Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А.СТЕКЛОВА На правах рукописи
УДК 517.977 Сачков
Юрий Леонидович Управляемость и оптимальное управление для инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах
01.01.02 дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2007 г.
Работа выполнена в Институте Программных Систем РАН
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор А.А. Аграчев;
доктор физико-математических наук, профессор М.И. Зеликин;
член-корр. РАН, доктор физико-математических наук, профессор А.А. Меликян.
Ведущая организация: Владимирский государственный университет
Защита диссертации состоится 2008 года в 14 час. на заседании Диссертационного совета Д 002.022.02 в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: Москва, ул. Губкина, д. 8.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН
Автореферат разослан 2008 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.022.доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Дрожжинов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Центральное положение в диссертации занимает исследование инвариантных управляемых систем на группах Ли. С этим связаны также и другие рассматриваемые здесь задачи, непосредственно в формулировке которых о таких системах не говорится (сюда, в частности, относится исследование билинейных управляемых систем и восходящая к Л.Эйлеру задача об эластиках). Дадим сначала краткий обзор затрагиваемой тематики.
Исследование инвариантных управляемых систем на группах Ли и однородных пространствах является одной из центральных тем геометрической теории управления. С теоретической точки зрения, это естественный и важный класс систем, для которого возможна содержательная глобальная теория (именно такие системы возникают, например, при локальной нильпотентной аппроксимации гладких систем). С другой стороны, такие системы моделируют целый ряд прикладных задач (вращение и качение тел, движение роботов, квантовая механика, компьютерное видение).
Хорошо известно, что получить точное решение глобальной нелинейной задачи управления (например, задачи управляемости или оптимального управления) представляется очень сложным, если задача не имеет большой группы симметрий.
Для инвариантных задач на группах Ли (и их проекций на однородные пространства) точное решение часто можно найти на основе методов геометрической теории управления с использованием техники дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. Полученное решение инвариантной задачи может дать хорошую аппроксимацию соответствующей нелинейной задачи. Например, инвариантная субриманова геометрия на группе Гейзенберга служит краеугольным камнем всей субримановой геометрии.
Управляемые системы, пространством состояний которых являются группы Ли, изучаются в математической теории управления с начала 70-ых годов прошлого века. Р. В. БрокеттBrockett R. W. System theory on group manifolds and coset spaces // SIAM J.
рассматривал прикладные задачи, которые приводят к управляемым системам на матричных группах и их однородных пространствах. Последовательное математическое исследование управляемых систем на группах Ли было начато В. Джарджевичем и Х. Дж. Суссманном2, ими были установлены простейшие свойства множеств достижимости и орбит правоинвариантных систем. В работах Р. В. Брокетта1, В. Джарджевича и И. Купки3, получены результаты о связи управляемости инвариантных систем на группах Ли и управляемости их проекций на однородные пространства, а также рассмотрены основные примеры, включая системы на матричных группах Ли G GL(n) и их однородных пространствах Rn \ {0}, Sn-1. В работе2 была предложена идея рассмотрения замыкания множеств достижимости в качестве инварианта правоинвариантных систем при исследовании их управляемости, а в работах3, было введено понятие насыщения Ли и техника расширения, основанная на вычислении касательного конуса к замыканию множества достижимости системы в единице. Известен ряд результатов об управляемости для специальных классов инвариантных систем и групп Ли. Эквивалентность рангового условия и управляемости для симметричных систем была доказана еще Р. В. Брокеттом1 в случае матричных систем, а В. Джарджевичем и Х. Дж. Суссманном2 для общих инвариантных систем на группах Ли. Кроме того, в работе2 доказана эквивалентность рангового условия и управляемости для компактных групп Ли. Обобщение этого результата для полупрямого произведения компактной группы Ли и линейного пространства получено Б. Боннаром, В. Джарджевичем, И. Купкой, и Г. Салле5. Богатая теория управляемости быControl, 10, 265Ц284 (1972) Jurdjevic V., Sussmann H. J. Control systems on Lie groups // J. Diff. Equat., 12, 313Ц329 (1972) Jurdjevic V., Kupka I. Control systems on semi-simple Lie groups and their homogeneous spaces // Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 31, No. 4, 151Ц179 (1981) Jurdjevic V., Kupka I. Control systems subordinated to a group action: Accessibility // J. Differ. Equat., 39, 186Ц211 (1981) Bonnard B., Jurdjevic V., Kupka I., Sallet G. Transitivity of families of invariant vector fields on the semidirect products of Lie groups // Trans. Amer. Math. Soc., 271, No. 2, 525Ц535 (1982) ла построена для полупростых групп Ли. Уже для специальной линейной группы задача управляемости оказалась очень сложной и не решена до настоящего времени даже для аффинных систем со скалярным управлением. Вся техника расширения была развита во многом именно для исследования случая SL(n). Достаточные условия управляемости для этого случая были получены Ж. П. Готье и Г. Борнаром6. Эти условия были обобщены для произвольных полупростых групп Ли 4 7 8 с конечным центром в серии работ3,,,,, кульминацией которых была статья Р. Эль Ассуди, Ж. П. Готье и И. Купки10. Для другого естественного класса разрешимых групп Ли подобная теория управляемости не была создана. Известен принадлежащий Дж. Д. Лоусону11 критерий управляемости для компактных расширений разрешимых групп Ли в терминах подалгебр коразмерности один. Однако для применения этого критерия требуется описание всех таких подалгебр, что составляет довольно сложную проблему теории алгебр Ли. Поэтому представляется весьма актуальным получение конструктивных результатов по управляемости инвариантных систем на разрешимых группах Ли.
Инвариантные управляемые системы на группах Ли привлекаются нами для исследования задач, формулируемых независимо. Одна из них это исследование билинейных систем.
Эти системы вызывают постоянный интерес исследователей с 60-х годов прошлого века, как в силу простоты алгебраической структуры, так и благодаря их разнообразным приложениям.
Исследование управляемости билинейных систем в Rn \ {0} Gauthier J. P., Bornard G. Contrlabilit des systmes bilinaires // SIAM J. Control Optim., 20, No. 3, 377Ц384 (1982) Gauthier J. P., Kupka I., Sallet G. Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups // Systems & Control Letters, 5 (1984), 187Ц190.
El Assoudi R., Gauthier J. P. Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups of Type F4, G2, Cn, and Bn // Math. Control Signals Systems 1 (1988), 293 - 3El Assoudi R., Gauthier J.-P. Controllability of right-invariant systems on semi-simple Lie groups // New Trends in Nonlinear Control Theory, Springer-Verlag 122 (1989), 54ЦEl Assoudi R., Gauthier J. P., Kupka I. On subsemigroups of semisimple Lie groups // Ann. Inst. Henri Poincare, 13, No. 1, 117Ц133 (1996).
Lawson J. D. Maximal subsemigroups of Lie groups that are total // Proc. Edinburgh Math. Soc., 30, 479Ц501 (1985) тесно связано с теорией инвариантных систем на линейных группах Ли, см. отмеченные выше результаты. В случае, когда билинейная система имеет инвариантный координатный ортант в Rn, например, положительный ортант, возникает вопрос об управляемости билинейной системы в таком ортанте.
Такая постановка задачи естественна для билинейных систем в приложениях, описывающих процессы с неотрицательными переменными, она была предложена У.М. Бутби12; им получены некоторые частные результаты для систем со скалярным управлением, а также для случая одинаковой размерности пространств управлений и состояний. Полные результаты по управляемости в положительном ортанте были известны только для двумерного случая (см. работу А.Баччиотти13), и имеется потребность развития теории для более высокой размерности пространства состояний.
евоинвариантные задачи находятся в центре внимания геометрической теории управления с самого начала ее развития.
В книге14, суммировавшей результаты 70Ц90-х годов прошлого века, В.Джарджевич подробно изложил особенности гамильтонова формализма и принцип максимума для левоинвариантных задач, исследовал связи между симметриями и интегрируемостью в этом случае. Известен ряд работ по левоинвариантным субримановым задачам на нильпотентных группах Ли: случай Гейзенберга15, и его обобщения17, задачи с векBoothby W.M. Some comments on positive orthant controllability of bilinear systems // SIAM J. Control Optim., 20 (1982), No 5, pp. 634-6Bacciotti A. On the positive orthant controllability of two- dimensional bilinear systems// Systems and Control Letters. 1983. V. 3 P. 53ЦJurdjevic V. Geometric control theory, Cambridge University Press, 1997.
Brockett R. W. Control theory and singular Riemannian geometry. // In: New directions in applied mathematics (P.J.Hilton and G.S.Young (Eds.)), Springer-Verlag, 1981.
Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы и геометрия распределений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. Динамические системы - 7, 8. - М.:ВИНИТИ, 1986.
Monroy-Prez F., Anzaldo-Meneses A. Optimal Control on Nilpotent Lie Groups // J. Dynam. Control Systems, 8, no. 4, 487Ц504 (2002) 20 тором роста (3,6)18, (n, n(n + 1)/2)19,, и (2,3,5)21,. Для этих задач получена параметризация геодезических, но их оптимальность удалось исследовать только для векторов роста (2,3) и (3,6). Поэтому представляется очень важным развитие методов исследования оптимальности экстремальных траекторий для левоинвариантных задач на группах Ли.
Другой задачей, формулируемой независимо от инвариантных управляемых систем на группах Ли, но исследуется с привлечением относящейся к ним теории, является восходящая к Леонарду Эйлеру задача об эластиках. В 1744 г. Эйлер рассмотрел следующую задачу о стационарных конфигурациях упругого стержня23. Дан упругий стержень на плоскости, у которого закреплены положения концов, а также углы наклона стержня на концах. Требуется определить возможные профили стержня при заданных граничных условиях. Эйлер получил дифференциальные уравнения для стационарных конфигураций стержня и описал их возможные качественные типы. Эти конфигурации называются эйлеровыми эластиками. Первая явная параметризация эластик была получена Л.Заалшютцем24 в 1880 г. Некоторые частичные результаты по вопросу об устойчивости эластик получены будущим нобелевским лауреатом М.Борном25 в его диссертации Myasnichenko O. Nilpotent (3, 6) Sub-Riemannian Problem // J. Dynam. Control Systems 8 (2002), No. 4, 573Ц5Myasnichenko O. Nilpotent (n, n(n + 1)/2) sub-Riemannian problem, J. Dynam.
Control Systems 8 (2006), No. 1, 87ЦMonroy-Prez F., Anzaldo-Meneses A. The step-2 nilpotent (n, n(n + 1)/2) subRiemannian geometry // J. Dynam. Control Systems, 12, No. 2, 185Ц216 (2006) Brockett R., Dai L. Non-holonomic kinematics and the role of elliptic functions in constructive controllability // In: Nonholonomic Motion Planning, Z. Li and J. Canny, Eds., Kluwer, Boston, 1993, 1ЦKrener A. J., Nikitin S. Generalized isoperimetric problem // Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, 7 (1997), 3: 1ЦЭйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Приложение I, Об упругих кривых, ГТТИ, Москва-Ленинград, 1934, 447 - 5L.Saalschtz. Der belastete Stab, Leipzig, 1880.
M.Born. Stabilitt der elastischen Linie in Ebene und Raum, Preisschrift und Dissertation, Gttingen, Dieterichsche Universitts-Buchdruckerei Gttingen, 1906.
Reprinted in: Ausgewhlte Abhandlungen, Gttingen, Vanderhoeck & Ruppert, 1963, Vol.
1, 5Ц101.
1906 г. Однако в полном объеме этот вопрос оставался открытым, несмотря на его значение для теории упругости, вариационного исчисления и оптимального управления.
Цель работы. Получение условий глобальной управляемости инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах.
Исследование локальной и глобальной оптимальности экстремальных траекторий в инвариантных задачах оптимального управления на группах Ли.
Общие методы исследования. В работе используются методы геометрической теории управления, теории групп и алгебр Ли, дифференциальной и симплектической геометрии, теории эллиптических функций.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Получен критерий управляемости правоинвариантной си m стемы = A(X) + uiBi(X) на односвязной группе i=Ли G при условии, что поля B1,..., Bm порождают подалгебру коразмерности один в алгебре Ли L группы Ли G. Доказан критерий управляемости правоинвариантной m системы = A(X)+ uiBi(X) на односвязной вполне i=разрешимой группе Ли.
2. Получены необходимые и близкие к ним достаточные условия управляемости правоинвариантной системы вида = A(X) + uB(X) на односвязной разрешимой группе Ли.
Классифицированы все разрешимые односвязные группы Ли размерности не выше 6, на которых существуют вполне управляемые системы вида = A(X) + uB(X), доказаны критерии управляемости таких систем.
3. Получен критерий того, что билинейная система = Ax+ m uiBix имеет инвариантный координатный ортант в i=Rn. Для случая, когда инвариантным является положительный ортант Rn, доказаны условия управляемости в + этом ортанте при n > 2 и m = 1, а также при m = n - 1, m = n - 2.
4. Описаны алгебры Ли симметрий плоских субримановых структур с векторами роста (2, 3), (2, 3, 4), и (2, 3, 5).
5. Для задачи Эйлера об эластиках получены двусторонние оценки для сопряженных точек и оценка сверху для времени разреза; это дает ответ на вопрос об устойчивости эластик, а также дает подход к получению достаточных условий оптимальности экстремалей в задаче об эластиках. Для нильпотентной субримановой задачи с вектором роста (2, 3, 5) получена оценка сверху для времени разреза.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях управляемости инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах, а также инвариантных задач оптимального управления на группах Ли.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и совещаниях:
международном совещании Вычисления Ли (Марсель, Франция, 1994); международной конференции Вычислительные технологии в теории систем и ее приложениях (Лилль, Франция, 1996); международном летнем институте Американского математического общества по дифференциальной геометрии и управлению (Боулдер, США, 1997); международном совещании по нелинейной теории управления (Париж, Франция, 1998); международном совещании Теория Ли и ее приложения (Вюрцбург, Германия, 1999); международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000, 2006); международном совещании по математической теории управления и роботике (Триест, Италия, 2000); международной конференции Нелинейная теория управления в 2000 г. (Париж, Франция, 2000); международном конгрессе по нелинейной теории управления NOLCOS (С.-Петербург, 2001); триместре по динамическим и управляемым системам (Триест, Италия, 2003); международных конференциях им. И.Г.Петровского (Москва, 2004, 2007); международном совещании по неголономной динамике и интегрируемости (Банфф, Канада, 2007); международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2007); международной конференции Анализ и особенности (Москва, 2007); международной конференции Управление, ограничения и кванты (Бедлево, Польша, 2007); международных совещаниях по теории управления (ПереславльЗалесский, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 2002, 2004, 2006).
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах: отдела дифференциальных уравнений Математического института им. В.А.Стеклова под руководством академика РАН Д.В.Аносова и академика РАН Р.В.Гамкрелидзе, механико-математического факультета МГУ под руководством профессора М.И.Зеликина, сектора функционального анализа Международной школы высших исследований под руководством профессора А.А.Аграчева (Триест, Италия), лаборатории механики управляемых систем Института проблем механики РАН под руководством академика РАН Ф.Л.Черноусько, инженерного факультета университета Бургундии (Дижон, Франция) под руководством профессора Ж.-П.Готье, математического факультета университета Бургундии (Дижон, Франция) под руководством профессора Б.Боннара, лаборатории индустриальной математики Национального института прикладных систем (Руан, Франция) под руководством профессора В.Респондека, факультета математики университета г. Аугсбург (Германия) под руководством профессора Ф.Колониуса, факультета математики университета г. Коимбра (Португалия) под руководством профессора Ф.Сильва Лейте, института систем и роботики университета г. Порто (Португалия) под руководством профессора Ф.Лобо Перейра, факультета математики университета г. Руан (Франция), лаборатории фундаментальной информатики университета г. Лилль (Франция) под руководством профессора Ж.Жакоба, исследовательского центра процессов управления ИПС РАН под руководством профессора В.И.Гурмана, исследовательского центра системного анализа ИПС РАН под руководством профессора А.М.Цирлина.
Научные исследования по теме диссертации были поддержаны следующими грантами: INTAS Network Optimal Control and Differential Games 1995Ц98, РФФИ - 96-01-00805-а ( Управляемость систем на разрешимых группах Ли и их однородных пространствах ), РФФИ - 98-01-01028-а ( Управляемость, симметрии и оптимальный синтез в нелинейных системах управления ), грант INTAS для молодых ученых СНГ 1998Ц1999, грант Госкомвуз РФ 1998Ц2000 ( Глобальная управляемость, симметрии и оптимальный синтез в нелинейных системах управления ), РФФИ - 02-01-00506-а ( Оптимальный синтез, конструктивная управляемость, и стабилизация нелинейных неголономных систем управления ), РФФИ - 05-0100703-а ( Исследование задач оптимального управления субримановой геометрии методами геометрической теории управления ).
Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в 20 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.
ичный вклад. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти глав (первая из которых является введением), которые разбиты на 20 разделов. Диссертационная работа изложена на 258 страницах. Библиография включает 158 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая, вводная глава диссертации посвящена истории рассматриваемых вопросов (раздел 1.1), а также краткому изложению результатов работы (раздел 1.2).
Глава 2 диссертации посвящена исследованию глобальной управляемости правоинвариантных систем на группах Ли, а также их проекций на однородные пространства групп Ли.
Основное внимание уделено разрешимым группам Ли, некоторым их подклассам, а также обобщениям. Причина такого интереса в следующем. Благодаря разложению Леви, любая группа Ли представляется как полупрямое произведение разрешимой и полупростой групп. Для полупростых групп Ли в 80Ц90-е года прошлого века были разработаны эффективные методы исследования управляемости, однако для разрешимых групп Ли их не существовало. Цель второй главы диссертации описание таких методов и демонстрация их в работе, вплоть до классификации ряда случаев малой размерности.
В разделе 2.1 напоминаются основные определения, относящиеся к правоинвариантным системам, множествам достижимости и управляемости, а также некоторые известные условия управляемости.
В разделе 2.2 рассматриваются аффинные по управлению m системы вида = A(X) + uiBi(X) при условии, что i=алгебра Ли L0 = Lie(B1,..., Bm) имеет коразмерность один в алгебре Ли L группы Ли G пространстве состояний системы . Для таких систем (мы называем их гиперповерхностными) получен критерий управляемости в терминах подгруппы Ли с алгеброй Ли L0. Из этой теоремы получены следствие о неуправляемости гиперповерхностной системы на односвязной группе Ли, а также необходимые условия управляемости на односвязной группе Ли в терминах подалгебр коразмерности один в алгебре Ли L.
В разделе 2.3 рассматривается специальный подкласс разрешимых групп Ли вполне разрешимые группы Ли, содержащий, в частности, группу обратимых верхнетреугольных матриц, и нильпотентные группы Ли. Для односвязных вполне разрешимых групп Ли получен критерий управляемости для аффинных по управлению систем в терминах подалгебры L0.
Раздел 2.4 посвящен большому классу групп Ли, содержащему разрешимые группы Ли, а именно, рассматриваются группы Ли G, для которых алгебра Ли L отлична от производной подалгебры L(1) = [L, L]. Получены необходимые и близкие к ним достаточные условия управляемости систем со скалярным управлением = A(X) + uB(X) в терминах собственных значений и инвариантных подпространств оператора ad B в первой и второй производной подалгебрах L(1), L(2) = [L(1), L(1)]. Для случая разных собственных значений оператора ad B получены более простые условия управляемости. Близость полученных необходимых условий к достаточным условиям демонстрируется тем, что в некоторых важных случаях из них следуют полные критерии управляемости.
В частности, в разделе 2.5 доказан критерий управляемости для систем со скалярным управлением на односвязных метабелевых группах Ли (в случае неодносвязных групп Ли эта теорема дает достаточные условия управляемости). В качестве следствий получены условия управляемости билинейных систем вида = uAx+b и инвариантных систем со скалярным управлением на группе движений плоскости и ее односвязной накрывающей.
Другим приложением общих условий управляемости раздела 2.4 является полное описание управляемых систем со скалярным управлением на односвязных разрешимых группах Ли размерности не выше шести (раздел 2.6). Показано, что для разрешимых алгебр Ли малой размерности L справедливо следующее:
Х существование вполне управляемой системы = A + RB L (мы называем это свойство управляемостью алгебры L) является сильным ограничением на L;
Х если алгебра Ли L управляема, то почти все пары (A, B) L L порождают управляемые системы = A + RB, т.е.
управляемость системы L зависит в основном от L, а не от .
Более того, из этих результатов следует полное описание управляемости в разрешимых алгебрах Ли малой размерности. До размерности 6 включительно описаны все управляемые разрешимые алгебры Ли, и приведены критерии управляемости для систем вида = A + RB L.
Общая картина управляемых разрешимых алгебр Ли такова:
dim L = 1: (единственная) алгебра Ли управляема;
dim L = 2: обе алгебры Ли неуправляемы;
dim L = 3: имеется одно семейство управляемых алгебр Ли:
L3(), C \ R;
dim L = 4: имеется одно семейство управляемых алгебр Ли:
L4(), C \ R;
dim L = 5: имеется два семейства управляемых алгебр Ли:
1. L5,I(, ), , C \ R, = , , 2. L5,II(), C \ R;
dim L = 6: имеется 6 семейств и, вдобавок, еще две управляемые алгебры Ли:
1. L6,I(, ), , C \ R, = , , 2. L6,II(, ), , C \ R, Re = Re , = , , 3. L6,III(), C \ R, 4. L6,IV (), C \ (R i R), 5. L6,V (), C \ R, 6. L6,V I(), C \ R, 7. L6,V II, 8. L6,V III.
юбая такая алгебра Ли L имеет производную подалгебру L(1) коразмерности один, и комплексные параметры и суть собственные значения операторов ad x|L, x L \ L(1).
(1) Алгебры Ли в различных семействах неизоморфны между собой. Внутри каждого семейства алгебры Ли изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие множества {, , , } (или {, }) гомотетичны в C (для семейства L6,I(, ), соот ветствующие множества {, } и {, } должны быть гомоте тичны с одним и тем же коэффициентом подобия).
Помимо систем с неограниченным управлением вида = A + RB L, также рассмотрены системы с ограниченным управлением вида S = (1 - u)A + uB | u [0, 1] L.
Получена связь свойств управляемости этих двух классов систем, а также общий критерий управляемости для систем с ограниченным управлением в разрешимых алгебрах Ли L.
В главе 3 рассматривается задача глобальной управляемости для билинейных систем вида m = Ax + uiBix, x Rn \ {0}, ui R, (1) i=где A и Bi постоянные вещественные n n матрицы. Такие системы индуцированы правоинвариантными системами вида m = AX + uiBiX, X G, ui R, (2) i=на матричных группах Ли. Если группа G GL(n) действует транзитивно на Rn \ {0}, то из управляемости инвариантной системы (2) на группе G следует управляемость билинейной системы (1) на Rn \ {0}. Третья глава диссертации посвящена вопросам управляемости билинейных систем в положительном ортанте. При такой постановке задачи естественно предполагать, что положительный ортант есть инвариантное множество для билинейной системы. В этом случае как билинейная система, так и соответствующая инвариантная система на матричной группе Ли глобально неуправляемы, и для него были разработаны специальные методы исследования управляемости в ортанте. Изложению этих методов, а также их применению для различных размерностей переменных состояния и управления и посвящена данная глава.
В разделе 3.2 получен критерий того, что билинейная система (1) имеет (положительно или отрицательно) инвариантный координатный ортант в Rn. Данный вопрос имеет непосредственное отношение к управляемости билинейных и инвариантных систем: существование инвариантных ортантов для билинейной системы (1) влечет неуправляемость этой билинейной системы, а потому и инвариантной системы (2).
Далее, если билинейная система (1) имеет положительно инвариантный координатный ортант, то отражениями в Rn вида xi -xi можно добиться, чтобы инвариантным стал положительный ортант Rn, а потому и его внутренность, от+ крытый положительный ортант Rn = {x = (x1,..., xn) + Rn | xi > 0, i = 1,..., n}. В разделах 3.3, 3.4 исследуется управляемость билинейной системы (1) в положительном ортанте при n > 2 (напомним, что эта задача при n = 2 была впервые полностью исследована А.Баччиотти13). В разделе 3.получены условия управляемости для случая n > 2 и m = 1, а раздел 3.4 посвящен случаям m = n - 1, m = n - 2, а также некоторым другим случаям.
В главе 4 исследуются плоские распределения и субримановы структуры локальные нильпотентные аппроксимации распределений и субримановых структур в регулярных точках. Такие распределения и субримановы структуры задаются левоинвариантными управляемыми системами на нильпотентных группах Ли. В разделе 4.2 излагаются методы вычисления полной алгебры Ли инфинитезимальных симметрий для распределений и субримановых структур. Далее найдены алгебры Ли симметрий плоских распределений и субримановых структур ранга 2 максимального роста в размерностях 3, 4, и 5. В разделе 4.3 рассматривается группа Гейзенберга (вектор роста (2, 3)), в разделе 4.4 группа Энгеля (вектор роста (2, 3, 4)), а в разделе 4.5 вектор роста (2, 3, 5). Последний случай особенно важен для теории и приложений субримановой геометрии, соответствующая субриманова задача рассматривается далее в разделе 5.2.
В главе 5 рассматриваются две тесно связанные между собой инвариантные задачи оптимального управления на группах Ли: задача Эйлера об эластиках и обобщенная задача Дидоны. В этих случаях исследуются инвариантные задачи на разрешимых группах Ли (на группе движений плоскости и на 5-мерной нильпотентной группе Ли порядка 3 соответственно), для которых гамильтонова система принципа максимума Понтрягина в вертикальном слое кокасательного расслоения сводится к уравнению математического маятника, поэтому интегрируется в функциях Якоби. Экстремальные траектории в обеих задачах являются подъемами эйлеровых эластик стационарных конфигураций упругого стержня, открытых Леонардом Эйлером23. Для исследования оптимальности экстремальных траекторий разработаны методы построения группы симметрий экспоненциального отображения с помощью продолжения группы симметрий маятника, исследования неподвижных точек этой группы в прообразе и образе экспоненциального отображения, анализа разрешимости и оценки корней уравнений в функциях Якоби, задающих соответствующие страты Максвелла.
Опишем содержание раздела 5.1, посвященного задаче Эйлера об эластиках. Эйлеровы эластики суть критические точки функционала упругой энергии на пространстве кривых фиксированной длины. Основной целью раздела 5.1 является исследование оптимальности эластик: какие эластики доставляют минимальное значение функционалу энергии среди всех кривых, удовлетворяющих граничным условиям (глобальная оптимальность), или минимальное значение среди достаточно близких кривых, удовлетворяющих граничным условиям (локальная оптимальность). Для теории упругости существенной является задача локальной оптимальности т.к. она соответствует устойчивости эйлеровых эластик при малых возмущениях, сохраняющих граничные условия. В вариационном исчислении и оптимальном управлении точка, в которой экстремальная траектория теряет локальную оптимальность, называется сопряженной точкой. Мы даем точное описание сопряженных точек в задаче Эйлера об эластиках, которые ранее были известны только приближенно. С математической точки зрения, очень важной является задача глобальной оптимальности. Мы исследуем точки разреза в задаче Эйлера точки, где эластики теряют глобальную оптимальность. Сначала исследуются точки Максвелла, т.е. точки пересечения разных экстремальных траекторий с одинаковым значением времени и функционала. Такие точки дают верхнюю оценку точек разреза: экстремальная траектория не может быть глобально оптимальной после точки Максвелла. Затем доказано, что первая сопряженная точка ограничена точками Максвелла.
Опишем подробнее структуру раздела 5.1. В пункте 5.1.описывается история задачи об эластиках. В пункте 5.1.2 мы рассматриваем задачу Эйлера как левоинвариантную задачу оптимального управления на группе движений двумерной плоскости E(2) и обсуждаем непрерывные симметрии задачи.
В пункте 5.1.3 описано множество достижимости соответствующей управляемой системы. В пункте 5.1.4 доказаны существование и ограниченность оптимальных управлений в задаче Эйлера. В пункте 5.1.5 к задаче применяется принцип максимума Понтрягина, описываются анормальные экстремали, и выводится гамильтонова система для нормальных экстремалей.
В пункте 5.1.6 строятся естественные координаты в слое кокасательного расслоения группы E(2), индуцированные фазовым потоком маятника. Одна из координат есть время движения маятника, а другие две интегралы движения маятника. В пункте 5.1.7 мы используем построенные таким образом эллиптические координаты для интегрирования нормальной гамильтоновой системы.
Поток маятника играет ключевую роль не только для параметризации экстремальных траекторий, но и при изучении их оптимальности. В пункте 5.1.8 описаны дискретные симметрии задачи Эйлера, порожденные отражениями в фазовом цилиндре маятника, исследовано действие группы отражений в прообразе и образе экспоненциального отображения задачи.
В пункте 5.1.9 рассматриваются точки Максвелла в задаче Эйлера. Страты Максвелла, соответствующие отражениям, описываются уравнениями в функциях Якоби. В пункте 5.1.исследуется разрешимость этих уравнений, даны точные оценки их корней, и описывается их взаимное расположение на основе анализа функций Якоби.
Полученное полное описание стратов Максвелла существенно как для глобальной, так и локальной оптимальности экстремальных траекторий. В пункте 5.1.11 получена верхняя оценка времени разреза в задаче Эйлера на основе того, что такая траектория не может быть глобально оптимальной после точки Максвелла.
В пункте 5.1.12 показано, что на инфлексионных эластиках первая сопряженная точка встречается между первыми точками Максвелла, соответствующими отражениям, а в пункте 5.1.13 доказано, что все остальные эластики не содержат сопряженных точек. Таким образом, полностью решена задача об устойчивости эйлеровых эластик. Помимо этого, полученные оценки сопряженных точек дают подход к описанию областей диффеомеорфности экспоненциального отображения, а потому к достаточным условиям оптимальности экстремалей в задаче Эйлера.
В разделе 5.2 рассматривается обобщенная задача Дидоны модель нильпотентной субримановой задачи с вектором роста (2, 3, 5). В пункте 5.2.1 приводится постановка этой задачи, а также ее формулировка как левоинвариантной задачи оптимального управления и нильпотентной субримановой задачи. В пункте 5.2.2 обсуждается существование оптимальных управлений. В пункте 5.2.3 применяется принцип максимума Понтрягина в инвариантной форме, выписывается гамильтонова система для нормальных экстремалей, и найдены анормальные экстремали. В пункте 5.2.4 рассматриваются непрерывные симметрии задачи. Экспоненциальное отображение факторизуется по действию однопараметрической группы симметрий. В пункте 5.2.5 нормальная гамильтонова система интегрируется в терминах функций Якоби.
В пунктах 5.2.6Ц5.2.9 мы строим группу дискретных симметрий экспоненциального отображения в обобщенной задаче Дидоны. Это группа диэдра, она возникает благодаря наличию отражений в фазовом цилиндре маятника.
В пунктах 5.2.10Ц5.2.13 получено общее описание стратов Максвелла, соответствующих группе симметрий экспоненциального отображения, порожденной вращениями и отражениями. Мы находим точки Максвелла, соответствующие группе симметрий, сохраняющих время на геодезических (вращения и отражения). А именно, описаны многообразия в пространстве состояний, содержащие все такие точки Максвелла; эти многообразия задаются некоторыми уравнениями в функциях Якоби.
В пунктах 5.2.14Ц5.2.16 исследована разрешимость этих уравнений; в некоторых случаях они не имеют корней. В тех случаях, когда эти уравнения разрешимы, мы локализуем их корни, указывая для каждого корня содержащий его отрезок. Более того, на каждом из таких отрезков соответствующий корень оказывается нулем некоторой монотонной функции, что дает эффективный алгоритм приближенного вычисления этих корней. На каждой геодезической найдена первая точка, принадлежащая стратам Максвелла MAXi. На геодезических, не содержащих точек этих стратов, в пункте 5.2.17 найдены сопряженные точки, являющиеся пределами пар точек Максвелла.
Таким образом, на каждой нормальной геодезической (кроме некоторых исключительных) указана либо первая точка стратов MAXi, либо сопряженная точка. В силу того, что после точек Максвелла и сопряженных точек нормальная геодезическая не может быть оптимальной, получена оценка сверху для времени разреза вдоль геодезических. На исключительных геодезических эта оценка тривиальна (+). Полученные в пункте 5.2.18 верхние оценки времени разреза главные результаты раздела 5.2.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Сачков Ю.Л. Управляемость двумерных и трехмерных билинейных систем в положительном ортанте// Дифференциальные уравнения, 1993, Т. 29, С. 361 - 363.
2. Sachkov Yu. L. Invariant Orthants of Bilinear Systems // Proc. Second Europ Contr. Confer., 776Ц779, Groningen, Netherlands, 1993.
3. Сачков Ю.Л. Управляемость двумерных систем в положительном ортанте// Теоретические и прикладные основы программных систем, Институт Программных Систем РАН, Переславль-Залесский, 1994, 309Ц317.
4. Сачков Ю.Л. Инвариантные ортанты билинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1995, No. 6, 1094 - 1095.
5. Сачков Ю.Л. Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте // Матем. Заметки, 85 (1995), 3, 419 - 46. Sachkov Yu. L. Controllability of hypersurface and solvable invariant systems // Journal of Dynamical and Control Systems, 2 (1996), No. 1, 55Ц67.
7. Sachkov Yu. L. Controllability of right-invariant systems on solvable Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems, 3 (1997), No. 4, 531Ц564.
8. Sachkov Yu. L. On Positive Orthant Controllability of Bilinear Systems in Small Codimensions // SIAM Journ. Contr. Optimiz., 35 (1997), 1: 29-9. Sachkov Yu. L. Controllability of Affine Right-Invariant Systems on Solvable Lie Groups // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 1 (1997), 239Ц246.
10. Сачков Ю.Л. Управляемость инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах // Современная математика и ее приложения, Тематические обзоры, Т. 59, Динамические системы-8, ВИНИТИ, Москва, 1998.
11. Sachkov Yu. L. On invariant orthants of bilinear systems // Journal of Dynamical and Control Systems, 4 (1998), No. 1, 137Ц147.
12. Sachkov Yu. L. Survey on Controllability of Invariant Systems on Solvable Lie Groups, Differ. Geometry and Control // Proc. of Symposia in Pure Mathem. (American Mathematical Society), 64 (1999), 297-317.
13. Sachkov Yu. L.>
14. Сачков Ю.Л. Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны // Матем. сб., 194 (2003), 9: 63Ц90.
15. Sachkov Yu. L. Symmetries of Flat Rank Two Distributions and Sub-Riemannian Structures // Transactions of the American Mathematical Society, 356 (2004), 2: 457Ц494.
16. Сачков Ю.Л. Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны // Матем. Сборник, 2006, T. 197, № 2, с.
95-116.
17. Сачков Ю.Л. Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Матем. Сборник, 2006, Т. 197, № 4, С. 123-150.
18. Сачков Ю.Л. Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Матем. Сборник, 2006, T. 197, № 6, С. 111-160.
19. Сачков Ю.Л. Оптимальность эйлеровых эластик // Доклады Академии Наук, том 417, № 1, ноябрь 2007, С. 23 - 25.
20. Сачков Ю.Л. Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах. М.:
Физматлит, 2007, 224 С.