ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В АКТИВНЫХ СРЕДАХ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы 01.04.06 - акустика А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Нижний Новгород

Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по физике

На правах рукописи

Клочков Борис Николаевич

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В АКТИВНЫХ СРЕДАХ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

01.04.06 - акустика

А в т о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2008

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН,

г. Нижний Новгород.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Потапов А. И.

(ННГТУ им. Р. Е. Алексеева, Н. Новгород)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Дерендяев Н. В.

(ННГУ им. Н. И. Лобачевского, Н. Новгород)

доктор физико-математических наук

Абрашкин А. А.

(ИПФ РАН, Н. Новгород)

доктор технических наук

Дьяченко А. И.

(ИОФ РАН им. А. М. Прохорова, Москва)

Ведущая организация: Институт прикладной механики РАН, Москва

Защита состоится _________2009_г. в _____часов на заседании диссертационного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им. Р. Е. Алексеева (ННГТУ) по адресу: 603950 г. Н. Новгород, ул. Минина, дом 24, корп. 1, ауд._______.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ННГТУ.

Автореферат разослан _____________2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

к. ф.-м. н.

Катаева Л. Ю.

общая характеристика работы

Работа посвящена исследованию волновых и автоволновых процессов в водонасыщенных активных биологических тканях, мышце, сосудах.

Актуальность темы. исследование волновых и механохимических свойств сложных реагирующих сред, биотканей с учетом кровоснабжения в зависимости от внешних и внутренних условий, обладающих упрочнением или размягчением при вибромеханическом воздействии актуально. Теоретическое и экспериментальное исследование биотканей поверхностными волнами позволяет получить новые знания о физических свойствах тканей: о слоистой структуре, о распределении по поверхности и по глубине линейных и нелинейных акустоупругих параметров, о неоднородности, о механохимических процессах, о кровоснабжении, о лимфообращении.

В ходе исследований биотканей все большее внимание уделяется не только линейным и нелинейным эффектам на объемных волнах, но и эффектам на сдвиговых и поверхностных волнах, как наиболее чувствительных к структурным и функциональным изменениям состояния тканей (например, расслабленное, напряженное, при различном уровне кровоснабжения) и в ряде случаев более удобных с точки зрения возбуждения и приема. Не полно исследованы волновые процессы в биотканях с учетом механохимических реакций. В данной области недостаточно надежных методов и приборов детального исследования биоткани с учетом ее физико-физиологического состояния. Недостаточно полно разработаны математические модели и их решения отдельных элементов системы кровообращения, лимфосистемы и др., не описаны связи между ними, не рассмотрены процессы самоорганизации в системе кровообращения. В связи с проблемой влияния вибраций важны исследования естественных и вынужденных колебаний в тканях живого организма и их взаимосвязи, движения сосудов внутри нее, распространения возбуждаемых внешним источником низкочастотных волн по поверхностным и внутренним мягким тканям, виброакустических эффектов при сокращении мышц.

К настоящему времени получила большое развитие ультразвуковая диагностическая техника, а также более низкочастотные методы, при помощи которых можно измерять параметры биотканей в различных состояниях, включая мышцы и мышечные органы. Появились тонкие методы изучения системы циркуляции крови на микроуровне. При этом возрастает необходимость и важность теоретического описания колебательных и автоволновых процессов, протекающих в живых тканях, для углубленного понимания физических механизмов, лежащих в основе этих процессов, и возможности управления ими, а также для получения связи механохимических параметров с измеряемыми величинами. Необходимость определения линейных и нелинейных параметров слоистых биотканей является стимулом для изучения распространения и искажения упругих волн на их границах. Необходимо исследовать возможность создания томографического анализа акустомеханических свойств и слоистой структуры биоткани при помощи волн на поверхности. Это представляет собой как самостоятельный научный интерес, так и возможность оценки свойств динамического состояния ткани.

Представляют существенный интерес теоретические и экспериментальные линейные и нелинейные исследования виброакустических и автоволновых свойств слоистых биотканей, в частности, исследования низкочастотных ближних упругих волновых полей, возбуждаемых силовым вибрационным источником на поверхности, для определения характерного диапазона частот, влияния слоисто-структурных (например, толщины слоя) и вязкоупругих параметров на скорость распространения упругих волн на поверхности, их декремент затухания и другие характеристики в зависимости от частоты и с учетом пространственного распределения волнового поля. Данные параметры могут служить объективной диагностике состояния ткани. Существен случай сильно отличающихся по жесткости слоев (костного и мягкого мышечного), что важно для моделирования различных сочетаний слоев в живом организме и возможности диагностики состояния слоя через другой слой с помощью поверхностных волн.

Кроме этого для диагностики важно понимание, как изменяются эмиссионные спектры излучения под влиянием различных биохимических и физических процессов. Источниками виброакустической эмиссии могут служить целые органы, клетки, интерполимерные комплексы, отдельные макромолекулы. со времени открытия системы кровообращения физические представления и методы всегда использовались для исследования и описания ее работы (уравнения гидродинамики и механики деформируемого твердого тела, акустические подходы, теория колебаний и др.) При этом, несмотря на разнообразие процессов, существенными являются нелинейные динамические явления в них. Представляют большой интерес исследования самоорганизационных и автоволновых процессов кровоснабжения с учетом авторегуляции кровотока и активных, механохимических эффектов.

Целью работы является изучение волновых процессов в активных средах, насыщенных жидкостью:

- Построение и исследование моделей элементов сосудистой системы кровообращения и лимфообращения. рассмотрение автоволновых движений в активных микрососудах, учитывающих различные механизмы локальной регуляции кровотока и эффекты транспорта биологических жидкостей. Исследование изгиба кровеносного сосуда с потоком крови.

- Создание нелинейных распределенных моделей с учетом фильтрации и их исследование аналитическими и численными методами, описывающих нелинейную динамику и механизмы неоднородного пространственного распределения кровоснабжения мягких биотканей.

- Проведение исследований линейных акустомеханических характеристик и параметров распространения низкочастотных упругих поверхностных волн на слоистых биотканях, возбуждаемых внешним источником. Изучение ближнего поля поверхностного виброисточника. Исследование взаимодействия электрической волны возбуждения мышцы и механической волны ее сокращения.

- Исследование нелинейных динамических эффектов на поверхности активной биоткани и в ее объеме для различных функциональных ее состояний с учетом структуры, уровня кровоснабжения, мышечного сокращения, вибровоздействия.

- Разработка математических моделей и исследование характерных автоволновых режимов спонтанных сокращений в мышечных клетках с учетом активного взаимодействия белковых структур.

Методы исследования. Исследование волновых процессов в биотканях проведено на основе сочетания теоретических и экспериментальных методов и подходов. При этом важными являются методы механики сплошных сред, механики гетерогенных сред, термодинамики неравновесных процессов, автоволновых процессов и методы измерения на живом объекте. Использовался метод поверхностных волн для исследования биотканей, а также спектральный и корреляционный анализы. По сравнению с известными данный метод исследования обладает следующими преимуществами: благодаря своей низкочастотности он чувствителен к глубоко залегающим слоям ткани, позволяет регистрировать нелинейные характеристики ткани сдвиговой природы и измерять влияние различных факторов и воздействий на состояние ткани. для расчета ближних упругих полей на поверхности ткани и в ее глубине использован метод интегральных представлений. Применялись методы построения математических моделей течения биологических жидкостей по сосудистой системе с учетом авторегуляции, моделей автоволнового типа на микроуровне с проявлением активности, моделей кровоснабжения ткани с учетом фильтрации. Использованы континуальные представления о биотканях и представления о сосудистой сети как транспортной системе с активной фильтрацией. Применялись технические средства, пакеты программ по расчету акустических и автоволновых процессов, аналитические и численные методы, вычислительные алгоритмы. При численных решениях нелинейных уравнений автоволнового типа и численных расчетах сложных интегральных представлений использовался графический метод вывода решения в виде двумерного и трехмерного простого или яркостного рисунка. Для экспериментальных исследований использовались комплексы виброзадающей, виброизмерительной и виброанализирующей аппаратуры фирмы Bruel & Kjer (Дания), Robotron (Германия), контактные акселерометрические и бесконтактные ультразвуковые измерители естественных и вынужденных вибраций поверхности.

Научная новизна. Построены и исследованы математические модели отдельных звеньев сосудистой системы с учетом различного типа механизмов механохимической регуляции, кровотока, изгиба и гравитации. получены локальные и нелокальные изменения формы просвета сосуда.

Построена новая математическая нелинейная модель неоднородного распределения кровоснабжения ткани, используя приближение двухфазной среды. При помощи аналитического и численного исследования модели получены диссипативные структуры (сложные пятна), определяющие распределение объемного содержания крови при различных условиях.

Впервые исследованы волны на поверхности биоткани в различных состояниях с учетом слоистой структуры и нелинейности в непрерывном и импульсном режимах. Показано, что для их моделирования часто встречающиеся типы ткани живого организма допустимо представлять вязкоупругим водоподобным слоем, жестко связанным с твердым упругим слоем. Показано существенное влияние толщины мягкого слоя на различные рассчитанные характеристики распространяющихся упругих волн на ткани в зависимости от частоты. На основе разработанной модели активной биоткани найдено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра.

измерены параметры нелинейных эффектов - уровни гармоник силы и ускорения при действии гармонического источника на поверхность ткани в ее различных состояниях. Показано, что изменение состояния сопровождается изменением уровней гармоник, причем наибольший уровень нелинейности ткани связан с ее расслабленным состоянием. При мышечном напряжении уровень гармоник существенно падает, ткань "автолинеаризуется". обнаружен параметрический эффект возникновения субгармоник, как проявление виброрефлекса при вибровоздействии.

Впервые исследовано взаимодействие электрической волны возбуждения мышцы и акустической волны ее деформации, как следствие зависимости параметров распространения электрического сигнала от деформации волокна. Получены дисперсионные характеристики электромеханических волн при различных значениях параметров связи. Зарегистрирован активный ответ в виде медленной псевдоволны при ударе.

Предложена новая нелинейная модель с протяженными дискретно распределенными источниками, описывающая спонтанные распределенные микросокращения мышечной клетки и изменения концентрации ионов кальция внутри нее. Аналитически и численно получены характерные режимы автоволновой активности: простой (волновой) и сложный с постепенной расфазировкой колебаний отдельных участков клетки, первоначально однородно возбужденной.

Научное и практическое значение работы. Полученные результаты важны для развития фундаментальных научных исследований биотканей и оценки свойств динамического состояния ткани как сложной реагирующей среды. Разработанные подходы и полученные результаты могут быть использованы для углубленного и детального построения теоретических моделей физиологически и патологически функционирующих биотканей, для анализа многочисленных экспериментов на мышцах и других мягких тканях, кровеносных и лимфатических сосудах, сердце и др. Установление закономерностей распространения акустических волн в биотканях, в частности в мышечной ткани, естественных и вынужденных вибраций в живом организме и их взаимосвязи, а также нелинейных движений в микрососудах является стимулом для постановки новых экспериментов.

Полученные результаты работы могут быть использованы при разработке методов прогнозирования акустомеханической активности физиологических систем, для решения задач объективной виброакустической диагностики состояния биотканей, в качестве базовых при проведении исследований структуры и функции живой ткани, а также разнообразных взаимодействий внешних вибраций с реакцией живой ткани. В частности, по характеристикам поперечной и продольной компонент ближнего волнового поля (обратная задача) на различных типах слоистой ткани можно определить структурные (например, толщину слоя), вязкоупругие, нелинейные параметры мягких и твердых слоев, оценить тонус ткани, наличие отеков, перенапряжений, дистрофий и другие особенности при нервно-мышечной патологии, в травматологии, в профилактической и спортивной медицине. Результаты можно использовать для создания линейных и нелинейных томографических методов исследования биоткани при помощи акустических волн на ее поверхности. Большое значение имеет возможность оценки периферического сопротивления сосудистой системы по пульсовой волне при действии сосудорасширяющих препаратов и гравитационных воздействиях с использованием построенных математических моделей, включающих эффекты авторегуляции кровотока и др. Получен патент на изобретение.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных научных форумах: 7-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), Всесоюзных семинарах Биомеханика - 91, 93 (Ленинград), Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989), 6-ом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, 1989), International symposium "Mechanisms of Acoustical Bioeffects" (Pushchino, USSR, 1990), Всесоюзной конференции "Проблемы экологии и мягкие оболочки" (Севастополь, 1990), 2-nd East european conference on biomedical engineering (Praga, 1991), ICB seminars "Biomechanics" (Warsaw, 1992, 1996), 5-ой научная сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 1994), 2-ой Международной научной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Н. Новгород, 1994), 1-ой ÷ 4-ой Всероссийской конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1992, 1994, 1996, 1998), 2 and 3 World Congress of Biomechanics (The Netherlands, Amsterdam, 1994; Japan, Sapporo, 1998), XV-th Congress of the International Society of Biomechanics (Finland, 1995), Международной школе по нелинейным явлениям "Нелинейные волны. Синхронизация и структуры" (Н. Новгород, 1995), VIII сессия Российского акустического общества (Н. Новгород, 1998), Российская конференция по биомеханике (Пермь, 1999), II Съезд биофизиков России (Москва, 1999), 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000), XI сессия Российского акустического общества (Москва, 2001), 5-th International Conference on Vibration Problems (Moscow, 2001), 16-th International Symposium on Nonlinear Acoustics (Moscow, 2002), а также заслушивались на семинарах Института механики МГУ, Института прикладной физики РАН, Нижегородского филиала Института машиноведения РАН.

Публикации. содержание диссертации опубликовано в 45-ти работах, в том числе в 19-ти статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

ичный вклад автора. Все приведенные в диссертации материалы получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии. Работы, опубликованные в соавторстве, выполнены на паритетных началах. Часть результатов получена совместно с исполнителями научных тем под руководством автора диссертации. В части работ автору принадлежат постановки задач, выбор направлений и методов исследований. Все представленные результаты получены лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и содержит двести пятьдесят пять страниц машинописного текста, уравнений, формул, рисунков, таблиц.

Работы, составившие основу диссертации, выполнялись в соответствии с планом основных научных работ ИПФ РАН, а также при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 93-02-15946а, 94-02-06075а, 97-02-18612а), Международного научного фонда, Федеральных целевых программ УИнтеграцияФ, Минобразования РФ (грант КЦФЕ № 97-8.1-79), Минпромнауки и технологий РФ (проект по госконтракту №а40.020.1.1.1168).

краткое содержание работы

Введение дает краткую характеристику рассматриваемого в работе исследования волновых процессов в биотканях и особенностей течения биожидкости в сосудистой системе.

В главе 1 исследованы волновые процессы в пассивных и активных сосудах с потоком биожидкости.

В 1.1 исследованы волновые процессы в крупных сосудах и эффекты скорости кровотока. В экспериментах на моделирующих кровеносные сосуды мягких упругих трубках, через которые прокачивалась жидкость, при превышении скоростью потока некоторого критического значения наблюдались осцилляции трубки. Фактически целью предыдущих работ являлся линейный анализ модели трубки. Существуют единичные работы, посвященные анализу нелинейной стадии развития неустойчивости, ведущей к флаттеру, в частности, учет члена третьей степени геометрической нелинейности приводит к ограничению роста радиуса и выходу амплитуды его колебаний на постоянное значение (Педли, 1983; Вольмир, 1979; Катц и др., 1971; Carpenter etc., 1986; Grotberg etc., 1984; Волобуев, 1995).

В качестве уравнений движения стенки трубки выберем уравнения тонкостенной оболочки. Материал стенки считаем несжимаемым. Пренебрегаем продольными и угловыми смещениями элемента оболочки по сравнению с радиальными. Линеаризованное уравнение движения элемента стенки с учетом неосесимметричных деформаций имеет вид:

Здесь - время; - продольная, - азимутальная координаты; - модуль упругости материала стенки; - продольное, - окружное постоянные натяжения; - толщина стенки; - текущий, - недеформированный радиусы; - текущее, - постоянное во времени внутренние давления; - плотность материала стенки; - затухание в нем.

Выражение для разности следует из анализа гидродинамических уравнений с использованием граничного условия непроницаемости на внутренней поверхности стенка - несжимаемая жидкость:

- плотность жидкости; - ее постоянная составляющая скорости; - линейный фактор вязких потерь Дарси, Ф - геометрический коэффициент.

получим дисперсионное уравнение для малых отклонений от состояния , связывающее безразмерные частоту , волновое число и номер азимутальной моды n: ζ=ζ(α,n). безразмерные параметры и функция есть ( - модифицированные функции Бесселя):

, , , , , ,

, , .

вызванная потоком неустойчивость имеет место в некотором диапазоне волновых чисел при > U* , где критическая скорость потока равна для случая (без диссипации). Величина монотонно растет с ростом безразмерного продольного натяжения , модуля Юнга и номера угловой моды. При имеем , . представлены дисперсионные кривые: . Если затухание в материале стенки существенно превышает затухание, связанное с вязкостью жидкости, т.е. , то область неустойчивости для нижней ветви расширяется. граница неустойчивой области при соответствует условию , т.е. при достижении скоростью потока критического значения комплексная частота обращается в ноль (статический режим). При небольшом превышении скорости потока над порогом образуется медленная бегущая волна.

В случае, когда затухания в материале стенки и в жидкости близки, т.е. , дисперсионная зависимость близка к бездиссипативному случаю. При этом критические скорость потока и волновое число определяются теми же выражениями, что и для , , реализуется режим флаттера.

Сделаем некоторые оценки для крупных кровеносных сосудов. В нормальных условиях скорость крови даже в самых крупных артериях не превышает 1 м/с, что меньше критической скорости. Однако при некоторых патологиях средняя скорость течения в них может достигать 4-10 м/с, что уже превышает при малых . Максимальная скорость крови в крупных венах составляет 0,1-0,4 м/с, что близко для вен при малых даже в норме. Критическая скорость в артериях может, кроме того, достигаться при заболеваниях, связанных с уменьшением модуля Юнга материала стенки сосуда. Критическое волновое число для артерий соответствует характерной длине возмущения , для вен - . Можно оценить, что ~. Характерная частота колебаний при равна: для артерий ~, для вен ~, что соответствует измеряемым значениям. Проведенные оценки показывают возможность возникновения неустойчивости в виде квазистатического режима и флаттера.

Рассмотрим нелинейную стадию развития неустойчивости. В качестве простейшей модели будем учитывать комбинацию квадратичной ~ и кубичной ~ физической нелинейности как следствие зависимости модуля упругости материала стенки сосуда от окружной деформации. Подобная зависимость характерна для стенок кровеносных сосудов и дыхательных путей. Исследуем для простоты осесимметричный случай при . Предполагая, что превышение потоком критической скорости мало, воспользуемся методом медленно меняющихся амплитуд. Для простоты рассматриваются только эффекты самовоздействия, т.е. пренебрегается взаимодействием осесимметричной моды с более высокими модами, которые становятся неустойчивыми при больших по сравнению с осесимметричной модой скоростях. Переходя в систему координат, движущуюся с групповой скоростью, и предполагая, что характерный пространственный масштаб медленной амплитуды удовлетворяет условию , получим укороченное уравнение с малым параметром нелинейности . В случае решение будет зависеть от как от параметра, в результате происходит локальное схлопывание или расширение трубки. В случае уравнение имеет устойчивое однородное решение и устойчивое решение в виде стационарной перепадной волны. Таким образом, возможны нелинейные режимы колебаний сосуда в зависимости от коэффициентов перед нелинейными членами: локальные схлопывание или расширение, а также распределенные колебания ограниченной амплитуды. при этом, поскольку инкремент ~, то будет мягкое возбуждение колебаний при превышении скоростью порога.

Проведены численные расчеты изменения формы сосуда на основе исходного неукороченного нелинейного уравнения с учетом рассмотренной выше физической, а также геометрической нелинейностей, включающей члены второй и третьей степени, и с учетом неосесимметричных деформаций (зависимость от азимутальной координаты ). Скорость потока превышала критическую, при которой становилась неустойчивой изгибная мода (), поэтому режимы, полученные при численном исследовании, являются неосесимметричными. Наблюдались четыре различных режима изменения формы сосуда: локальные изгиб, расширение, схлопывание и колебания ограниченной амплитуды. Изгиб образуется из малого неосесимметричного начального условия, амплитуда его растет, и, вместе с тем, он сносится вниз по течению. Получена форма сосуда в случае неосесимметричного расширения, которое развивается из малого осесимметричного возмущения, расположенного в начальный момент в точке .

Форма сосуда в случае неосесимметричного локального схлопывания приведена на рис. 1.1-1 в безразмерном виде (; ; ; ; нелинейности: ; ). Из численного расчета следует, что скорость сноса растущего возмущения в случае изгиба, расширения и схлопывания равна ~, что близко групповой скорости ~ (для артерий). Изгиб, расширение и схлопывание соответствуют случаю . Для случая автоколебания в виде гофрировки расползаются по всей длине сосуда, оставаясь ограниченными по амплитуде.

рис. 1.1-1. Форма сосуда в случае неосесимметричного схлопывания

В 1.2 исследованы активные волновые процессы в схлопывающихся сосудах. Существуют различные по регуляции сосуды с активным напряжением γ гладкомышечных слоев и волокон в стенке, зависящим от внутрисосудистого давления p, радиуса сосуда R, касательного напряжения на стенке τ. характерные квазистатические кривые соответствуют сосудам S-типа (γ=γ(p)) и N-типа (γ=γ(R)) в переменных (p, R), немонотонными и имеющими падающие участки, а также σ-типа (γ=γ(τ)) в переменных (R, τ), монотонной без падающего участка. гладкая мышца входит в состав не только артериальных сосудов. в лимфатических сосудах скорость распространения зоны перепада просвета составляла 4-5 мм/с, наблюдались спонтанные сокращения частотой 3-4 мин-1, имеются указания на статическую N-характеристику (Ohhashi, Azuma etc., 1980). N-кривые возможны у вен и лимфососудов радиусом 100-2000амкм. математическое описание N-, S-, σ- сосудов предложено в работах Регирера, Руткевича, 1975; Регирера, Шадриной, 2002.

Математическая модель состоит из уравнений для стенки и жидкости. Гидродинамическая часть модели сводится к закону Пуазейля с учетом силы тяжести (типичные числа Рейнольдса меньше единицы и течение считается чисто вязким). Материал стенки сосуда - вязкоупругий с нелинейно активными гладкомышечными волокнами, напряжение которых зависит от деформации. Стенка и жидкость несжимаемы, задача осесимметричная:

Здесь p(x,t) - текущее внутрисосудистое, а pe - заданное вне сосуда давления; R(x,t) - текущий внутренний, а R0 - недеформированный радиусы; h - толщина стенки; μ - модуль сдвига, а μl - динамический коэффициент вязкости материала стенки, Λ - характерное время ее релаксации по напряжению; η - динамическая вязкость жидкости, а ρ - ее плотность, g - ускорение свободного падения, θ - угол между направлением силы тяжести и продольной осью x сосуда, t - время. Слагаемое μRxx учитывает сдвиговые деформации. Член γ/R аппроксимируется полиномом 3-ей степени P3(R).

инеаризуем систему уравнений относительно состояния равновесия R=Rст , p=pст=pe+P0 , где P0 - равновесное трансмуральное давление. Подставляя (p-pст , R-Rст) ~ exp(iωt-ikx), получим комплексное дисперсионное уравнение в безразмерном виде: Ω=O(α)+iI(α), связывающее частоту Ω=ω/ω0 (ω0=1/Λ) с волновым числом α=kR0 и описывающее колебательные процессы. при этом параметры (пассивные: вязкие, упругий и структурный; активный; гравитационный) равны κ=16ηω0/P0, ml=μlω0h/(P0R0), m=μh/(P0R0), δ=Rст/R0; Q(Rст)=(R0h/P0)(dP3/dR); G=4ρgR0cosθ/P0. представлено семейство кривых неустойчивой ветви O-(α), I-(α) в зависимости от параметров Q и δ (остальные равны κ=0.001, G=0.01, m=0.1, ml=0.1): 1 - Q=-0.2, δ=1.9; 2 - Q=-0.5, δ=2; 3 - Q=-0.8, δ=2.2. если Q+4m<0 за счет достаточно сильной активности, стационарный радиус лежит на падающем участке статической характеристики, то всегда существует длинноволновый инкремент неустойчивости. Если параметр активности увеличивается, то область инкремента может расширяться. изменение параметра силы тяжести G не изменяет область неустойчивости по α.

Существуют сосуды с реакцией на кровоток. В этом случае давление внутри сосуда может быть постоянным. Данный тип регуляции характерен для мышечных артерий диаметром 0,1-1,5 мм. В модели активное напряжение зависит от сдвигового напряжения σ на стенке сосуда: γ=γ(σ). Анализ показывает, что наличие такого рода регуляции может приводить к стабилизации, устойчивости малых возмущений. При увеличении модуля |q| безразмерного параметра активного сдвигового напряжения q=(h/2R0)(∂γ/∂σ) (q<0) величина длинноволнового инкремента уменьшается.

Рассмотрим нелинейный режим неустойчивости. Введем безразмерные переменные , а также параметры кубического полинома (i=1,2,3,4). Сделаем оценки параметров задачи: ρ~103 кг/м3, R0~10-3ам, η~(4-5)⋅10-3 кг/(м⋅с), μl/μ~Λ~0.1-0.5ас. для вен P0~2⋅103 Н/м2, модуль упругости E=3μ~4⋅104 Н/м2, h/R0~0.02-0.04, тогда имеем κ~4⋅10-4 (коэффициент перед ), G~2⋅10-2⋅cosθ, m~ml~0.1-0.3. для лимфатических сосудов P0~103аН/м2, E~(0.4-2)⋅104аН/м2, h/R0~0.1, тогда κ~10-3, G~4⋅10-2⋅cosθ, m~ml~0.1-0.7. Решение задачи на отрезке будем искать в виде ряда по степеням малого параметра κ:

справедлив аналогичный ряд для и граничные условия в виде:

; ; ,

где ρ1<ρ2<ρ3 - действительные корни нелинейной характеристики при ; ρ1, ρ3 - устойчивые, ρ2 - неустойчивый стационарные радиусы.

Положим G=0. Ограничимся первыми членами в разложении, пренебрегаем релаксационными процессами, которые существенны на временах , ищем установившееся решение на . Подставляя ряды в уравнения, интегрируя, удовлетворяя граничным условиям, имеем и три устойчивых решения: r(0)=ρ1, r(0)=ρ3, неоднородное в виде стационарной волны с автомодельной переменной. Аналитическое выражение для скорости распространения a и формы перепада радиуса r с пространственным масштабом l активной перистальтической автоволны сжатия или расширения сосуда на интервале имеет вид:

, .

Если длина сосуда много больше характерной ширины фронта l, то в нем может осуществляться режим, близкий к стацволне. Для оценки скорости a и ширины l волны воспользуемся модельной кубичной характеристикой , для которой при имеем значения ρ1=1.25, ρ2=3.75, ρ3=5 (R0=0.4амм, P0=10асм.аводн.аст., ω0=10аc-1). Для m=0.2, ml=0.1 получим |l|~0.7, |a|~0.5, что соответствует оценке скорости 2амм/с и ширине волны 0.3 мм. если L~1 см, то условие выполняется. Данные стацволны перепадного типа экспериментально наблюдались на лимфатических сосудах с близкими a и l. Оценка перепада давления П≅0,02 см.аводн.ст. на ширине l полученной квазиударной автоволны мала: П<<p0, т.к. в лимфососуде p0 ≅ 0,1-30 см.водн.ст.

Подсчитаем производительность gн такого активного перистальтического насоса. Расход жидкости через сосуд, вызванный распространяющейся волной сжатия сосуда, вычисляется при помощи интегрирования осредненного по сечению уравнения неразрывности. оценка характерной величины , причем объем сосуда равен 0,1-0,5амл. т.о. автоволна может осуществлять значительную прокачку.

Проведены численные расчеты формы сосуда на основе полных уравнений. Использовались характеристика и параметры: κ=0.001, G=0, m=0.2, ml=0.1, . Начальные условия задавались в виде: , , а граничные равны: , . для согласования с граничным условием начальное условие для радиуса задавалось сглаженным на концах. Результаты приведены на рис. 1.2-1 в переменных . графики получены на временах t: 0.05ас; 0.1 с; 3 с. На t~Λ~0.1c решение выходит на режим, близкий к стацволне со скоростью ~2 мм/с. По достижении фронтом границы x=L отражения волны не происходило. Увеличение ml или уменьшение m увеличивает время выхода на режим стацволны и уменьшает ее скорость.

Учтем силу тяжести. В 1-м случае ее направление совпадало с направлением движения волны (G=0.02, κ=0.001, m=0.2, ml=0.1, ). Начальное и граничные условия для радиуса те же, что и прежде, а для давления имели вид: , , . скорость волны уменьшалась в три раза и составляла ~0.7амм/с. Во 2-ом случае направление силы тяжести противоположно движению волны, G=-0.02, параметры те же. Начальное и граничные условия для радиуса не менялись, для давления равны: , , . Тогда волна распространялась со скоростью ~2амм/с. В обоих случаях также не возникало отраженной волны. В отличие от S-сосуда отражение не происходит и при других граничных условиях, например, при фиксированных значениях радиуса на концах.

Рис. 1.2-1. Распространение перепадной автоволны просвета в N-сосуде (слева направо)

В 1.3 исследованы автоволновые процессы в мелких сосудах и эффекты автопрокачки биожидкости. Активность гладких мышц стенки мелких артериальных сосудов считается причиной вазомоций (колебаний просвета), структур, авторегуляции, автотечения через сосуд. приведено значение скорости распространения расширения сосуда, равное 10асм/с - восходящая волна вазодилатации. Она наблюдалась и в артериолах со скоростью 0,2-0,4амм/с. Зарегистрировано увеличение скорости спонтанных сокращений с частотой: от 0,5 мм/с при 0,5 мин-1 и до 1,2амм/с при 12амин-1, причем средний диаметр сосуда возрастает от 4 до 100 мкм (Hilton, 1959; Duling, Berne, 1970; Burrows, Johnson, 1983; Colantuoni, Bertuglia, 1984; регуляция кровообращения, 1986).

Существует немного работ, где рассматриваются математические модели сосудов с мышечной стенкой. распределенная модель, описывающая колебания кровотока и радиуса активного сосуда, представлена в статьях Регирера, Руткевича, 1975. Справедливы уравнения движения несжимаемой жидкости с вязкостью μ в вязкоупругой активной трубке радиусом R(x,t) и средним по сечению давлением p(x,t), х - продольная координата, t - время

, ,

где ψ(p,R)=0 - статистическая S-образная характеристика, имеющая падающий участок на плоскости p, R (в частности, можно положить, что ψ(p,R)=αR+α1p+α2p2+α3p3+α0, причем α, α1, α2, α3, α0 - упругие постоянные); Λ=const - мгновенный упругий коэффициент. Численные расчеты для S-сосуда приведены в статьях Скобелевой, 1980, 1985; Беляева, Скобелевой, 1988 и получены сложные колебательные режимы.

заданы граничные условия для сосуда конечной длины L в общем виде

p+-p(0,t)=z+g(0,t), p(L,t)-p-=z-g(L,t),

p+,p- - концевые давления, z+, z- - гидравлические сопротивления, g - расход.

рассмотрим поведение малых отклонений от стационарного состояния p0=p0(x), R0=R0(x), определяемого при ∂/∂t=0. Перейдем к переменным δp=p-p0, δR=R-R0 и учитываем нелинейности до 3-й степени включительно. Пусть p0 ,R0 лежит на падающем участке кривой ψ(p0 ,R0)=0. Для получения решения уравнений в области неустойчивости вблизи границы бифуркации воспользуемся следующей процедурой теории бифуркации Хопфа. Перейдем к безразмерному времени τ=ωt, где ω - частота колебаний. ищем 2π-периодическое по τ решение в виде рядов по малому параметру ε, определяемому величиной отклонения от границы бифуркации

u=εu1+ε2u2/2+ε3u3/6+Е , ν=εν1+ε2ν2/2+ε3ν3/6+Е ,

ω-ω*=εω1+ε2ω2/2+ε3ω3/6+Е , g=g0+εg1+ε2g2/2+ε3g3/6+Е ,

причем ω* - частота на границе бифуркации, .

Подставляя ряды в уравнения и приравнивая выражения при одинаковых степенях ε, получим уравнения для различных приближений ui. параметры ε, νi, ωi находятся из специальных условий совместности. в 1-м приближении имеем линейные однородные уравнения. Поскольку u1 действительно, то представим u1=Z+, где черта сверху - комплексное сопряжение. Считая Z=Z0exp[i(τ-kx)], Z0=const, имеем дисперсионные уравнения: . Используя граничные условия при z+=z-=0, получим кубическое уравнение для нахождения собственного значения σ=iω*: Δk⋅L=πn (n=±1,±2,Е). На границе бифуркации по критерию Рауса-Гурвица справедливо ():

, (при ),

где , , ; λ, θ, Λ > 0 .

Система устойчива, если . Отсюда следует, что бифуркационным параметром ν можно выбрать R0-R0*, λ-λ*, Λ-Λ*, μ-μ*, L-L* или их комбинацию; R0*, λ*, Λ*, μ*, L* удовлетворяют условию на границе бифуркации. При переходе из устойчивого состояния в неустойчивое первой возникает бифуркация для n=1. В этом случае решение уравнений первого приближения имеет вид

, .

Во втором и последующих приближениях получаем неоднородные линейные уравнения, для разрешимости которых необходимо и достаточно выполнение условий совместности - ортогональности правых частей уравнений решению сопряженной задачи. коэффициенты при нечетных степенях ε в рядах ν1=ν3=Е=0, ω1=ω3=Е=0. Параметры ω2 и ν2 определяются из уравнений третьего приближения. Принимая ν=μ-μ*, при достаточно большой кубической нелинейности α3 получим ν2=9λμ*α3a2/2>0 и приближенно с точностью до членов четвертого порядка имеем выражение для квадрата амплитуды распределенных автоколебаний в случае u0=0:

(aε)2=4(μ-μ*)/(9λμ*α3) , >0.

Рис. 1.3-1. Автоволны в S-cосуде: (a) локальное расширение, (б) - сжатие; и автоструктуры

увеличение вязкости жидкости приводит к неустойчивости. Формально это аналогично волнам отрицательной энергии. получим поправку к частоте ω=ω*-(μ-μ*)ω*/(2μ*), ω* ~ 0,05-2 Гц. При дальнейшем увеличении ν решение выходит на режим квазистационарных локализованных автоволн сжатия и расширения сосуда, а по давлению - перепадных (рис. 1.3-1). расход локализован в пределах автоволны, эффект автоподкачки небольшой. При устойчивости возможны стоячие диссипативные структуры просвета.

Если система устойчива, то авторегуляция расхода через сосуд заключается в его квазипостоянстве при изменении перфузии за счет падающего участка на статической кривой. При неустойчивости возникает прокачивающий эффект G2, т.е. дополнительный к g0 вклад в расход g за период автоколебаний (нелинейный транспорт жидкости в сосуде). При этом, поскольку в g1 входят лишь линейные члены, то усреднение за период <g1>=0. Первый отличный от нуля вклад связан с g2: . для вычисления G2=<> воспользуемся граничными условиями для p2 с учетом z+=z-=0 и усредненными по периоду уравнениями второго приближения для u2:

, .

при 2α2λΛR0>1 имеется прокачивающий эффект (необходимое условие α2>0), а при 2α2λΛR0<1 - запирающий. если u0=0, отсутствуют стационарные поток и градиент радиуса, то какого-либо насосного эффекта нет.

Для общих граничных условий z± ≠0, p± ≠0 исследуем возможность бесклапанного насосного эффекта при u0=dR0/dx=0. имеем трансцендентность

, .

Переходя на комплексную плоскость и пользуясь принципом аргумента, показано, что число нулей f(k) совпадает с числом действительных нулей. Следовательно, это уравнение имеет лишь действительные корни:

выражение для частоты довольно универсально - оно не зависит от u0 (при малых u02) и от z± (при u0=0). Поскольку между R1 и ∂p1/∂x при u0=0 сдвиг по фазе равен 90, то <R1∂p1/∂x>=0 и получаем G2=0 при любых z± , никакого насоса нет.

Описанные явления могут быть использованы для оценки механических параметров сосуда и кровотока, в качестве тестирования уровня функционирования сосудистой периферии и других полых органов цилиндрического типа с течением биожидкости, например, мочеточника.

В главе 2 исследована самоорганизация кровоснабжения ткани.

Развиты теоретические подходы к моделированию кровоснабжения биотканей в работах Регирера, 1980; Регирера, Шадриной и др., 1986; Антонца В. и М. и др., 1981, 1992; Федотова, Мархасина, 1990.

В 2.1 построена континуальная модель пространственно неоднородного распределения кровозаполнения тканей. Справедливы уравнения неразрывности обеих фаз (кровь и активный упругий тканевой каркас) и их движения. Учитывается фильтрационный закон Дарси. Предполагается, что фазы и среда в целом несжимаемы, плотности фаз равны. межфазный переток отсутствует. пренебрежем инерционными слагаемыми, процессы достаточно медленные. Имеется сильно разветвленная сеть кровеносных микрососудов с мышечными волокнами разного калибра, переплетенных так, что в среднем по малому объему среды скорость фазы крови близка скорости твердой фазы, хотя вдоль любого сосуда скорость тока крови существенно отлична от скорости окружающей ткани. изотропное активное напряжение ткани γ связано с гладкомышечными клетками стенки сосудов и со скелетной нервно-мышечной управляемой системой. возможны разные случаи нелинейной активной функции γ в зависимости от: деформации каркаса ε, давления жидкости p, сдвигового напряжения и др.

Рассмотрим случай γ=γ(ε). В результате получим нелинейное уравнение относительно пористости φ (объемного содержания крови φ~ε). рассмотрим одномерный случай

; ,

где фоновое состояние () предполагается ненапряженным, η - вязкость жидкости, k - эффективная проницаемость ткани по отношению к крови; λ, μ - коэффициенты Ламе упругости твердой фазы, γ - параметр активности. При этом можно принять аппроксимацию финитной колоколообразной зависимости γ(φ) кусочно-параболической или кусочно-линейной функциями.

Рассмотрим линейную задачу, которая сводится к уравнению диффузионного типа. Характерное решение имеет вид . Для граничной задачи, моделирующей распространение волны от монохроматического источника, ω - действительно, получим . При этом в зависимости от знака и величины γ′ коэффициент D может быть как положительным, так и отрицательным. Последний случай (D<0) имеет место, если уровень активности среды достаточно высок и рабочая точка находится на падающем участке кривой γ(ε). Если D>0, то имеем затухающую волну. при D<0 величина κ2=(1+i)[ω/(2⋅|D|)]0,5, и по мере распространения волна объемного содержания жидкой фазы φ будет нарастать с пространственным инкрементом [ω/(2⋅|D|)]0,5. Для задачи с начальными условиями κ - действительно, ω=Dκ2i, при D<0 имеем экспоненциальное нарастание во времени начального распределения φ с инкрементом |D|⋅κ2.

Проведем анализ уравнения в нелинейной задаче. Можно показать прямым интегрированием его по всей оси x от Ц∞ до +∞, что справедливы инварианты по времени t для достаточно общих финитных зависимостей φ(x,t) и γ(φ): =C0=const (площадь под кривой φ(x) сохраняется в любой момент времени), =C1=const (центр тяжести φ(x) сохраняется, несмещение кривой). однако, =C2≠const (отклонение от центра тяжести не сохраняется). Моменты более высокого порядка, вообще, отличны от константы. В стационарных условиях (∂/∂t=0) после однократного интегрирования уравнения в классе финитных функций φ(x) (φx|±∞=0) имеем: D(φ)⋅φx=0. Тогда в установившемся распределении φx=0 (φ=const) кроме может быть точек, определяемых D(φ)=0.

Ограничимся некоторыми соображениями о характере решения нелинейного уравнения в случае, когда нелинейная функция γ(φ) представима в виде кусочно-линейной аппроксимации. задача свелась к уравнению диффузионного типа, причем D = -|D|= -D1<0 при 0<φ<φ* и D>0 при φ>φ*, φ<0. На интервале 0<φ<φ* это уравнение может решаться с помощью интеграла Фурье-Стильтьеса: , где φ(κ) - пространственный спектр φ(x,0). Если начальные условия (t=0) заданы в виде синусоидального распределения (на всей оси x): φ(x,0)=φa⋅exp(-iκx), φa<φ*, то в любой момент времени (t>0) получим φ(x,t)=φa⋅exp(D1κ2t)⋅exp(-iκx). время достижения φ* равно t*=(ln(φ*/φa))/(D1κ2). Резкие "пятна" как бы вырастают антидиффузионно из начальных условий (режимы с обострением).

Справедлив и случай γ=γ(p). получим основное нелинейное уравнение относительно давления жидкости p в виде

где функция γ′p=∂γ/∂p<0, если нет эффекта Бейлисса и γ′p>0, если он есть (имеется падающий участок на статической кривой давление-деформация).

В 2.2 рассмотрены динамические диссипативные автоструктуры распределения кровотока в ткани с помощью численных расчетов.

Пусть γ=γ(ε) зависит от деформации (пористости φ). Тогда справедливо нелинейное уравнение относительно объемного содержания крови φ в ткани. Коэффициент нелинейной диффузии D может менять знак при достаточной величине γ, если уровень активности гладкомышечных или скелетномышечных элементов среды высок и рабочая точка находится на падающем участке кривой γ(φ). Численные решения уравнения дают процесс изменения распределения при различных условиях (см. рис. 2.2-1÷2.2-3). Использована зависимость D() в виде непрерывной функции. Кривые на рисунках - безразмерные, идут снизу вверх.

Получены динамические структуры пространственного кровотока в ткани. При определенных условиях реализовалась характерная динамика. Получена зависимость ширины от начальной амплитуды: чем больше амплитуда начального распределения, тем больше длительность итогого импульса. Имеют место эффекты обострения импульса, а при определенных условиях - уплощения с прогибом в середине, а также мелкомасштабность. Может происходить удвоение импульса. Реализуется эффект локализации в середине (пропадание концевых импульсов, рис. 2.2-1) или выпадение пика (пропадание промежуточных импульсов, рис. 2.2-2). Возможны реализации острых импульсов (постепенное обострение без выпадения и без локализации) или тупых импульсов (постепенное уплощение, рис. 2.2-3). Предложенное модельное описание соответствует наблюдениям на ткани и может быть использовано для исследования функционирования сосудистой периферии кровоснабжающейся ткани.


Рис. 2.2-1. Локализация	Рис. 2.2-2. выпадение пиков	Рис. 2.2-3. Уплощение

В главе 3 исследуются поверхностные упругие волны на слоистых активных биотканях с учетом ее структуры.

В 3.1 изучены волны на поверхности биоткани. В них как и в большинстве сплошных сред распространяются различные типы волн. на особенность различия объемных и сдвиговых волн в мягких тканях (в частности, по их скорости) в связи с возможностью выявления структуры ткани обратил внимание Сарвазян, 1975, 1983; Пашовкин, Сарвазян, 1989.

Приведем результаты численных расчетов ближнего акустического волнового поля смещений, возбужденного низкочастотным силовым виброисточником на поверхности вязкоупругой слоистой биоткани, в рамках задачи лэмбовского типа. биоткань представим в виде двухслойной среды с сильно различающимися модулями сдвига. ближнее поле возбуждается поверхностным источником, расположенном на мягком наружном слое (вязкая водоподобная ткань), сцепленном с жестким (слабодиссипативный упругий материал), часто встречающийся случай эндоскелета, кость внутри. Использовался метод, применяемый в сейсмике.

Возбуждение упругих волн производилось штампом нормально к поверхности (слоистое полупространство занимает область z≥0, ось r направлена вдоль поверхности ткани от штампа). При этом считалось, что компонента тензора напряжений σzz=σ0eiωt (σ0 - амплитуда перпендикулярной к поверхности компоненты, ω - частота) равномерно распределена по круглой площадке источника радиуса , вне нее σzz=0; σzr=0 на всей поверхности z=0. По обе стороны от поверхности контакта слоя и полупространства z=h в силу условия полного механического сцепления равны нормальные и касательные компоненты Wn и wt вектора смещений, а также равны нормальные и касательные компоненты тензора напряжений σzz и σzr. Применим обычные линейные уравнения теории упругости Ламе в цилиндрических координатах r, z с учетом диссипации в мягкой среде в рамках модели Кельвина-Фойгта. Основными параметрами двухслойной ткани являются: λn, μn и ρn - упругие коэффициенты Ламе и плотность; значение индекса n=1 соответствует параметрам мягкой среды, причем μ1 является оператором: μ1 ⇒ μ1+μ1′⋅∂/∂t, где μ1′ - коэффициент вязкости; n=2 соответствует жесткой среде. С помощью введения скалярного и векторного потенциалов и преобразования Ханкеля в уравнениях и граничных условиях получаем систему 6-ти алгебраических уравнений относительно неизвестных A, B, C, D, E, F. После ее решения имеем выражения в виде интегралов по тангенциальным волновым числам k, представляющие собой обратные преобразования Ханкеля нулевого и первого порядка. Для мягкого слоя получим

где , , , , k - УволновоеФ число по r, Jm - функция Бесселя m порядка.

Значения параметров слоев биологической ткани выбраны следующими: λ1=2.67⋅1010адн/см2, μ1=5⋅104 дн/см2, ρ1=1.05 г/см3, μ1′=25адн⋅с/см2 (мягкий слой); λ2=5.7⋅1010адн/см2, μ2=6.4⋅1010 дн/см2, ρ2=1.6аг/см3 (жесткое полупространство). Радиус источника а=0.5 см, а величина σ0=1 дн/см2. Варьировалась толщина мягкого слоя: h = 0.3; 0.6; 0.85; 1; 1.05; 1.1; 1.5; 2; 3; 4 см и ∞ см (полупространство). На различных расстояниях от центра источника вдоль поверхности определены комплексные амплитуды компонент смещений как функции частоты f. Результаты численных расчетов приведены на рис. 3.1-1. Наиболее четко выраженными и достаточно простыми являются амплитудочастотные и фазочастотные характеристики нормального волнового поля в самой точке 0 (r0=0, z=0) под штампом (рис. 3.1-1a). На амплитудочастотной зависимости для каждой толщины слоя h видны характерные резонансные максимумы, проявляющиеся и на фазочастотной зависимости. Для полупространства максимум упирается в вертикальную ось f=0. Рассчитаны дисперсионные зависимости скорости распространения волн на поверхности биоткани от частоты, близкие измеряемым (разд. 3.2).

Существенное отличие от нормальных смещений наблюдается для тангенциальных смещений в точке 1 r1=2.5 см (в точке 0 под штампом они равны нулю), связанное с резонансными максимумами и минимумами на разных частотах в зависимости от толщины h (рис. 3.1-1б).

Проведены расчеты пространственного распределения ближнего поля вдоль поверхности слоистой ткани (по r при z=0) и в ее глубине (по z, z>0) для частот f= 60 и 70 Гц. Амплитуды нормальных компонент смещений достаточно быстро убывают с расстоянием r от колеблющегося штампа. Амплитуды тангенциальных компонент вблизи источника существенно меньше по величине нормальных и ведут себя немонотонно с расстоянием r. Амплитуды нормальных смещений при r=r0 в глубину ткани убывают, за исключением лишь очень узкой области вблизи источника для h= 2 и 3асм, где имеется небольшой максимум. Амплитуды касательных компонент смещений при r=r1 от глубины z для разных h ведут себя немонотонно.

Получено двумерное распределение (по r,z) упругого поля в виде поверхности и линий уровня для f=70 Гц и h=3 см. Для нормальной компоненты смещения имеется характерный пик в месте виброисточника с немонотонным поведением по r и по z, а для касательной - в точке источника оно нулевое, а при удалении от него имеется несколько экстремумов.

Рис. 3.1-1. амплитуды (см) нормальных (a) и касательных (б) смещений от частоты (Гц)

В 3.2 представлены измерения линейных параметров поверхностных волн и дисперсионных характеристик биоткани в низкочастотном диапазоне (скорость и коэффициент затухания волны от частоты). используются методы возбуждения и измерения параметров волн на поверхностях биообъектов, включающие измерительный комплекс виброакустической аппаратуры фирм Брюль и Къер, Роботрон, отечественную аппаратуру, разработки ИПФ РАН. Вибрации задавались вибростендом в диапазоне частот 3-400 Гц. В мягкую ткань предплечья с внутренней стороны перпендикулярно ей на 3 мм внедрялся жесткий, круглый, плоский в плане индентор диаметром d=10 мм, который жестко соединялся с платформой вибростенда через опорный акселерометр. Возбуждение волн осуществлялось белым шумом или гармоническим сигналом, или механическим ударом. Для измерений применялось контактное средство регистрации колебаний поверхности на различных расстояниях от места возбуждения - приемный тонкий акселерометрический щуп. Для исключения влияния на параметры ткани измерительного устройства использовался бесконтактный способ - локационный ультразвуковой фазовый измеритель перемещений с диафрагмой для увеличения пространственного разрешения.

Осуществлена визуализация волны на поверхности тела человека при освещении стробоскопом. При увеличении частоты его вспышек с минимальной можно наблюдать, что до 40-50 Гц волновая картина на руке или животе не характерна, начиная с 50-60 Гц можно заметить распространение волны, причем амплитуда колебаний индентора А0 в ткани должна быть не менее 1-2 мм. волны являются сильно затухающими (на расстоянии 1-3 длин волн λ), реализуется лишь ближняя зона, можно оценить λ. При настройке частоты вспышек на гармоники 2- и 3-ю, они фотографировались.

Исследованы линейные свойства. проведены измерения распределения колебаний поверхности ткани (их фазы и амплитуды). В частности, измерены скорость и декремент распространяющихся волн в зависимости от частоты (дисперсионные характеристики). Эти параметры волн измерялись при помощи двухканального анализатора 2034 B&K на основе использования частотной характеристики Н1 (ее фазы и амплитуды) с накоплением сигнала в режиме "выравнивания". Вибратор возбуждался случайным шумом. Измерения проводили в двух точках. измерялась разность фаз между ними и отношение амплитуд сигналов в них. Измерения проводились на руке в ее обычном естественном "ненапряженном" состоянии.

Проведены бесконтактные измерения с помощью ультразвукового виброметра. получены разности фаз Δφ(f) и декремента κ(f) на руке испытуемого. Первое измерение проводилось на расстоянии x2=45 мм от центра штампа и записывалось в память анализатора, второе - на x1=25 мм. Каждое измерение проводилось с усреднением реализаций. Особенностью Δφ(f) является наличие локального максимума (резонанса) на fm= 160-170 Гц: до этой частоты разность фаз растет, после нее - падает, затем снова идет слабый рост после 200 Гц. Такое немонотонное поведение связано с многослойностью и неоднородностью ткани, с геометрией и ограниченностью в пространстве руки, а также со структурой ближнего поля виброисточника.

Рис. 3.2-1. скорость волны и декремент от частоты со среднеквадратичными отклонениями

получены средние значения скорости распространения поверхностной волны C и декремента κ по 10 измерениям для одного испытуемого: рука перед каждым измерением вынималась из ложа установки и возвращалась на место. Эти средние кривые представлены на рис. 3.2-1 точками, а разброс данных - вертикальными линиями. На кривой скорости C(f) на более низких частотах видны небольшие резонансы и постепенное уменьшение скорости при росте f до примерно 150 Гц. После f > 150 Гц скорость C(f) значительно увеличивается. В области частот 100-200 Гц излучаемые колеблющимся штампом поверхностные волны имеют скорость распространения около 2 м/с и, соответственно, длину волны примерно 1-2асм. Высшие гармоники - еще более короткие. Толщина слоя мягких тканей в исследуемой области сравнима по величине с длиной волны, но размеры слоя в продольном направлении существенно больше длины волны. излучаемые сдвиговые волны существенно затухают уже на длине волны и приходится использовать для измерений удаления от источника того же порядка 1-4асм.

Проведены измерения C и κ при помощи данной методики на 10 испытуемых. Результаты измерений попадают в определенную область. получены частотные характеристики ткани на различных расстояниях от вибратора (2-8асм). кривые при некоторых частотах могут пересекаться. кривые, измеренные бесконтактно или контактно соответствуют друг другу.

Рассмотрена взаимосвязь вынужденных и собственных виброакустических процессов в мышечной ткани. Изучено ее состояние по регистрации виброшумов (лзвуков) мышцы. Показано, что увеличение уровня эмиссии от мышцы руки при ее напряжении в диапазоне 20-50аГц на 10-15 дБ увеличивает скорость распространения волны на ткани в 1.6-2.5 раза на частотах 120-200 Гц и коррелирует с уменьшением декремента. при мышечном напряжении зависимости разности фаз и декремента от частоты на поверхности становятся более гладкими и монотонными, что связано с изменением толщины слоев и их вязкоупругих и механохимических параметров.

В 3.3 проведены исследования распространения волн на поверхности препарата легких. Амплитуда колебаний вибратора составляет 0,1 мм. Контактная площадка вибратора с тканью выполнена в виде металлического круглого штампа диаметром 1 см с закругленными краями. Расстояние между центрами штампа и диафрагмы бесконтактного датчика - 2,5 см. Измерения проводились при давлении воздуха в легких 0,04 кПа и 0,6 кПа. Результаты исследований показывают, что с(f) и κ(f) - в основном возрастающие функции, причем в области частот 10-150 гц скорость лежит в пределах с(f)= 0,5÷1,5 м/с, а декремент κ(f)= 80÷200а1/м. Подсчитаем динамическое разрушающее напряжение σкр в легочной ткани при ее поражении во время ударной травмы. Учтем, что для легких трансмуральное давление приближенно равно напряжению в паренхиме. Поскольку в волне σ=ρcv, то при плотности ρ=0,4⋅103акг/м3, скорости волны c=2 м/с и критической скорости удара v=5ам/с находим σкр=4 кПа, что удовлетворительно согласуется с параметрами статического предела прочности и предела текучести легких. По декременту оценим расстояние, на котором амплитуда волны убывает в e раз: 0,4-1,7 см, что близко характерному размеру поверхностных легочных кровоизлияний, определяемых при патоморфологии после баротравмы.

В 3.4 исследовано распространение упругого импульса на поверхности мягкой биоткани. Возбуждение поверхностной волны производилось одиночным механическим ударом по ткани длительностью 0,1 с и глубиной внедрения в ткань ~ 5 мм. При этом по ткани вдоль руки распространялся механический импульс. Колебания смещения А поверхности на расстоянии 30 и 90 мм от места удара измерялись бесконтактно с помощью двух ультразвуковых измерителей виброперемещений. Сигналы с них регистрировались двухканальным анализатором. Измерение скорости импульса си проводилось на четверых испытуемых. получены характерные осциллограммы колебаний мягкой поверхности, действительная часть K их нормированной взаимной корреляционной функции. Спектр сигнала возбуждаемых частот находится в области от 0 до 50 Гц с максимальным значением гармонических составляющих 12-32аГц, т.е. имеем низкочастотный характер удара и импульса. Некоторого увеличения амплитуд высокочастотных составляющих можно добиться, совершая удар по мягкой ткани через жесткую проставку. Спектральный состав импульса при его распространении на выбранной базе d=6 см мало изменяется. после удара на поверхности ткани возбуждается квазигармоническая затухающая волна. скорость импульса определялась по задержке максимального значения сигнала Δtm , пересечения нулевого уровня после него Δt0 и по максимальному значению действительной части взаимной корреляционной функции сигналов на базе Δtвк . Результаты измерений скорости импульса си приведены для двух состояний ткани: расслабленной (Р) и напряженной (Н). Скорость распространения возбуждаемого импульса (для Р) составляет 3-5ам/с. Напряжение вызывалось жимом кисти с силой 25 кГ, и скорость значительно возрастала (в 3-6 раз), что может свидетельствовать о значительном превалировании активных составляющих над пассивными в эффективном модуле упругости. при изменении состояния ткани (при напряжении, отеке) изменяются соотношения длины волны и характерных размеров слоев тканей руки. результаты измерения скорости по каждому из выбранных критериев достаточно близки. характер зависимостей от человека к человеку сохраняется, изменяются лишь их временные параметры.

В 3.5 зарегистрирована активная псевдоволна на мышце, возбуждаемая механическим ударом и связанная с синхронизацией клеток при распространении возбуждения. Для возбуждения мышцы ноги человека (бедро вблизи колена) по ней наносили резкий удар резиновым молотком. Регистрация параметров удара осуществлялась при помощи вмонтированного в молоток пьезоакселерометра ПАМТ-1. На расстоянии d=6 см от места удара смещение поверхности мышцы (вместе с кожным слоем) измерялось бесконтактно при помощи ультразвукового фазового измерителя перемещений. После удара на поверхности бедра возбуждаются две волны смещения. Первая - короткая и быстрая (длительностью около 30 мс и скоростью 2-3 м/с), являющаяся обычной (лпассивной) поверхностной волной (1-2 периода колебаний). Вторая - существенно более медленная активная волна (псевдоволна) сокращения поверхности мышцы нейрогенной природы (длительностью 150-190 мс и скоростью 0.5-0.6 м/с). Исследовалось возбуждение мышцы при одиночном (рис.а3.5-1), двойном (рис. 3.5-2), тройном ударах, их различной скважности и силе. На рис. 3.5-1а изображено ускорение a в точке удара, на рис. 3.5-1б - перемещение W на расстоянии d от места удара. Видно, что сначала регистрируется пришедшая пассивная волна, а затем активная, наблюдается эффект насыщения (перевозбуждения мышцы) из-за достаточно сильного удара. На рис. 3.5-2а изображены ускорения от двух ударов, на рис. 3.5-2б - соответствующие им перемещения на d, не приводящие к перевозбуждению мышцы. При этом амплитуда псевдоволны будет зависеть от степени восстановления мышцы.

Рис. 3.5-1, 2. Эпюры ускорений (а) и перемещений (б) при одиночном и двойном ударах

В 3.6 изложены экспериментальные результаты изучения собственных виброакустических процессов активности в мышце. Так называемые звуки мышц были измерены и исследованы в работах Oster, Jaffe, 1980; Barry, 1987; Антонец, Грибков, Шестернин, 2000 и др. Звуковые и инфразвуковые колебания возникают при мышечном сокращении в различных способах её нагружения и управления в живом организме. Развитие напряжения обусловлено структурными перестройками белков актомиозиновых комплексов. Это может служить источником виброакустических колебаний. Вопрос о сопоставлении мышечного сокращения и генерации звуков впервые был поставлен в работах А. А. Вазиной с соавторами по рентгеновской и синхротронной дифрактометрии.


Рис. 3.6-1. спектр эмиссии ускорения A/AM	Рис.4.1-1. Нелинейность от объема тв.фазы

На рис. 3.6-1 приведены результаты измерений виброакустической эмиссии (шумов) от мышечных слоев предплечья, причем измерения осуществлялись одновременно акселерометром и микрофоном, расстояние между которыми составляло 1,2 см. Верхние кривые соответствуют напряженному состоянию ткани 5акГ, нижние - расслабленному, частота f - в Гц. Частоты ft соответствуют тремору, а fm - звукам мышц. проведены измерения параметров колебаний скелетных мышечных препаратов при их стимуляции электрическими прямоугольными импульсами, следовавшими с частотой 14-170 Гц. с помощью пьезоприемника ПАМТ зарегистрированы механические колебания в диапазоне частот до 320 Гц, причем до 60 Гц сигналы регистрировались и тензометрическим датчиком силы. При стимуляции электрическими импульсами утомленной мышцы уровень звуков падал до уровня шумов аппаратуры. Специально мышцу стимулировали случайным электрическим шумлись на уровне менее 5 %. При помощи контактного щупа в различных точках измерялись основная гармоника ускорения поверхности ткани U1(дБ/В) и гармоники U2,3(дБ/U1). Приведены средние значения величин и их разброс. Получены зависимости уровня основной гармоники (f=130 Гц) ускорения U1 на трех расстояниях от края штампа (D = 12, 16, 21амм) от амплитуды колебаний силы штампа F1: практически линейный рост U1 с накачкой F1 и ее затухание по мере удаления от штампа.

Показано, что относительные уровни вторых гармоник силы F2 и ускореня U2 растут при увеличении уровня накачки F1. Получены зависимости уровня гармоник ускорения поверхности ткани от расстояния D до штампа вдоль различных направлений. При этом уровни гармоник силы давления штампа на ткань F1, F2,3 остаются примерно постоянными (F1≅0.1Н, F2≅-20дБ, F3≅-30дБ). Уровень U1 во всех случаях монотонно убывает по мере удаления. гармоника U2 монотонно спадает вдоль предплечья и вдоль луча 45. Важно отметить, что ее уровень на небольших расстояниях (до 15÷20амм) достоверно выше F2. Это, по-видимому, является следствием роста U2 по мере распространения поверхностной волны за счет нелинейных эффектов. На б′ольших расстояниях U2 спадает ниже уровня F2, по-видимому, за счет превышения затухания над нелинейными эффектами. Поведение U2 поперек предплечья существенно отличается: на небольших расстояниях ее уровень ниже, чем F2, а по мере удаления этот уровень U2 растет и превышает F2, что однозначно свидетельствует о превышении нелинейных эффектов над затуханием в этом направлении.

уровень U3 измерялся поперек предплечья и по лучу 45 (вдоль предплечья U3 мало). В обоих случаях он имеет тенденцию снижения по мере удаления от штампа, но в первом случае он всегда остается достоверно выше F3, а во втором случае он превышает этот уровень на небольших расстояниях (до 14 мм) и падает ниже него на бльших расстояниях. Проведены исследования нелинейных эффектов в зависимости от частоты задаваемых колебаний. частотные зависимости сняты в точке, расположенной вдоль предплечья на расстоянии D=14амм от края штампа при постоянном уровне смещения WЭ=0,1амм. Здесь, как и в соответствии с предыдущими измерениями, U2 превышает F2. Частотная зависимость U2(f) имеет максимум в области f≈180аГц на фоне почти монотонного изменения U1, F1, F2.

Теоретические волновые оценки показывают, что объяснение достаточно высоких уровней гармоник на мягкой ткани, по-видимому, связано с относительно большими значениями чисел Маха M=ωu/c=0,02-1,2, поскольку в диапазоне частот 100-200 Гц амплитуда смещения штампа может составлять u=0,1-2 мм, а скорость сдвиговой волны на поверхности с=2-3ам/с. Для нелинейного параметра ткани n=8-9 показано, что характерные нелинейные эффекты проявляются на расстояниях нескольких длин волн.

В 4.3 исследованы нелинейные виброакустические эффекты на поверхности активной биоткани с учетом влияния ее состояния.

Использовался сейсмический метод возбуждения волн на поверхности ткани (см. разд. 4.2). была выбрана f=130аГц. В точке источника колебаний измерялись ускорение и сила (а также их уровни гармоник) воздействия на ткань в трех состояниях ткани (расслабленном, отеке, напряженном). Одновременно вдоль продольной оси руки на ее внутренней поверхности предплечья на расстоянии х от края штампа, равном 1, 2, 3 и 4 см, акселерометрическим щупом измерялось ускорение на частоте f и ее гармониках 2f, 3f. Фиксированное внедрение штампа в ткань составляло h=3 мм, диаметр штампа d=15амм. Уровень ускорения штампа не зависел от состояния ткани, причем его гармоники были пренебрежимо малы в отличие от гармоник силы. Внедрение измерительного щупа составляло 2 мм. Каждое измерение повторялось, вычислялись среднее значение и разброс. Расслабленное состояние ткани - это обычное естественное состояние ткани предплечья. Оно изменялось и переходило в напряженное состояние при помощи развития рукой активного напряжения (5 кГ). Состояние искусственного отека (увеличенное кровонаполнение ткани) задавалось приейные искажения, возникающие под колеблющимся штампом из-за нелинейной характеристики ткани "напряжение-деформация", от искажений, появляющихся по мере распространения волны вдоль поверхности. В качестве объекта использовалась ткань внутренней поверхности предплечья руки человека, причем штамп диаметром d=10 мм вдавливался на глубину h=3амм. Измерялись основная гармоника силы давления штампа на ткань F1(дБ/Н) и высшие гармоники F2,3(дБ/F1). Контролировались гармоники ускорения штампа U′2,3(дБ/U′1), которые оставались на уровне менее 5 %. При помощи контактного щупа в различных точках измерялись основная гармоника ускорения поверхности ткани U1(дБ/В) и гармоники U2,3(дБ/U1). Приведены средние значения величин и их разброс. Получены зависимости уровня основной гармоники (f=130 Гц) ускорения U1 на трех расстояниях от края штампа (D = 12, 16, 21амм) от амплитуды колебаний силы штампа F1: практически линейный рост U1 с накачкой F1 и ее затухание по мере удаления от штампа.

Измерены уровни 1-ой (основной) гармоники. В расслабленном состоянии на штампе сила F1(дБ/Н)=-36,5, а на щупе ускорение U1(дБ/В) монотонно падает с расстоянием: на 29 дБ с x=10 мм до x=40 мм (достаточно сильное затухание). В напряженном состоянии на штампе сила F1=-33,5, а на щупе уровень U1 падает более медленно, чем в расслабленном состоянии: на 30 мм перепад составляет 9 дБ (довольно слабое затухание волны). В состоянии отека на штампе F1=-29, а на щупе - близкое к напряженному состоянию медленное монотонное падение U1 с перепадом на 10 дБ.

Рис. 4.3-1. гармоники ускорения (распределение) и силы. Штриховые линии - разброс данных

Поведение 2-ых гармоник во всех трех состояниях немонотонно с расстоянием (рис. 4.3-1). Самым нелинейным оказалось расслабленное состояние: по мере удаления от источника, начиная с x=27 мм, относительный уровень 2-ой гармоники ускорения на щупе начинает превышать уровень 2-ой гармоники силы в месте возбуждения (уровень 2-ой гармоники ускорения на штампе всегда мал) и достигает U2(дБ/U1)=-20 при F2(дБ/F1)=а-29. В напряженном состоянии ткань становится более линейной и уровень гармоник на щупе всегда падает ниже уровня гармоник на штампе (на 5÷11адБ). Состояние отека занимает некое промежуточное положение, уровень 2-ой гармоники на щупе немного превышает (на 2÷5адБ) уровень гармоник на штампе везде, кроме области вблизи х=20 мм, где, наоборот, он ниже уровня гармоник на штампе на 2 дБ. Третьи гармоники ведут себя аналогично.

В 4.4 исследованы низкочастотные нелинейные и параметрические акустические процессы при вибровоздействии на внутреннюю поверхность реагирующей ткани предплечья человека одного или двух вибраторов с разными частотами. Метод аналогичен разд. 4.2, 4.3. Акселерометром измерялась и контролировалась собственная активная акустовибрация (эмиссия) от напряженных мышечных слоев (разд. 3.6). В случае воздействия на поверхность двух вибраторов на базе 8асм с различными частотами, в частности, f1=61 Гц и f2=133 Гц нелинейные акустические эффекты проявлялись в существовании суммарной f1+f2=194 Гц, разностной f2 - f1=72аГц и других комбинационных и кратных частот ускорения Аg. В низкочастотной области спектра до 50 Гц существует мышечный тремор (ft=9-12аГц) и собственно Узвуки мышцФ Остера-Гримальди (fm=21-25 Гц).

На определенных частотах, в частности, f0=124 Гц и при достаточно больших уровнях воздействия на поверхность ткани на расстоянии x=40 мм от места возбуждения были зарегистрированы субгармоники ускорения As: f0/2, 3f0/2, 5f0/2 и др. (рис. 4.4-1), причем уровень субгармоники f0/2 мог быть достаточно высоким - ниже уровня возбуждения на выбранной частоте f0 на 13-15адБ. на штампе возникают субгармоники силы F. Причиной этого явления может быть нервно-мышечный виброрефлекс. возникновение субгармоник носит пороговый характер и может быть ограничено во времени, как проявление активных свойств мышечных слоев ткани.

Рис. 4.4-1. Спектр ускорения при возбуждении с амплитудой 48,5g, As - в дБ от 1 В, f - в Гц

В 4.5 изучено неоднородное распределение эритроцитов в слое суспензии в вибрационном поле. Впервые о феномене образования виброструктур (ВС) эритроцитов было доложено В. А. Левтовым с соавторами на всесоюзном семинаре "Биомеханика-90". Регистрация изменений структуры вибрационного группирования производилась микрофотографическим способом. Для этого суспензия помещалась в специальную микрокювету, расположенную горизонтально, которая представляла собой плоскопараллельную герметизируемую камеру с рабочим объемом 0,005 мл. Одна из стенок кюветы способна совершать механические колебания и жестко соединена с пьезопреобразователем, возбуждаемым генератором на резонасной частоте 13акГц с амплитудой 0,2амкм. Вибровоздействие в ряде случаев осуществлялось помещением кюветы на вибростенд. Для обработки первичных данных изображения структур с негативных фотопленок вводились в покадровом режиме в специализированную ЭВМ через телевизионный канал ввода данных. Изображения фрагментов подвергались двумерному Фурье преобразованию с достаточной разрешающей способностью, а также цифровому контрастированию. исследовались суспензии эритроцитов крови различных животных, имеющих размеры эритроцитов от 5 до 20амкм, а также молоко, жировые шарики которого существенно различаются по размерам (от 2 до 100 мкм). Изучалась взаимосвязь процессов образования ВС и обратимой агрегации эритроцитов (ОАЭ), имеющих различную интенсивность агрегации, а также, когда ОАЭ специально подавлялась.

При наложении на микрокювету вибрации с фиксированной частотой (или шумовой) при химическом выключении агрегации или при использовании крови со слабой агрегацией и в случае малых показателей гематокрита H обнаружены ВС двух видов: группировки шириной 0,1-0,5 мм ("барханы") с явственно выраженной квазипериодичностью, позволяющей выделить их характерный масштаб, и стабильные зоны ("дюны") шириной около 3 мм, включающие в себя "барханы". Появлению "барханов" обычно предшествует формирование коротких цепочек, лежащих рядом эритроцитов. Существует пороговое значение амплитуды вибрации, ниже которой ВС не возникают. Скорость формирования ВС зависит от амплитуды вибрации: чем больше амплитуда, тем выше скорость. По мере продолжения вибровоздействия группировки эритроцитов укрупняются, что отражается на спектрах Фурье - их пространственная частота уменьшается. При выключении вибрации характерное время распада ВС типа "барханы" - десятки секунд, типа "дюны" - десятки минут. Для изучения зависимости вида ВС от концентрации (Н) исследовались суспензии с объемным содержанием клеток 0,1; 1; 10; 20 и 40а%. При повышении Н и агрегируемости появляются фрагменты с нарушениями упорядоченности, появляются "дефекты". При дальнейшем увеличении Н их количество нарастает и образуются многомасштабные структуры с самоподобием - "пятна".

В главе 5 предложены и исследованы модельные представления активных процессов в мышечных тканях, клетках, на микроуровне.

В 5.1 рассматривается механика биологических сред. При помощи теории сплошных сред построена математическая механохимическая модель мышечной ткани, учитывающая ее сжимаемость, нелинейные (конечные) деформации, жидкость. модели биотканей предложены в работах Никитина Л., 1971; Усика, 1973; Регирера, 1980; Никитина Н., 1980; Цатуряна, 1982; Регирера, Цатуряна, 1983; Кондаурова, Никитина Л., 1987.

мышечная ткань представляется в виде двухфазной пороупругой многокомпонентной сплошной среды, насыщенной биожидкостью. Под пассивной жидкой фазой f подразумевается кровь, свободная тканевая жидкость, под активной фазой m - собственно сократительный аппарат, миофибриллы, твердый белковый скелет, соединительнотканные структуры. Объемные содержания фаз равны φf и φm (φf+φm=1). Напряжение в среде постулируется как сумма напряжений в фазах: σij=φmσmij+φfσfij.

Введем ρmo, ρfo - истинные плотности; ρm , ρf - приведенные плотности, причем ρm=ρmoφm, ρf=ρfoφf . Величины ρmo, ρfo ≠const, ρmo≠ρfo, причем внутренние энергии фаз Um , Uf могут зависеть соответственно от ρmo, ρfo. Предполагается, что каждая фаза состоит из n компонент с концентрациями Cαm , Cαf ; в твердой фазе m происходят r химических реакций. фаза f - питательная среда, через нее происходит обмен веществом с фазой m. скорости фаз равны: , температуры T одинаковы. Твердая фаза вязкоупруга, причем - вязкая деформация, - упругая, - полная (∧ - обозначает лагранжеву сопутствующую систему координат). Используя неравновесную термодинамику и необходимые законы сохранения, получим балансовое уравнение энтропии среды s (sm, sf - энтропии фаз):

где ρ=ρm+ρf - плотность среды, а поток энтропии выражается как

где - вектор потока тепла, Qαe - внешние источники вещества.

Выражение для диссипативной функции энтропии R получаем в виде

где σm^kl=ρm∂Um/∂η^kl - напряжение в твердой фазе; pm=(ρmo)2∂Um/∂ρmo, pf=(ρfo)2∂Uf/∂ρfo - давления в фазах; μαm=∂Um/∂Cαm , μαf=∂Uf/∂Cαf - химические потенциалы; Iχ - скорость χ-й химической реакции, Aχ - ее сродство; Qαfm - интенсивность перетока α компоненты из m в f, .

реология фаз (связь напряжения и деформации), вообще, нелинейна. существует нелинейная связь компонент тензора деформаций и перемещений, физическая нелинейность, нелинейная зависимость активных напряжений от деформаций и напряжений. Твердую фазу считаем анизотропной, жидкость - изотропной. Активация мышцы приводит к изменению ее структуры и вязкоупругих параметров. В частности, из R следует механохимический реологический закон (связь между напряжениями и деформациями как термодинамическими потоками и силами с учетом перекрестных эффектов)

, ,

где N ^ij - определяется сродствами химических реакций, L^ijkl - феноменологические вязкие коэффициенты. У мышц помимо вязкоупругих напряжений существуют активные Nij: развиваемые в результате биохимических реакций NGij плюс NEij за счет упругих деформаций образовавшихся микросвязейЦмостиков. При этом , активное напряжение γ2, развиваемое вдоль волокон, с учетом постоянства числа волокон при деформировании равно , l3 - величина перекрытия взаимодействующих активных центров, I3 - 3-й инвариант εij . Компоненты анизотропного тензора b^ij в лагранжевой системе координат вморожены в среду (не меняются при ее деформировании), g^ij Цметрического тензора, γ1 - активное давление, Nij учитывает наличие активных напряжений в отсутствие деформаций, колоколообразную финитную зависимость от перекрытия белковых нитей, кинетику мостиков.

В 5.2 предложен теоретический подход к описанию нервно-мышечных автоволновых взаимодействий в ткани. мышечная ткань пронизана разветвленной сетью нервных волокон. В ней могут распространяться и взаимодействовать между собой волны акустомеханической и электрической (потенциал действия, ионные концентрации) природы с близкими по величине скоростями 1-100ам/с. существуют определенные факты, показывающие взаимодействие этих волновых процессов (мышечная дрожь, судороги, перенапряжения). Сокращение мышцы можно вызвать механическим воздействием (см. пред. разд. 3.5), акустическим облучением.

мышцу считаем одномерной однородной средой. связь между продольной деформацией ε и напряжением σ имеет вид: σ=Еε+N(ε,φ), N(ε,φ)=γ(φ)⋅F(ε), где Е - модуль упругости Юнга, φ - потенциал возбуждения, γ=γ(φ)=γ0φ - активация (функция возбуждения), F(ε) - структурная финитная колоколообразная функция перекрытия активных элементов (зона взаимодействия белков). Не только возбуждение φ влияет на деформацию ε мышцы, существует и обратное влияние - деформация мышцы меняет ее электрические свойства. волновое уравнение, описывающее распространение деформации ε в мышце во времени t и в пространстве x, имеет вид:

где - скорость пассивной упругой волны, ρ - плотность мышцы.

Распространение локального возбуждения φ по мышце описывается уравнениями автоволнового типа

, .

Здесь φ - быстрая, а n - медленная переменные (n - проводимость мембраны для ионов калия). диффузия D(ε)>0 определяется электрическими параметрами. При этом нелинейная немонотонная функция f определяет ионный ток, а g - монотонная функция, скорость изменения проводимости.

инеаризуем систему уравнений вблизи стационарного состояния при малых отклонениях. Она будет описывать линейное взаимодействие волн. Решение ищем в виде гармонических волн (ω и k - частота и волновое число). Получим дисперсионное биквадратное уравнение в виде:

, ,

где , , , , , , , μ - параметр взаимовлияния волн. при отсутствии взаимосвязи (А=α=r=0) система распадается на две независимые части: , (рис. 5.2-1, слева). Для волны возбуждения характерна дисперсия и затухание, а для волны деформации - нет. учтем взаимное влияние возбуждения и деформации (А≠0, α≠0, r≠0). При любой связи μ следуют аналитические выражения для различных ветвей k(ω). На рис. 5.2-1 (справа) представлены безразмерные дисперсионные характеристики взаимодействующих, связанных волн возбуждения и деформации (, ). Кривые построены при безразмерных величинах , , , , .

Рис. 5.2-1. Дисперсионные кривые электромеханических волн в мышечной ткани

Фазовые скорости несвязанных электрической и механической волн равны при частоте ω=ω* электромеханического резонанса (рис. 5.2-1). При наличии связи дисперсионные кривые искажаются вблизи ω*; реальные дисперсионные характеристики становятся непересекающимися, а увеличение связи μ приводит к их постепенному расхождению. при изменении параметров задачи эффект их расхождения сохраняется, а мнимые кривые могут касаться друг друга или их пересечение может быть однократным. В низкочастотной области наличие связи приводит к уменьшению фазовой скорости активной волны, что соответствует наблюдениям (разд. 3.5).

В 5.3 представлено математическое моделирование автоволновой активности мышечной клетки. В различных клетках (например, кардиомиоците) могут происходить спонтанные без внешней стимуляции медленные волнообразные микросокращения в виде одной (нескольких) бегущей уединенной волны со скоростью Vв=30-300 мкм/с или в виде сложных распределенных колебаний формы, проявляющихся в изменении концентрации ионов кальция внутри клетки. Для сердечной клетки длина равна 100-150 мкм, поперечный размер - 10-30 мкм, ширина механической волны составляет 10-20 мкм, степень укорочения - 10-15 %, частота повторения сокращений - 0,1-20 Гц. наблюдения и теоретический подход для данного явления изложены в статьях Регирера, Цатуряна, Чёрной и др., 1986, 1992.

Построение адекватной модели проведем на основе автоволновой природы изменения концентрации ионов кальция внутри клетки и на учете ее внутренней структуры. При этом основным механизмом является кальций индуцированное освобождение кальция из дискретно распределенных в пространстве протяженных источников (специальных депо, являющихся источниками свободных ионов кальция внутри клетки). Этот механизм моделируем нелинейной немонотонной N-образной кривой. Сокращение участка клетки происходит за счет активации миофибрилл ионами кальция. На баланс свободных ионов кальция в миофибриллярном пространстве влияют ионы кальция, находящиеся в депо, а также другие ионы, например ионы калия и натрия. Регуляция концентрации кальция внутри клетки осуществляется с помощью механизмов обмена, ионных насосов, каналов через клеточную мембрану и мембрану депо. Уравнения баланса, описывающие изменение концентрации С свободных ионов кальция в клетке и изменение характерного параметра N (проницаемость мембраны депо для всасывания ионов кальция), справедливы в безразмерном виде:

; .

нелинейная немонотонная функция R2=R2(C) задает механизм кальций индуцированного освобождения кальция из депо, а является нагрузочной функцией. Функция описывает отсос ионов кальция обратно в депо. Функция определяет распределение протяженных источников ионов кальция с периодом λ (активные зоны). до стимуляции концентрация кальция внутри клетки составляет 10-7амоль/л, а через 20 мс после стимуляции достигает 10-5 моль/л. Различные режимы автоволнового распространения концентрации ионов кальция представлены графически в яркостном виде. В непрерывной модельной системе решение получено аналитически.

а		б
в		г		д

Рис. 5.3-1. динамика внутриклеточного кальция (численный расчет на плоскости x, t)

Автоколебательное распространение волны. Имеются два характерных режима: волновой (распространяющиеся импульсы концентрации C кальция) и квазихаотический (сложные распределенные автоколебания типа биений). Различные режимы поведения системы уравнений реализуются в зависимости от уровня отсоса кальция l. Безразмерные кинетические параметры равнялись D=0.25, ν=0.001, q=0.5, C0=4. Функция R2(C) представлена кусочно линейно: R2=6 при 0<С<4, R2=0.1⋅(C-10) при 4≤С≤60, R2=0 при С>60. Система (активные области) находится в автоколебательном состоянии (T3=-5, γ4=0.5). Пространственный период расположения источников λ=25. Варьируемый параметр отсоса l= 0; 0.03; 0.09; 0.1; 0.2 (рис. 5.3-1а, б, в, г, д). При волновом режиме вначале система возбуждается одновременно во всех своих активных участках как целое, затем, начиная с концов мышечной клетки, возникает импульсный режим распространения концентрации ионов кальция: квазинепрерывный l=0 или дискретный l=0.03 (рис. 5.3-1а, б). Может возникать циклический двухимпульсный режим с их рождением, распространением, слиянием и исчезновением. при разных условиях на концах начальное возбуждение может постепенно переходить в регулярное дискретное распространение одного импульса. При увеличении уровня отсоса l происходит постепенная расфазировка (разбаланс, режим "эхо") колебаний соседних активных зон (рис. 5.3-1в, г, д), первоначально синфазных распределенных колебаний. Регулярные волновые режимы переходят в нерегулярные. При l=0.09 - квазихаотическое поведение, l=0.1 - кластерный режим, l=0.2 - биения. На фоне нерегулярной динамики можно выделить фрагменты пространства и времени с регулярным локализованным распространением импульса. при определенных условиях наблюдался сильный разбаланс соседних элементов с последующим выходом на режим, когда порядок возбуждения элементов соответствовал шахматному.

Ждущее распространение волны. Проведены численные расчеты распространения локализованной волны концентрации кальция, возбуждаемой с одного конца (x=0) разовым спонтанным импульсным увеличением концентрации С(x=0)=30-60 в системе уравнений, причем отсос R1=-γ1T1 при T1=2. Другие параметры D, ν, q, а также нелинейная функция теже. период расположения источников возбуждения λ=10. Параметры выбраны такими, что в активной области 1-T(x) реализован ждущий режим. Численные расчеты проведены при Т3=-3, γ4=0.5 и различных, постепенно увеличивающихся, уровнях поглощения γ1= 0; 0,1; 0,105; 0,106; 0,107; 0,11. в плоскости x, t представлены последовательные по γ1 фрагменты решений: от непрерывного (λ=∞, γ1=0) до декрементного распространения волны концентрации ионов кальция. с увеличением γ1 эффективная скорость волны падает, причем скорость распространения внутри активного участка ниже, чем вне его, происходят быстрые перескоки между активными участками.

Представленное нестационарное волнообразное поведение концентрации ионов кальция в миоплазме мышечной клетки может вызывать механический ответ - волну ее сокращения и изменения ее формы, причем сглаженное из-за латентности и релаксационности.

В 5.4 развиты теоретические представления о микроавтоволновых процессах в активных реагирующих биотканях, основанные на механохимических свойствах ткани, белках-осцилляторах, развивающих активное напряжение, когда их движение регулируется возникающим в вязкоупругой среде напряжением. функциональная работа мышечных структур (сокращение и развитие активного напряжения) сопровождается генерацией виброакустических колебаний. Низкочастотные колебания на фоне развития напряжения после рывков наблюдались с помощью высокочувствительных датчиков. Используем общепринятые биофизические представления о микро- и макроструктуре мышцы. Поведение мостиков описываем моделью осциллятора. Учет континуальности позволяет получить автоволновую модель ткани как активной сплошной среды, включающей белки-осцилляторы, развивающие напряжение и взаимодействующие со средой

, ,

, .

здесь ρ - плотность среды, L - ее вязкость; w - смещение, σ - полное напряжение; λ, μ - упругие коэффициенты Ламе, N(е) - активное напряжение (его линейная переменная часть ), е - активная внутренняя деформация, Δ - внутреннее смещение мостикового осциллятора, ω0 - его собственная частота, δ - его затухание; χ - коэффициент взаимодействия осциллятора и среды. В линейном случае система уравнений имеет вид

где , . Если Γ=0, то среда и мостики будут совершать затухающие колебания. Пусть Γ≠0, подставляя Δ~exp[i(ωt-kx)], получим дисперсионное уравнение 4-й степени:

S4 + (d + nq2)S3 + (1 + q2 + ndq2 + igq)S2 + (d + n)q2S + q2 = 0 ,

где безразмерные функции имеют вид: - частота, - волновое число; а безразмерные параметры равны: - вязкость осциллятора, - вязкость среды, - активная связь.

Численное решение алгебраического уравнения S=S(q), причем S=ReS+i⋅ImS, представлено при d=1, n=0.1, g=1 (при d=0, n=0, g=0 имеем асимптотические прямые). Существенно наличие характерного длинноволнового инкремента неустойчивости (ReS>0) как следствие автоволновой природы явления. Максимальное значение для кривых ReS(q) равно: ReS*≅0.25 при q*=2π/x*≅1.6, причем ImS*≅-2. Пространственному масштабу с наибольшим инкрементом соответствует частота, которая может характеризовать колебательные эффекты, сопровождающие сокращение мышцы.

Основные результаты

1. исследовано влияние потока крови на неустойчивость пассивного крупного сосуда с учетом нелинейности и продольного натяжения стенки, неосесимметричных деформаций. Показана возможность расширения области неустойчивости при определенном соотношении вязких параметров модели. По оценкам для вен критический кровоток, выше которого возникает неустойчивость, может достигаться в обычных условиях, а для артерий - при патологии. получены характерные решения системы уравнений: локальные расширение, сужение, изгиб и нелокальное гофрированное изменения формы сосуда, а также режимы флаттера и квазистатической волновой дивергенции.

2. Исследована нелинейная модель распределения кровотока или лимфотока в малом активном схлопывающимся сосуде, описывающая перепадную автоволну его просвета с учетом гравитации. найдены аналитические выражения для скорости распространения сжатия (расширения) радиуса сосуда и его формы, оценки которых близки измеряемым в экспериментах, причем соответствующие изменения давления малы, отраженной волны не возникает в отличие от миогенно активного сосуда. Получены насосные эффекты перистальтического транспорта биожидкости с существенной прокачкой для вен и лимфососудов.

3. аналитически найдены решения нелинейных уравнений, моделирующих течение крови в механогенно активном микрососуде, и нелинейная автоподкачка. Получено выражение для частоты распределенных автоколебаний, независимое от общих граничных условий. При увеличении бифуркационного параметра от границы неустойчивости решение выходит на режим квазистационарных автоволн локального изменения радиуса и расхода, но перепадного давления.

4. В приближении двухфазной среды (кровь и нелинейно активный упругий каркас) построена континуальная модель пространственно неоднородного распределения крови в ткани, включая механизмы гладкомышечной регуляции. С учетом фильтрации получено нелинейное уравнение относительно объемного содержания крови (пористости) и найдены интегралы сохранения. аналитически и численно выявлено существование диссипативных автоструктур самоорганизации кровоснабжения (сложные пятна на ткани) и описана динамика процесса эволюции начальных возмущений.

5. Исследованы дисперсионные характеристики низкочастотных упругих волн на поверхности биоткани, распределения колебаний вдоль поверхности и под ней. Показано, что волны существуют в ближней зоне и сильно затухают на нескольких длинах. Осуществлена визуализация волн. численным расчетом показано, что продольные и поперечные смещения (амплитуды и фазы) ближнего волнового поля от поверхностного силового виброисточника и их пространственные распределения существенно зависят от толщины мягкого слоя двухслойной среды. Показано, что для нормальных смещений имеется характерный пик в точке возбуждения и немонотонное падение при удалении вдоль поверхности и в глубину, на амплитудно-частотной кривой имеется резонанс. Амплитуда касательных смещений значительно меньше и имеет более сложное распределение.

6. Изучено распространение механического импульса по биоткани в ее различных состояниях, возбужденного ударом по ее поверхности. Показан низкочастотный характер удара и импульса в виде квазигармонической затухающей волны. активное напряжение мышцы вызывало существенное увеличение скорости импульса. Показано, что при ударном воздействии на нервно-мышечную ткань могут возникать две волны: обычная пассивная и существенно более медленная длинная активная псевдоволна возбуждения и сокращения нейрогенной природы.

7. Выведено нелинейное волновое уравнение для биоткани с учетом ее структуры, анизотропии, активности, жидкой фазы. Получено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра биоткани. Показано, что нелинейный параметр растет с увеличением объемного содержания твердой фазы, а активность может его уменьшить.

8. Изучены нелинейные эффекты (уровни гармоник силы и ускорения) на биоткани. Получены более высокие уровни второй и третьей гармоник ускорения поверхности по сравнению с виброисточником в зависимости от расстояния до него по различным направлениям, а также от частоты. Показано наличие анизотропии нелинейных и вязких свойств. Найдено, что изменение состояния ткани сопровождается изменением уровней гармоник и субгармоник при вибровоздействии. наибольшая нелинейность связана с расслабленной тканью. При напряжении уровень гармоник падает, реагирующая ткань "автолинеаризуется". Состояние избыточной кровонаполненности (отек) - промежуточное.

9. исследовано взаимодействие электрической волны возбуждения мышцы и волны ее деформации, параметры которых изменяются при наличии связи. Получены дисперсионные характеристики электро-механических волн, причем на низких частотах фазовая скорость распространения активной волны уменьшается.

10. Предложена нелинейная математическая модель с протяженными дискретными источниками, описывающая спонтанные распределенные изменения концентрации ионов кальция внутри мышечной клетки (ее микросокращения). Аналитически и численно получены характерные режимы автоволновой активности: простой импульсный и сложный с постепенной расфазировкой колебаний отдельных участков клетки.

Список основных публикаций по теме работы

1. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Нелинейные режимы изменения формы упругой трубки с потоком жидкости в ней // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2000. №а4. с. 46-55.

2. Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. Волновые движения жидкости в активной вязкоупругой трубке вблизи границы неустойчивости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 3. с. 17-24.

3. Клочков Б. Н., Рейман А. М., Степанянц Ю. А. Нестационарные течения жидкости в трубках из вязкоупругого активного материала // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. № 3. с. 94-102.

4. Клочков Б. Н. Упругие волны в материале с механо-химическими реакциями // Прикладная математика и механика. 1986. т. 50, в. 3. с.а451-460.

5. Клочков Б. Н. Нелинейный акустический параметр активной биологической ткани // Акустический журнал. 1994. т. 40, № 3. с. 450-451.

6. Клочков Б. Н. Нелинейные виброакустические процессы на поверхности биоткани // Акустический журнал. 2000. т. 46, № 5. с. 707-709.

7. Клочков Б. Н. Ближнее поле силового низкочастотного источника на слоистой биоткани // Акустический журнал. 2002. т. 48, № 1. с. 70-76.

8. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Волны в поверхностном слое мягкой биоткани на полупространстве из твердой биоткани // Акустический журнал. 1994. т. 40, № 2. с. 270-274.

9. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Характеристики упругого ближнего поля вибрационного источника на границе неоднородного полупространства // Акустический журнал. 1995. т. 41, № 3. с. 512-514.

10. Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Нелинейные эффекты при колебании штампа на поверхности мягкой ткани // Акустический журнал. 1994. т. 40, №а6. с. 953-956.

11. Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. Нелинейная модель сосудистого тонуса // Механика композитных материалов. 1982. № 5. с. 887-894.

12. Клочков Б. Н. Анализ акустических свойств мышечной ткани // Механика композитных материалов. 1985. № 1. с. 132-137.

13. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Активные волновые процессы в схлопывающихся сосудах и эффекты транспорта // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2000. т. 43, №а9. с. 793-800.

14. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Шуваева В. Н. и др. Неоднородное распределение эритроцитов в слое суспензии при действии вибрации // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. т. 38, № 3-4. с. 349-356.

15. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Ковалева Э. П. Вибро-акустические процессы и структурные перестройки в мышечной ткани // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. т. 38, № 3-4. с. 357-367.

16. Казаков В. В., Клочков Б. Н. О низкочастотных механических свойствах мягкой ткани руки человека // Биофизика. 1989. т. 34, в. 4. с. 688-692.

17. Антонец В.А, Клочков Б.Н. Механохимическая сократительная система как термодинамическая машина // Биофизика 1977. т.22, в.1. с.70-74

18. Клочков Б. Н. Математическое моделирование активных волновых процессов в ткани // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1997. Т. 17. с. 81-93.

19. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Акустические эффекты на поверхности ткани // Российский журнал биомеханики. 1999. № 2. с. 63-64.

20. Парашин В. Б., Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. и др. Биомеханика ударной травмы легких // Механика легких, дыхания и речеобразования / Современные проблемы биомеханики. М.: Наука, 1991. вып.8. с. 3-11.

21. Левтов В. А., Тухватулин Р. Т., Клочков Б. Н. и др. Неоднородное распределение эритроцитов в суспензии, помещенной в вибрационное поле // Реология крови и микроциркуляция / Современные проблемы биомеханики. М.: Научн. совет РАН по пробл. биомех., 1994. вып. 9. с.а71-84.

22. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Энергозатраты сердечной мышцы // Структурные основы и регуляция биологической подвижности. М.: Наука, 1980. с. 309-313.

23. Паршиков В. В., Киреева Н. Б., Клочков Б. Н. способ прогнозирования рецидива пузырно-мочеточникового рефлюкса у детей. Патент на изобретение № 2244508. зарегистрировано в Гос. реестре 20 января 2005.

24. Klochkov B. N., Pelinovsky E. N. Nonlinear models of blood flow in tissues // Lecture notes ICB seminars. Biomech. Warsaw. 1992. V.15. p.70-81.

25. Antonets V. A., Klochkov B. N., Kovaleva E. P. Mechanisms of vibrational and acoustical activity of muscular tissue // Lecture notes of the ICB seminars. Biomechanics. Man Under Vibration. Warsaw, 1997. v.29. p.152-161.

26. Клочков Б. Н. Автоволновые процессы в кровеносных сосудах мышечного типа // Автоволновые процессы в системах с диффузией / ИПФ АН СССР. Горький, 1981. с. 233-242.

27. Казаков В. В., Клочков Б. Н. Волны активности на мышце человека // Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях / ИПФ АН СССР. Горький, 1988. с. 52-55.

28. Клочков Б. Н. О моделях течения жидкости в микрососудах // Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях / ИПФ АН СССР. Горький, 1988. с. 156-164.

29. Казаков В. В., Клочков Б. Н., Чичагов П. К. Исследование дисперсионных характеристик волны на поверхности тела человека // Методы вибрационной диагностики реологических характеристик мягких материалов и биологических тканей / ИПФ АН СССР. Горький, 1989. с.а35-54.

30. Клочков Б. Н., Пелиновский Е. Н. Модели неоднородного распределения кровотока в ткани // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно-сосудистой системе. Теоретические аспекты и практическое значение / ИПФ РАН. Н.аНовгород, 1992. с. 33-42.

31. Клочков Б. Н., Кузнецов С. О., Толков В. Н. Математическое моделирование ритма волновой активности кардиомиоцита // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно-сосудистой системе. Теоретич. аспекты и практич. значение / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. с. 43-57.

32. Вазина А. А., Сергиенко П. М., Клочков Б. Н. и др. Структурная перестройка белков сокращающейся мышцы как источник акустических колебаний // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно-сосудистой системе / ИПФ РАН. Н.аНовгород, 1992. с. 58-65.

33. Клочков Б. Н., Яхно В. Г. Математическое описание спонтанных волновых сокращений мышечной клетки: Препринт ИПФ АН СССР № 137. Горький, 1986. 26 с.

34. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Неосесимметричные нелинейные колебания вязкоупругого тонкостенного сосуда под действием потока жидкости: Препринт ИПФ РАН № 484. Н. Новгород, 1999. 24 с.

35. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Акустическое ближнее поле силового вибрационного источника на поверхности слоистой ткани: Препринт ИПФ РАН №а445. Н.аНовгород, 1997. 27 с.

36. Клочков Б. Н., Рейман А. М. Самоорганизационные процессы кровоснабжения в биологических тканях // Нелинейные волны. Синхронизация и структуры. Н.аНовгород: Изд-во ННГУ, 1995. ч. 2. с. 111-118.

37. Klochkov B. N., Pelinovsky E. N., Reyman A. M. Mathematical nonlinear model of inhomogeneous distribution blood flow in tissue // Proceedings of XV Congress of the Internat. Society of Biomechanics. Finland, 1995. p.а486-487.

38. Казаков В. В., Клочков Б. Н. Нелинейные акустические свойства мягких биологических тканей в звуковом диапазоне частот // Проблемы нелинейной акустики / СО АН СССР. Новосибирск, 1987. часть II. c. 29-31.

39. Кузнецова Е. А., Клочков Б. Н. Нелинейные изгибные эффекты в сосуде с кровотоком // труды VIII сессии Российского акустического общества. Н.аНовгород: Изд-во общ-ва УИнтелсервисФ, 1998. с. 23-26.

40. Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Нелинейные виброакустические эффекты на поверхности биологической ткани // Нелинейная акустика твердого тела / труды VIII сессии Российского акустического общества. Н.аНовгород: Изд-во общ-ва УИнтелсервисФ, 1998. с.а273-276.

41. Клочков Б. Н. Упругое ближнее поле от силового низкочастотного источника на слоистой биологической ткани // Труды XI сессии Российского акустического общества. М.: ГЕОС, 2001. т. 3. с. 149-153.

42. Клочков Б. Н. Дисперсионные характеристики акусто-электрических и поверхностных упругих волн в биологических тканях // Труды XIX сессии Российского акустического общества. М.: ГЕОС, 2007. т. 3. с. 152-155.

43. Клочков Б. Н. Акустические поверхностные волны на биологической ткани // Труды 3-й научной конференции по радиофизике. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. с. 234-235.

44. Борисов В. И., Клочков Б. Н., Шидловский А. С. и др. О моделировании формы пульсовой волны и периферического сопротивления с учетом гравитационных воздействий // Труды 3-й Всероссийской конференции по биомеханике. Н. Новгород: НЦИНТ, 1996. т. I. с.а86-87.

45. Паршиков В. В., Киреева Н. Б., Клочков Б. Н. Математическая модель пузырно-мочеточникового рефлюкса // Нижегородский медицинский журнал. 2004. № 1. с.а70-72.

46. Клочков Б. Н. Взаимодействие акустической и электрической волн в мышечной ткани // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 1. С. 143-146.

Оглавление работы

Введение

1. Волновые процессы в эластичных оболочках, заполненных вязкой жидкостью

1.1. Волновые процессы в крупных кровеносных сосудах. Эффекты кровотока

1.2. Автоволновые процессы в схлопывающихся кровеносных и лимфатических сосудах. Эффекты транспорта

1.3. Автоволновые процессы в мелких кровеносных сосудах. Эффекты подкачки

2. Самоорганизация кровоснабжения ткани

2.1. Континуальная модель кровозаполнения тканей

2.2. Динамические автоструктуры распределения крови в ткани

3. Линейные вязкоупругие волны на поверхности слоистых активных сред, насыщенных жидкостью

3.1. Численные расчеты ближнего акустического поля от силового виброисточника на поверхности биологической ткани

3.2. Акустика поверхностных волн на биотканях

3.3. Волны на поверхности биоткани, насыщенной воздухом

3.4. Распространение упругого импульса на поверхности биоткани

3.5. Активная псевдоволна на мышце

3.6. Собственные виброакустические процессы в мышечной ткани

4. Нелинейные объемные и поверхностные волны в жидконасыщенных пористых средах

4.1. Нелинейные объемные акустические свойства биологической ткани

4.2. Нелинейные эффекты на поверхности мягкой пассивной биоткани

4.3. Нелинейные эффекты на поверхности биоткани. Влияние состояния

4.4. параметрические эффекты при вибровоздействии на ткань

4.5. распределение эритроцитов в слое суспензии в вибрационном поле

5. Автоволновые процессы в активных системах с учетом механохимических реакций

5.1. Математическое описание нелинейных механохимических свойств биологических сред

5.2. Нервно-мышечные автоволновые взаимодействия в ткани

5.3. Математическое моделирование автоволновой активности мышечной клетки

5.4. Автоволновые взаимодействия в системе белков в мышце

Основные результаты

итература

Борис Николаевич Клочков

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В АКТИВНЫХ СРЕДАХ,

НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

А в т о р е ф е р а т

klochkov@appl.sci-nnov.ru

Подписано к печати

Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная № 1.

Усл. печ. л. 3. Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН,

603950 Нижний Новгород, ГСП-120, ул. Ульянова, 46

Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по физике

Blog

Основные результаты

Список основных публикаций по теме работы

Оглавление работы