы в простейшем, но важном случае, систем второго порядка. Это исследование существенно используется при выводе различных критериев управляемости и достижимости. В пунктах 6 - 7 рассматриваются системы третьего порядка. Исследования их K-остовов использует аналитический метод и технически более сложно. В пункте 6 исследуются K-остовы вполне достижимых систем вида 1 = x1 + u1, > 0, 2 = x2 - x3 + u2, 3 = x2 + x3 + u3, с = Con(u1, u2). В пункте 7 приводится анализ K-остовов вполне достижимых систем 3-го порядка вида 1 = x1 + x2 + u1, 2 = x2 + x3 + u2, 3 = x3 + u3, с = Con(u1, u2), где u1 = e3, u2 = pe1 + qe2 - e3. Вычисление основных характеристик эволюции конусов K(C, t) в диссертации разбито на случаев, мы его здесь опускаем. В пункте 8 исследуются K-остовы систем с жордановыми матрицами порядка 2n вида - 1 0... 0 0 0 0 1... 0 0 0 ........... A = 0 0 0 0... - 1 0, > 0 0 0 0... 0 0 0 0 0... 0 0 - 0 0 0 0... 0 0 с = Con(a), с вектором a, у которого хотя бы одна из последних двух координат не равна 0. Оказывается, что время полной достижимости таких систем tcc = n/ и не зависит от расположения вектора a. В пункте 9 исследуется двойной управляемый гармонический осциллятор, с двумя разными собственными частотами , , 0 < , с коническими ограничивающими множествами с одной образующей. Очевидные упрощения получаются за счет линейной замены параметра t. В конечном итоге исследование сводится к изучению системы C = (R4, A, ) вида 1 = -x2 + u, 2 = x1, ( > 1) 3 = -x4 + u, 4 = x3, с коническим множеством = Con(a), где a = e1 + e3. Система C вполне достижима при любом > 1. Момент полной достижимости системы C обозначается T (). Предложение 5.9.9. Если C = C, то T () T () : = 1 + . (6) Для (1, +) оценка (6) является точной. Если нечетное натураль ное число, то T () = . Значения параметра , для которых T () = T (), находятся как решения уравнения cos sin + sin cos = 0. 2 2 2 2 Решение a(t) системы = Ax, удовлетворяющее граничному условию a(0) = 0, использовалось при анализе свойств конуса достижимости K(C, t) системы C. Согласно теореме 2.4.1, K(C, t) = Con a(s). 0 Скалярное произведение h a(t) обозначается F(t). Функция F(t) позволяет найти отклонение точек линии a(t) от гиперплоскости H. Доказано, что F(s) = F(T - s) для всех и s. На следующем рисунке показан график функции F8(t). F8(t). = 0, 5. T = T (8) = 3, 4t... t1 = 0, 496 T/2 = 1, 716 t2 = 2, 9Рис. 1. В моменты времени 0 и T (8) линия a8(t) пересекает гиперплоскость H8. В моменты t1 и t2 касается ее. Точка 0 является выпуклой комбинацией точек a8(0), a8(t1), a8(t2), a8(T (8)). Если (4n-1, 4n+1), n N, то максимум функции F(t) на отрезке [0, T ()] находится в точке T/2. Притом в интервале (0, T ()) функция F(t) имеет два нуля, 2n локальных минимумов и 2n + 1 локальных максимумов. Если (4n + 1, 4n + 3), n N, то функция F(t) имеет в точке T/2 локальный минимум, неравный 0. В интервале (0, T ()) функция F(t) имеет два нуля, 2n+1 локальных минимумов и 2n+2 локальных максимумов. Некоторые результаты вычислений с повышенной точностью проиллюстрируем для взятого наугад значения . Пример 5.9.12. Если = 3.34, то. t1 = 0, 941 390 941 946,. t2 = 3, 140 796 684 188,. tcc = T = 4, 082 187 626 054, Графики функций T () и T () изображены на следующем рисунке. T 2 T () = (1 + ) 4 T () T = 3 1 2 3 4 5 6 Рис. 2. В пункте 10 исследуются системы C = (V, A, ) порядка 2n с диагонализуемой (в C) матрицей A с двумя собственными значениями i, > 0. В большей части пункта исследуются вполне достижимые системы порядка 4 этого класса с = Con(u1, u2, u3), = 0, = 1, из которых u1, u2 зафиксированы, а третья u3 свободна. В пункте 11 в качестве приложения общих теорем намечены контуры доказательства критерия глобальной 0-достижимости систем класса C, опубликованного в статье [1] и, как его специализации, критерия Браммера [5] (полной достижимости систем класса C с коническими ограничениями управлений). В пункте 12 рассматривается метод построения управления, переводящего заданную точку фазового пространства управляемой системы в другую заданную точку, основанный на последовательных редукциях к системам меньшего порядка. В приложении 1 приводится новое доказательство теоремы Калмана, на котором иллюстрируются в простейшей ситуации некоторые идеи подхода автора к теории управляемости и достижимости. В приложении 2 приводится обзор основных определений из теории категорий и функторов. В приложении 3 приводится обзор основных определений и результатов теории вещественных линейных пространств, снабженных одним линейным оператором. Замечание 1. Из перечисленных проблем теории управляемости в классе линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами осталась открытой только проблема глобальной 0-управляемости в специальном случае систем класса C, все собственные значения матриц которых вещественны и положительны. Замечание 2. Полученные в диссертации методы можно использовать при анализе трудной и малоизученной задачи стабилизации управляемых систем вида (1) в случае, когда управление 0 находится на границе множества U. ЦИТИРУЕМЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальности по быстродействию процессов в линейных системах // Известия АН СССР (сер. мат.). 1958. Т. 22, вып. 4, С. 449 - 474. 2. Понтрягин Л.С. Оптимальные процессы регулирования // УМН. 1959. Т. 14, № 1. С. 3 - 20. 3. Kalman R.E. On the general theory of control systems// Тр. 1-го междунар. конгресса ИФАК. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1961. P. 521 - 547. 4. Saperstone S.H., Yorke J.A. Conrollability of linear oscillatory systems using positive controls // SIAM J.C. 1971. V. 9, № 2. P. 253 - 262. 5. Brammer B.F. Controllability in linear autonomous systems using positive controllers// SIAM J.C. 1972. V. 10, № 2, P. 339 - 353. 6. Bianchini R.M. Instant Controllability of Linear Autonomous Systems// JOTA. 1983. V. 39, № 2. P. 237 - 250. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Семенов Ю.М. Об управляемости линейных систем с постоянными коэффициентами// Мат. сб. 1978. Т.105(147), № 2. С. 164 - 179. 2. Семенов Ю.М. О задаче нуль-достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 1869 - 1878. 3. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-достижимости// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №6. С. 989 - 997. 4. Семенов Ю.М. Об остовах линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 8. C. 1145 - 1146. 5. Семенов Ю.М. Введение в теорию достижимости линейных систем. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006. 252 с. 6. Семенов Ю.М. О множествах достижимости линейных систем // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 8. С. 1146 - 1148. 7. Семенов Ю.М. К теории достижимости линейных систем // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 4. С.465 - 474. 8. Семенов Ю.М. О моменте полной стабилизации управляемых систем // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 147 - 148. 9. Семенов Ю.М. О моменте полной стабилизации линейных систем // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1556 - 1565. 10. Семенов Ю.М., Семячкова М.С., Степанова Н.Д. О строении остовов сверхполупростых C-систем // Труды института Системного Анализа РАН: Нелинейная динамика и управление Вып. 6. Сборник статей под редакцией академиков С. В. Емельянова и С. К. Коровина. Москва: Физматлит, 2008. С. 183 - 194. 11. Семенов Ю.М. О геометрии переходных процессов в управляемых системах.// Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 2. С. 285 - 287. 12. Семенов Ю.М. Об оценке длительности стабилизации линейных систем с постоянными коэффициентами// Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 2. С. 298 - 300. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Семенов Ю.М. Об одном случае управляемости системы = ux// УМН. 1975. Т.30, №5(185). С. 194Ц195. 2. Семенов Ю.М. Об одной аппроксимации// Вопросы прикладной математики и механики: Сб. Вып. 4. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1975. C. 214 - 222. 3. Семенов Ю.М. Об управляемости уравнения = ux // Мат. заметки. 1978. Т. 23, № 2. С. 253-259. 4. Семенов Ю.М. К теории управляемости линейных и билинейных систем. Диссертация на соискание ученой степени кандидат физико-математических наук. 1978. 5. Семенов Ю.М. О задаче нуль-достижимости линейных систем. Всесоюзная конференция "Динамическое управление". Свердловск, 1979. C. 237 - 239. 6. Семенов Ю.М. Об управляемости системы = Ax + Bu// Струйные и кавитационные течения и современные вопросы теории управления: Сб. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1978. С. 100 - 108. 7. Семенов Ю.М. Об алгебраическом разложении задачи нуль-достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1982. С. 82 - 92. 8. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-достижимости. Всесоюзная школа "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Кемерово, октябрь 1988 г., Тезисы докладов. C. 100. 9. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-достижимости систем класса C. Всесоюзная конференция "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматики". Семинар "Проблемы теоретической и прикладной математики", Тула, 1989. C.7. 10. Семенов Ю.М. О полной достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами. Международный Советско-Польский семинар. "Математические методы оптимального управления и их приложения". Минск, май 1989, тезисы докладов, 1989. C. 106-107. 11. Семенов Ю.М. О классических задачах теории достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами. Всесоюзная конференция "Управление в механических системах". Свердловск, июнь 1990, Тезисы докладов. 12. Семенов Ю.М. О пространстве полной достижимости линейной однородной управляемой с постоянными коэффициентами. Всесоюзная школа "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Кемерово, 1990. C. 197. 13. Семенов Ю.М. О достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами. Высшая школа - Народному хозяйству Чувашии. Чебоксары, 1992. C. 197. 14. Семенов Ю.М. Критерий мгновенной локальной нуль-достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами// Актуальные задачи математики и механики: Сб. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1995. C. 100 - 101. 15. Семенов Ю.М. О категорном подходе к теории достижимости.// "Понтрягинские чтения - 9". Тезисы докладов. Воронеж, 1998. C. 176. 16. Семенов Ю.М. Об основной теореме теории достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами. ЧГУ. Чебоксары, 1998. 4с. ДЕП ВИНИТИ 01.07.98. № 2021-898. 17. Семенов Ю.М. Конструкция пространства полной линейной стабилизации // "Понтрягинские чтения - 13" Тезисы докладов. Воронеж, 2002. 18. Семенов Ю.М. О неразложимых системах типа C // Математические модели и их приложения 4. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2002. С. 10 - 15. 19. Семенов Ю.М. О системах высоты 1 // Математические модели и их приложения 4. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2002. С. 15-28. 20. Семенов Ю.М. О линейных и конических остовах линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // "Понтрягинские чтения - 15" Тезисы докладов. Воронеж, 2004. C. 202 - 203. 21. Семенов Ю.М. Об остовах линейных управляемых систем с постоянными коэффициента