Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
ДМИТРИЕВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ ВОЛНЫ СОЛИТОННОГО ТИПА В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ В ФИЗИКЕ КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния Барнаул - 2007
Работа выполнена в Алтайском государственном техническом университете, а также в двух университетах Японии: университете Электросвязи (г.
Токио) и Токийском государственном университете.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мулюков Р.Р.
доктор физико-математических наук, профессор Безносюк С.А.
доктор физико-математических наук, профессор Колупаева С.Н.
Ведущая организация: Томский государственный университет, Сибирский физико-технический институт, г. Томск
Защита состоится "___"_________ 2007 г. в _______ час. на заседании диссертационного совета Д212.004.04 при Алтайском государственном техническом университете по адресу: 656038, г. Барнаул, пр. Ленина, 46.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Алтайского государственного технического университета.
Автореферат разослан "______" _____________ 2007 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Романенко В.В.
Примечание: отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организаций, просим присылать в 2-х экз. на адрес университета.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Изучение соотношений между континуальными и дискретными системами является классической, давно рассматриваемой проблемой физики конденсированного состояния и прикладной математики, например, в задаче гомогенизации, то есть при построении континуального аналога для дискретной физической системы, а также в численных методах решения континуальных уравнений. В течение двух последних десятилетий интерес к дискретным задачам необычайно возрос в различных разделах физики, рассматривающих нелинейные системы [1-3].
Задачи подобного типа возникают в физике фазовых превращений, физике пластической деформации, в нелинейной оптике, в физике БозеЭйнштейновского конденсата, при исследовании волн кальция в живых клетках, сверхпроводящих Джозефсоновских контактов, и в целом ряде других областей. Дискретность матери на молекулярном и атомарном уровне становится все более заметной для нанотехнологий.
Среди объектов нелинейной физики одним из наиболее интересных и важных для практических применений являются волны солитонного типа (уединенные волны). Эти волны, как в континуальных, так и в дискретных физических системах, могут переносить энергию, импульс, массу, электрический и топологический заряд, другие физические величины, а также информацию. Уникальным свойством уединенных волн является их живучесть и устойчивость по отношению к возмущениям. Для теоретической физики солитоны представляют огромный интерес как точные решения некоторых нелинейных уравнений, среди которых особое положение занимают полностью интегрируемые уравнения, такие, как уравнение синусГордона, Кортевега-де-Фриза (КДФ), или нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). Интересно, что существует и ограниченное число полностью интегрируемых дискретных систем, например, цепочка Тоды, сводящаяся в континуальном пределе к уравнению КДФ, а также интегрируемая дискретизация НУШ, цепочка Абловица-Ладика.
Однако, известные точно решаемые нелинейные уравнения, как правило, описывают грубо идеализированные модели, в то время как более точные модели включают дополнительные (возмущающие) члены, разрушающие интегрируемость. Изучение влияния возмущающих членов представляется важной задачей.
С другой стороны, очень важным является отыскание новых интегрируемых уравнений, что открывает новые перспективы в исследовании нелинейных систем.
В настоящей работе:
- для некоторых весьма популярных нелинейных уравнений строятся дискретные аналоги, обладающие рядом замечательных свойств, таких, как полная интегрируемость соответствующей статической (стационарной) задачи, а также сохранение трансляционной инвариантности (ТИ), то есть отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро;
- исследуется взаимодействие волн солитонного типа в интегрируемых уравнениях, возмущенных слабой дискретностью;
- предлагается и исследуется дискретная модель с частицами конечных размеров, которая позволяет описывать, например, несоразмерную фазу в некоторых кристаллах диэлектриков;
- решается несколько прикладных задач, среди которых: дислокации несоответствия на границе металл/керамика; зарождение дислокаций в двумерном (2D) бездефектном кристаллите при его наноиндентировании;
зарождение дислокаций на открытой поверхности 2D бездефектного кристалла, подверженного растяжению или сжатию; статика и динамика топологических солитонов в кристаллах с частицами конечных размеров, и другие.
Решение этих задач представляется весьма актуальным для физики конденсированного состояния в свете вышесказанного.
Цель работы. Диссертация посвящена построению и анализу свойств нелинейных дискретных моделей различных размерностей. Акцент делается на поведении топологических солитонов в дискретных системах, описании их структуры, энергетики, подвижности, взаимодействия и других характеристик. В качестве приложений рассматриваются модели дислокаций и доменных стенок в кристаллах, дислокаций несоответствия на межфазной границе, несоразмерные фазы, а также другие модели, изучаемые в физике конденсированного состояния.
Научная новизна.
1. Построен широкий класс одномерных нелинейных дискретных моделей, обладающих свойством трансляционной симметрии. Статические (стационарные) задачи для таких дискретных систем являются точно решаемыми. Трансляционная инвариантность означает, что равновесные решения могут располагаться произвольно относительно узлов решетки, что, в свою очередь, означает отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро. Метод построения ТИ дискретных моделей основан на использовании дискретизированного первого интеграла (ДПИ) исходного континуального уравнения, взятого в статической (стационарной) форме.
2. Для солитонов в системах близких к интегрируемым показана возможность безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при их столкновении. Физическая интерпретация данного эффекта состоит в обнаружении канала обмена энергиями/импульсами между сталкивающимися солитонами в системах близких к интегрируемым, где, как было принято считать, солитоны взаимодействуют практически упруго. На основе данного эффекта нам удалось объяснить фрактальные структуры, наблюдаемые при рассеянии солитонов друг на друге, а также существование короткоживущих многосолитонных квазичастиц.
3. Получены новые результаты по статике и динамике топологических солитонов в 1D и 2D моделях кристаллов, а также в реальных материалах.
Практическая и научная ценность работы.
1. Предложен достаточно общий метод дискретизации таких классических уравнений теоретической физики как уравнение Клейн-Гордона и НУШ, сохраняющий трансляционную инвариантность, присущую исходным континуальным уравнениям. Построенные модели в статическом (стационарном) варианте являются интегрируемыми. Отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро в этих дискретных моделях приводит к высокой подвижности топологических солитонов, что означает повышенные транспортные свойства таких моделей. Доказательство существования весьма широкого класса дискретных одномерных моделей без потенциала Пайерлса-Набарро позволяет сформулировать новые задачи, например, поиск аналогичных моделей в задачах более высокой размерности. Следует отметить, что совсем недавно была описана дискретная физическая модель без потенциала Пайерлса-Набарро [4], и есть все основания полагать, что в будущем подобные модели будут находить все новые применения.
2. Открытие нетривиального канала безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при столкновении солитонов в системах близким к интегрируемым показывает, что волны солитонного типа не всегда сохраняют свои свойства при взаимодействии друг с другом, а также свидетельствует о необходимости вероятностного подхода к описанию результатов взаимодействия волн солитонного типа. Степень неупругости столкновения растет линейно с ростом параметра возмущения интегрируемого уравнения. Для сравнения, потери на радиацию и на возбуждение колебательных мод, локализованных на солитонах, растут квадратично с ростом параметра возмущения, а это значит, что при малых значениях этого параметра, предложенный механизм безрадиационного обмена энергией/импульсом является доминирующим.
3. К практически важным результатам работы относятся также результаты численного моделирования зарождения, свойств и динамики топологических солитонов в приложении к: описанию несоразмерной фазы в кварце и других кристаллов с микроскопическими частицами конечных размеров, поведению дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, возникновению дислокаций в объеме бездефектного зерна при его наноиндентировании, и ряду других прикладных задач.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Разработан метод построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, обладающих трансляционной симметрией и свободных от потенциала Пайерлса-Набарро.
2. Указан метод нахождения всех точных статических (стационарных) решений для ТИ дискретных уравнений.
3. Объяснен механизм безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами между солитонами, взаимодействующими в системах, близких к интегрируемым.
4. Предложена модель кристалла с частицами конечных размеров и изучены особенности топологических солитонов в этой модели с целью описания несоразмерной фазы в некоторых кристаллах диэлектриков.
5. Решен ряд прикладных задач, например, показана нерегулярность сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир; исследовано зарождение дислокаций в объеме бездефектного 2D кристалла при его наноиндентировании, и на поверхности 2D кристалла, подверженного сжатию или растяжению; исследована несоразмерная фаза в кварце.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных форумах: Всесоюзная конференция УФизика прочности и пластичности металлов и сплавовФ, СПИ, Самара, 1992; Всесоюзная конференция УЭволюция дефектных структур в металлах и сплавахФ, АПИ, Барнаул, 1992; VI международный семинар УСтруктура дислокаций и механические свойства металлов и сплавовФ, Екатеринбург, 1993; XXIX межреспубликанский семинар УАктуальные проблемы прочностиФ, С.Петербург, С.-ПГТУ, 1993; УПрочность и пластичность материалов в условиях внешних энергетических воздействийФ, III Международная конференция, Новокузнецк, 1993; II семинар России и стран СНГ УСтруктурноморфологические основы модификации материалов методами нетрадиционных технологийФ, Обнинск, 1993; Всесоюзная конференция УЭволюция дефектных структур в металлах и сплавахФ Барнаул, 1994; Всесоюзная конференция УАктуальные проблемы прочностиФ Новгород, 1994; Международная конференция УМатематическое моделирование процессов обработки материаловФ, Пермь, 1994; XIV Международная конференция УФизика прочности и пластичности материаловФ, Самара, 1995; III Международная школа-семинар УЭволюция дефектных структур в конденсированных средахФ, Барнаул, 1996; 5 Всероссийская школа-семинар УВолновые явления в неоднородных средахФ, МГУ, Москва, 1996; Международная конференция УМикромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явленийФ, Тамбов, 1996; XXXII Межреспубликанский семинар УАктуальные проблемы прочностиФ памяти В.А. Лихачева, С.-Петербург, 1996;
Symposia of the Material Research Society of Japan, Tokyo, Japan, May 1996;
Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Meijo University, Tenpaku, March 1997; IV Межгосударственный семинар УСтруктурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологийФ, Обнинск, 1997; Sixth JapanЦCIS/Baltic Symposium on Ferroelectricity (JCBSFЦ6) Noda, Japan, March 1998; Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Toho University, MarchЦApril 1998; IV Международная школа-семинар УЭволюция дефектных структур в конденсированных средахФ, Барнаул, 1998; Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Hiroshima, March 1999; 9th European Meeting on Ferroelectricity, Czech Republic, Praha, July 1999; Fall Meeting of the Physical Society of Japan, Morioka, September 1999; 5th International Conference on Computational Physics, Japan, Kanazawa, October 1999; Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Osaka, March 2000; XVII International Conference on Raman Spectroscopy (ICORS 2000) Beijing, China, August 2000; 3rd Asian Meeting on Ferroelectrics, HongЦKong, China, December 2000; Материалы V международного научного симпозиума УСовременные проблемы прочности, пластичности и устойчивостиФ Тверь, декабрь 2000;
V Международная школа-семинар УЭволюция дефектных структур в конденсированных средахФ, Барнаул, 2000; 10th International Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter (PHONONS 2001), Dartmouth College, Hanover, USA, August 2001; 10th International Meeting on Ferroelectricity, Madrid, Spain, September 2001; International Workshop УNonlinear Lattice Structure and DynamicsФ, Dresden, Germany, September 2001; Fall Meeting of the Physical Society of Japan, Okinawa, September 2001; Spring Meeting of the Physical Society of Japan, BiwakoЦKusatsu, March 2002; 7th Russia/CIS/Baltic/Japan Symposium on Ferroelectricity (RCBJSFЦ7) St. Petersburg, Russia, June 2002; Second International Workshop УNucleation and NonЦlinear Problems in FirstЦOrder Phase TransitionsФ St. Petersburg, Russia, July 2002;
Fall Meeting of the Physical Society of Japan, Chubu University, September 2002; RIAM Symposium УRecent Topics on Nonlinear Waves and Nonlinear DynamicsФ No.14MEЦS7, Kyushu University, Japan, April 2003 (приглашенный доклад); IUTAM Symposium on Mesoscopic Dynamics in Fracture Process and Materials Strength, Osaka, Japan, July 2003 (приглашенный доклад);
16th Computational Mechanics Conference, Kobe, Japan, November 2003; 5th International Conference for Mesomechanics УMesomechanics of Computation and Design of UseЦSpecific MaterialsФ, Tokyo, Japan, August 2003; 28th Cocoa Beach Conference and Exposition on Advanced Ceramics and Composites, Florida, USA, January 2004; Workshop on Auxetics and Related Systems, Bedlewo, Poland, June 2004 (приглашенный доклад); Annual Meeting of the Japanese Society of Mechanical Engineering, Akita, Japan, July 2004; Mechanical Engineering Congress (MECJЦ04), Sapporo, Japan, September 2004; RIAM Symposium УMathematical Aspects and Applications of Nonlinear Wave PhenomenaФ, Kyushu University, Japan, October 2004 (приглашенный доклад); 17th Computational Mechanics Conference, Sendai, Japan, November 2004; 1st Asia - Oceania Ceramic Federation (AOCF) Conference and 18th Fall Meeting of the Ceramics Society of Japan, Osaka, September 2005; 5th Asian Meeting on Ferroelectrics, Noda, Japan, September 2006 (приглашенный доклад); XVII Петербургские чтения по проблемам прочности, Санкт-Петербург, апрель 2007.
Публикации. Результаты работы опубликованы в 99 статьях в центральных российских и зарубежных изданиях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 279 наименований. Работа изложена на 236 страницах машинописного текста, содержит 41 рисунок.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель диссертационной работы, описаны научная новизна, практическая ценность, основные защищаемые положения. Дается краткое содержание работы по главам.
В первой главе приведен обзор теоретических представлений о волнах солитонного типа в дискретных системах в сопоставлении с солитонными волнами в континуальных нелинейных уравнениях. Формулируется ряд открытых проблем теории. Кроме того, обсуждаются всевозможные физические модели, описываемые нелинейными дискретными уравнениями и широко используемые в физике конденсированных сред.
Вторая глава диссертации посвящена изложению оригинальной методики построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона, наследующих трансляционную инвариантность континуального уравнения и не имеющих потенциала Пайерлса-Набарро. Наш подход основан на использовании ДПИ статического континуального уравнения. Здесь же даются точные решения статической задачи для построенных дискретных моделей.
Опишем существо нашего метода. Континуальный Гамильтониан Клейн-Гордона, H = EK + EP, задается следующими функционалами кинетической и потенциальной энергий + EK = dx, (2.1) t - 1+ EP = + 2V dx, (2.2) ( ) 2- x где x, t есть неизвестная функция пространственной и временной ко( ) ординат, а V есть заданный потенциал. Соответствующее уравнение ( ) движения имеет вид = -V D x; t, (2.3) ( ) ( ( )) tt xx где V = dV / d.
( ) Уравнение (2.3) будет дискретизировано на решетке x = nh, где n = 0, 1, 2,... и h > 0 это параметр решетки.
Следуя подходу, основанному на использовании ДПИ, мы выписываем первый интеграл статического уравнения (2.3) U x - 2V + C = 0, (2.4) ( ) ( ) x с константой интегрирования C. Первый интеграл может быть взят и в модифицированной форме, например, v x p = 0, (2.5) ( ) ( )- ( ) x g g 2V - C где p и g это некоторые непрерывные функции и, кроме того, p 0 = 0.
( ) Будем рассматривать случай p =, g =, то есть немодифициро( ) ( ) ванный первый интеграл, а также случай p =, g =, для ко( ) ( ) торого имеем v(x) - 2V ( ) - C = 0. (2.6) x Построим ДПИ, соответствующие уравнениям (2.4) и (2.6):
U h,, - ) - 2V, + C = 0, (2.7) ( ) ( ( ) n -1 nn n-1 n-1 n hv h,, - ) - 2V, - C = 0, (2.8) ( ) ( ( ) n-1 nn n-1 n-1 n h где мы предполагаем, что в континуальном пределе V, V.
( ) ( ) n-1 n Для построения дискретизаций сохраняющих импульс, посчитаем dU / dx и умножим результат на dx / d / 2, что даст ( ) 1 dU = D x. (2.9) ( ( )) 2 d Дискретизируя левую часть (2.9) приходим к дискретизации уравнения Клейн-Гордона (2.3) вида U h,, -U h,, ) ( ) ( n n+1 n-1 n =, (2.10) n n+1 n -для которой статические решения, очевидно, могут быть найдены из двухточечного уравнения (2.7). Поскольку статическая разностная задача (2.10) сводится к разностному уравнению первого порядка (2.7), то ее точные ре шения могут быть получены рекуррентно, решая алгебраическое уравнение (2.7), начиная с любого допустимого начального значения. Произвольность в выборе начального значения как раз и означает возможность размещения равновесных когерентных структур произвольно относительно решетки или, иными словами, означает отсутствие потенциала ПайерлсаНабарро. Важно заметить, что обычно дискретные системы обладают потенциалом Пайерлса-Набарро и допускают лишь дискретный набор равновесных состояний, отвечающих экстремумам этого потенциала. В отличие от этого, в ТИ дискретизациях имеется континуальное множество равновесных состояний. Важно отметить, что константа интегрирования C, входящая в (2.7), сокращается в итоговой трехточечной дискретизации (2.10).
Следовательно, все статические решения уравнения (2.7), полученные для различных значений C (кинк соответствует выбору C = 0 ), будут решениями одного и того же трехточечного уравнения (2.10), поскольку оно не зависит от C. Наконец, отметим, что дискретизация типа (2.10) была впервые построена Кеврекидисом [5] с использованием другого, менее общего подхода, и им же было показано, что модель (2.10) сохраняет импульс P =. (2.11) ( - ) n n+1 n-n Для построения дискретизаций обладающих Гамильтонианом, будем дискретизировать не уравнение движения (2.3), а Гамильтониан (2.1), (2.2).
Для этого будет использован модифицированный первый интеграл в форме (2.8), где мы возьмем верхний знак. Перепишем функционал потенциальной энергии (2.2) с учетом (2.8) в виде + EP = v x + 2 2V - C dx, (2.12) [ ( )] ( ) { } x - где мы отбросили несущественный постоянный член. Дискретизируя кинетическую энергию (2.1) и потенциальную энергию (2.12) получим дискретный Гамильтониан =+ v h,, + - ) ( ) - C. (2.13) [ ( )] ( 2V, nn -1 nn n-1 n -1 n { } 2 h n Если потенциал дискретизировать как предложено Шпейтом [4], G - G ( ) ( ) n n-2V, - C =, G = 2V - C, (2.14) ( ) ( ) ( ) n-1 n n n-то последний член Гамильтониана (2.13) сводится к 2/ h G ( )] ( )[ ( ) - G и он исчезает при телескопическом суммироваn n -нии. С учетом (2.14), ДПИ (2.8) приобретает вид 1 G - G ( ) ( ) n n-И v h,, - ) -= 0, (2.15) ( ) ( n-1 nn n-h n n-Гамильтониан (2.13) сводится к виду И И =+ v h,,, (2.16) [ ( )] { } nn-1 n n а соответствующие уравнения движения приобретают форму ИИИИ =-v h,, v h,, - v h,, ) ( ) ( ) ( ) ( v h,,, (2.17) nn-1 nn-1 nn n+1 n n + nn откуда видно, что статические решения модели (2.17) могут быть найдены из двухточечного ДПИ (2.15), а значит, эта модель свободна от потенциала Пайерлса-Набарро.
В отличие от моделей (2.10) сохраняющих импульс, Гамильтоновская модель (2.17) включает константу интегрирования C через функцию G.
Модель Шпейта [6] соответствует частному случаю нашей модели при C = 0, которая имеет решение в виде кинка. Модели с C 0 имеют решения отличные от кинка.
Обсудим некоторые возможные обобщения построенных моделей свободных от потенциала Пайерлса-Набарро. Предположим, что одна и та же функция V, использовалась в ДПИ (2.7) и (2.8) для построения ( ) n-1 n различных ТИ моделей. Тогда линейная комбинация таких моделей тоже будет ТИ моделью. Такая ТИ модель может быть обобщена и далее. Например, к ней можно добавить члены которые исчезают в континуальном пределе ( h 0 ) и исчезают при подстановке в них U h,, = 0. Бо( ) n-1 n лее того, любой ТИ член может быть умножен на непрерывную функцию e h,,,, которая никогда не обращается в нуль и чей континуаль( ) n-1 n n +ный предел равен 1. Такое умножение не изменит континуального предела модели и не изменит ее статических решений.
В частности, мы будем рассматривать трансляционно-инвариантную модель вида U h,, -U h,, ) ( ) ( n n+1 n-1 n = e h,, (2.18) ( ) nn n+1 n-где модель (2.10) модифицирована множителем e h,.
( ) n Применим теорию дискретизации, описанную выше, к весьма популярному частному виду уравнения Клейн-Гордона, а именно, к уравнению, имеющему двухямный потенциал в виде полинома четвертой степени, V = 1- ), (2.19) ( ) ( где =1. Таким образом, уравнение это = + - ). (2.20) ( tt xx Простейший дискретный аналог уравнения (2.20) имеет вид = - 2 + + - ), (2.21) ( ) ( n n-1 n n +1 n n hи он имеет потенциал Пайерлса-Набарро.
Для построения ТИ дискретизации уравнения (2.20) мы дискретизируем потенциал (2.19) следующим образом V, = 1- ). (2.22) ( ) ( n-1 nn-1 n Тогда ДПИ (2.7) приобретает вид, U h,, - ) - ( ) ( ) ( 1- + C = 0. (2.23) n-1 nn n-1 n-1 n h2 Для краткости записи введем обозначения = h2, C = Ch2. (2.24) Подставляя (2.23) в (2.18) с e h, 1 получим дискретную модель урав( ) n нения не имеющую потенциала Пайерлса-Набарро = - 2 + + - ( +. (2.25) ( ) ) n n-1 n n+1 n n n-1 n+h2 Эта модель сохраняет импульс (2.11), но не имеет Гамильтониана.
Другой тип ТИ дискретизации получается если (2.23) подставить в (2.18) с e h, = 1/ 1- / 2 :
( ) ( ) nn 1 ( - ) = ( - 2 + ) +n n. (2.26) n n -1 n n+h2n 1- / Особенностью этой ТИ модели является то, что нелинейный член выражен только через, так же как и в классической дискретизации (2.21). Вторым n важным свойством модели является наличие для нее Гамильтониана.
Получим точные статические решения трансляционно-инвариантных дискретных уравнений, построенных выше. Все возможные статические решения уравнений (2.25) и (2.26) могут быть найдены рекуррентно из ДПИ (2.23), которое перепишем в виде нелинейного отображения (2 -) D n -=, D = 2 1- ) ( - 2, (2.27) + 2C ( ) nn-1 n-2 - n-где и могут быть взаимно заменены ввиду симметрии уравнения n n -(2.23). Если D 0, то на каждом шаге отображения мы имеем два корня.
Выбирать следует тот из них, который дает тройку,,, удовле( ) n-1 n n +творяющую трехточечные уравнения (2.25) и (2.26), для чего достаточно брать отличным от. В качестве начального значения отображения n+1 n - можно брать любое допустимое число, то есть такое, при котором D 0 и 2 - 0. Поскольку отображение (2.27) используется для нахождения как последующих, так и предыдущих членов последовательности, то, начав итерации с допустимого значения, мы никогда не получим недопустимого, и, тем самым, статическое решение может быть построено для всей бесконечной цепочки. Границы области допустимых значений показаны на Рис. 2.1. Они могут быть найдены из условия D = 0 которое дает четыре корня = 1- C / 2 C / 4 C - 4 + 8/ , для кото( ) ( ) ( ) ( ) 1,рых введем обозначения F1 = -F3 =, F2 = -F4 =. (2.28) ( ) ( ) 0 Рис. 2.1. Области допустимых значений начального значения отображения (2.27) для = 1 (левая панель) и =-1 (правая панель), для различных значений кон станты интегрирования C. Области недопустимых значений отмечены как ФnoФ.
Границы допустимых областей определяются функциями Fi (2.28).
Нам удалось построить целый ряд статических решений уравнений (2.25) и (2.26) в замкнутой форме, в виде qrs = Asn Z, m cn Z, m dn Z, m, Z = h n + x, (2.29) ( ) ( ) ( ) ( ) n где sn, cn и dn это эллиптические функции Якоби, 0 m 1 - модуль эллиптических функций Якоби, A и - параметры решения и x0 - произвольный сдвиг, свидетельствующий о трансляционной инвариантности модели и, наконец, целые числа q, r, и s определяют конкретную форму решений. Например, для решения sn, q, r, s = 1, 0, 0, имеем ( ) ( ) A2m 1- . (2.30) cn ( h)dn ( h) = 1-, A = sn ( h), C = 22 m Аналогичные выражения были найдены для параметров таких решений как cn, q, r, s = 0,1, 0 ; dn, q, r, s = 0, 0,1 ; 1/sn, q, r, s = 0, 0 ; 1/cn, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-1, ) q, r, s = 0, ) ( ) ( ) ( ) ( -1, 0 ; и sndn/cn, q, r, s = 1, -1,1. Выражения, связывающие C и m в (2.30) и аналогичных выражениях для других типов решений, устанавливают связь между решениями в виде эллиптических функций Якоби и решениями, получаемыми из нелинейного отображения (2.27).
Каждое из решений в виде функций Якоби занимает определенную область плоскости параметров C,, как показано на Рис. 2.1. Заметим, что мы ( ) не смогли найти решение в замкнутой форме для области, отмеченной знаком вопроса на левой панели Рис. 2.1, для C < 4 - 8/ , но и в этой области параметров точное решение может быть построено рекуррентно из нелинейного отображения (2.27), как описано выше.
В третьей главе, метод ДПИ, развитый в предыдущей главе на примере уравнения Клейн-Гордона, распространяется на случай НУШ для построения дискретизаций этого уравнения свободных от потенциала Пайерлса-Набарро. В диссертации рассмотрено НУШ с нелинейностью общего вида, но здесь ограничимся случаем Керровской (кубической) нелинейности, то есть рассмотрим НУШ вида i + += 0, (3.1) t xx где i - мнимая единица, =1, а x, t - комплексная функция про( ) странственной и временной координат. Будем искать стационарные решеi t ния уравнения (3.1) вида x, t = f x e, что приводит к обыкновенно( ) ( ) му дифференциальному уравнению f - 2 f + 2 f = 0, имеющему вид статического уравнения Клейн-Гордона (2.3), к которому можно приложить разработанный метод. В диссертации подробно изучается следующая двухпараметрическая ТИ дискретизация уравнения (3.1) i + ( - 2 + ++ ) ) ( { nn-1 n n+1 1 n n-1 n n n+2h2 (3.2) * * + ++ += 0, ( ) ( ) } 2 n-1 n +1 n 3 n-1 n+1 n с коэффициентами, связанными соотношением, + + = 1. Отметим, 1 2 что в частном случае = 1 и = = 0 уравнение (3.2) приобретает вид 2 1 знаменитой интегрируемой цепочки Абловица-Ладика. В общем случае уравнение (3.2) неинтегрируемо, но соответствующая ему стационарная задача является точно решаемой. В работе обсуждаются законы сохранения уравнения (3.2), исследуются его стационарные решения, кроме того, найдены некоторые точные движущиеся решения.
В четвертой главе обсуждаются физические свойства дискретной модели и сравниваются три типа ее дискретизации: (a) классическая дискретизация (2.21), (b) ТИ дискретизация, сохраняющая полную энергию (2.26) и (с) негамильтоновская ТИ дискретизация, сохраняющая импульс (2.25). Во всех случаях полагается = 1 и исследуется поведение простейшего топологического солитона, а именно кинка. Точное решение для движущегося кинка в этих моделях не известно, но для не слишком большого h можно воспользоваться кинковым решением континуального уравнения (2.20), чтобы выписать приближенное решение для дискретных моделей вида t = tanh nh - vt, где = 1/ 2 1- v2. Статический кинк в ( ) [ ( )] ( ) n классической дискретной модели может быть построен численно, а в ТИ моделях точное статическое решение может быть найдено итерационно из (2.27) при C = 0 и -1 < 1 или представлено в явной форме:
= tanh h n + x0, где tanh h = h2 / 2. Наличие в решении произ[ ( )] ( ) n вольного сдвига x0 свидетельствует о трансляционной инвариантности этих моделей. Важно заметить, что статические решения двух рассматри ваемых ТИ моделей, (2.25) и (2.26), совпадают, но их динамические свойства различны.
Рис. 4.1. На верхних панелях представлены колебательные спектры цепочек из N = 200 частиц с кинком посередине. Линиями показаны границы фононного спектра цепочки без кинка, а точками частоты колебательных мод, локализованных на кинке. На нижних панелях показано изменение скорости кинка во времени при различных начальных значениях скорости. Сравниваются три дискретные модели:
(a) классическая дискретизация (2.21), (b) трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая полную энергию (2.26) и (с) негамильтоновская трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая импульс (2.25).
На Рис. 4.1 сравниваются три вышеупомянутые дискретные модели.
На верхних панелях представлены колебательные спектры цепочек из N = 200 частиц со статическим кинком посередине. Линиями показаны границы фононного спектра цепочки без кинка, а точками частоты колебательных мод локализованных на кинке. Фононные спектры трех моделей:
22 2 22 2 (а) = 2 + (4/ h )sin k / 2, (b) = 4/(2 - h ) + (4/ h )sin k / 2 и (с) ( ) ( ) 22 = 2 + (4/ h - 2)sin k / 2. На нижних панелях показано изменение ( ) скорости кинка во времени при различных начальных значениях его скорости.
Принципиальным отличием спектра кинка в ТИ моделях является наличие моды с нулевой частотой (Голдстоновской моды), см. верхние панели на Рис. 4.1 (b) и (с). В классической дискретной модели эта мода наблюдается только при весьма малых h, то есть она наследуется от континуальной модели, но исчезает с ростом h, см. верхнюю панель на Рис. 4.1 (а).
Сопоставление нижних панелей Рис. 4.1 показывает, что кинки в ТИ моделях, при сравнительно небольших скоростях движения, тормозятся медленнее, что объясняется меньшим излучением энергии за счет взаимодействия с решеткой. Наиболее неожиданным, на первый взгляд, может показаться увеличение скорости кинка во времени для ТИ модели (с). Причина кроется в том, что в данной модели силы межчастичного взаимодействия непотенциальны, и в определенных режимах движения возможен прирост полной энергии системы за счет работы совершаемой непотенциальными силами. Более подробное исследование этого интересного эффекта приводится в диссертации. В целом отметим более высокую мобильность кинков в ТИ моделях по сравнению с классической моделью.
В пятой главе исследуются необычные свойства солитонов в ТИ дискретизациях НУШ.
(а) (b) Рис. 5.2. Пространственно-временная эволюция функции t, показывающая ( ) n для ТИ модели (3.2) (a) весьма медленное движение светлого солитона в режиме сильной дискретности и (b) практически упругое столкновение двух синфазных темных солитонов, также имеющих весьма малые скорости.
Колебательный спектр цепочки, содержащей солитон, для классического дискретного НУШ, имеет пару нулевых значений, отвечающих за инвариантность относительно сдвига фазы, а в ТИ моделях появляется дополнительная пара нулевых собственных значений, отражающих трансляционную инвариантность.
На Рис. 5.2 показано, что солитоны в ТИ дискретном НУШ могут двигаться с весьма малыми скоростями и в режиме сильной дискретности. На рисунке приводится пространственно-временная эволюция t, пока( ) n зывающая (a) весьма медленное движение светлого солитона в режиме сильной дискретности в ТИ модели (3.2) при h = 2, = 1, = = = 1/ 3 и = 1/ 2 ; и (b) практически упругое столкновение двух 1 2 синфазных темных солитонов, также имеющих весьма малые скорости.
Параметры ТИ модели (3.2): h = 1, =-1, = 0, = = 1/ 2 и 1 2 = -0.9. Как хорошо известно, в дискретных системах с потенциалом Пайерлса-Набарро при заметной степени дискретности, волны солитонного типа теряют свою подвижность и могут перемещаться только под действием достаточно сильных внешних полей. Напротив, при отсутствии потенциала Пайерлса-Набарро, как это видно из приведенных примеров, солитоны могут двигаться со сколь угодно малыми скоростями и, как следствие, могут быть ускорены сколь угодно слабыми внешними полями.
В шестой главе изучаются столкновения солитонов в уравнении синус-Гордона и в НУШ при наличии малых возмущений.
Дискретное уравнение синус-Гордона (т.е. модель ФренкеляКонторовой), описывается Гамильтонианом 1 H = u + u - u + 1- cos u, (6.1) ( ) ( ) 2 2h nn+1 nn n где h это параметр решетки, а un перемещение n -ой частицы из решеточного положения. Соответствующее уравнение движения имеет вид un - ( - 2un + un+1 + sin un = 0. (6.2) un -1 ) h Для параметра решетки предполагается h 1, что и означает близость данной дискретной системы к континуальному уравнению синус-Гордона, utt - uxx + sin u = 0, (6.3) которое является полностью интегрируемым, а значит, предсказывает идеально упругое взаимодействие солитонов. Точное решение, описывающее многосолитонные взаимодействия в невозмущенном уравнении синусГордона, хорошо известно. Рассмотрим влияние слабой дискретности h = 0.2 на четырехсолитонное решение. Уравнение (6.2) интегрирова( ) лось численно с использованием метода Штормера шестого порядка с шагом t = 10-4. Начальные условия задавались с использованием точного решения невозмущенного уравнения.
Рис. 6.1. Сравнение динамики двух взаимодействующих бризеров в (a) слабо-дискретной системе с (b) точным решением невозмущенного уравнения.
Начальное расстояние между бризерами определяется параметром D0 = -0.96 ;
бризеры имеют нулевые начальные скорости, VB1 = VB2 = 0, и соотношение частот = 4/ 5.
( ) B 2 B На Рис. 6.1 сравнивается (a) динамика слабо-возмущенного движения в модели (6.2) с (b) точным решением невозмущенного уравнения (6.3) для пары бризеров, имеющих нулевые скорости. Точное решение имеет период T = 5TB1 = 4TB 2, где TB1 и TB 2 периоды отдельных бризеров. Заметим, что когда фазы колебаний двух бризеров совпадают, они притягиваются, а бризеры колеблющиеся в противофазе отталкиваются, так что расстояние между ними меняется с периодом T. В возмущенной системе, притяжение бризеров не полностью компенсируется их отталкиванием, так что среднее расстояние между ними постепенно уменьшается, и в определенный момент они сталкиваются.
Взаимное притяжение бризеров это лишь одно проявление наличия слабого возмущения в системе. Другое, еще более яркое проявление, состоит в возможности безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами сталкивающихся солитонов. Типичные сценарии столкновения двух бризеров представлены на Рис. 6.2. Столкновения (a) и (d) практически упруги, то есть не сопровождаются заметным изменением свойств бризеров, в то время как все остальные столкновения неупруги. Столкновение (a) упруго потому, что в момент наибольшего сближения бризеры колеблются в противофазе и, значит, взаимно отталкиваются. Столкновение (d) упруго несмотря на то, что бризеры колеблются почти в фазе. Это произошло потому, что в данном случае все столкновения являются парными, то есть без слияния трех или четырех кинков. В отличие от этого, в столкновениях (b) и (c) наблюдаются слияния трех, а в столкновениях (e)-(i) принимают участие все четыре кинка. Как видно из Рис. 6.2, один или даже оба бризера могут распасться на составляющие их кинки, то есть возможны качественные изменения типов квазичастиц в результате взаимодействия.
Рис. 6.2. Примеры рассеяния бризеров в слабо-дискретном уравнении синусГордона с начальными скоростями VB1 = -VB 2 = -0.2, и частотами = 0.1 и = 4/ 5. Варьи( ) B1 B 2 Bровалось начальное расстояние между бризерами:
(a) D0 = 20.0, (b) D0 = 4.3, (c) D0 = 8.1, (d) D0 = 100.0, (e) D0 = 104.1, (f) D0 = 104.13, (g) D0 = 104.26, (h) D0 = 104.285, (i) D0 = 104.33.
В слабо-возмущенной системе сохраняется два закона сохранения, выполняющихся с большой точностью, сохранение энергии и импульса. Этим объясняется тот факт, что двухсолитонные столкновения всегда упруги:
каждый солитон (кинк) имеет одну степень свободы и, при наличии двух ограничений, накладываемых двумя законами сохранения, обмен энергиями невозможен. Но он становится возможным, если взаимодействуют более двух кинков. Важно отметить, что во всех случаях, представленных на Рис. 6.2, потери на радиацию при столкновении бризеров пренебрежимо малы по сравнению с максимальной величиной обменной энергии.
Рассмотрим более детально процесс распада четырех-солитонной квазичастицы (двух близко расположенных бризеров с нулевой относительной скоростью) на отдельные бризеры. Пример такого распада показан на Рис.
6.1 (а). Будем варьировать начальное расстояние между бризерами D0.
После распада, два независимых бризера двигаются в противоположных направлениях с практически одинаковыми абсолютными значениями ско* ростей. Обозначим скорость бризеров после распада через V и построим B * ее на Рис. 6.3 как функцию D0. Оказывается, что функция V (D0) облаB дает свойством самоподобия на различных масштабах. Четыре масштаба такого самоподобия показаны на Рис. 6.3, где каждый последующий график показывает фрагмент предыдущего в увеличенном масштабе для участка, обозначенного буквой I.
Рис. 6.3. Фрактальная структура (показаны четыре масштабных уровня) рассеяния бризеров, представленная функ* * цией V (D0), где V это скорость B B разлета бризеров после распада двухбризерной системы а D0 это начальное расстояние между бризерами. Каждый последующий график показывает фрагмент предыдущего в увеличенном масштабе для участка, обозначенного буквой I.
Фрактальная структура рассеяния бризеров имеет простое физическое объяснение. Как было показано выше, в слабовозмущенной системе бризеры взаимно притягиваются, поскольку их притяжение при колебании почти в фазе не вполне компенсируется отталкиванием при колебании почти в противофазе. Как видно из Рис. 6.3, хаотические области наблюдаются там, где экстраполяция гладких участков дает практически нулевую скорость * разлета V. В этой области, в результате столкновения бризеры приобреB тают весьма низкую кинетическую энергию, не достаточную для преодоления взаимного притяжения и через какое-то время они сталкиваются снова.
В повторном столкновении бизеры могут получить достаточный импульс чтобы разлететься, но есть вероятность, что бризеры опять не смогут преодолеть взаимное притяжение и столкнутся уже в третий раз, и так далее.
Каждое последующее столкновение образует очередной масштабный уро* вень функции V (D0).
B Безрадиационный обмен энергиями и фрактальное рассеяние солитонов, как показано в диссертации, явления универсальные для слабовозмущенных систем. Например, оно также имеет место в слабовозмущенном НУШ, причем, уже для двухсолитонных столкновений, по скольку в системе выполняется три закона сохранения, но каждый солитон в НУШ имеет две степени свободы.
В работе показано, что безрадиационный обмен наблюдается вблизи сепаратрисы многосолитонного решения невозмущенного уравнения.
В седьмой главе изучаются топологические солитоны в одномерной цепочке частиц конечных размеров, показанной на Рис. 7.1 (а). Модель предложена автором для описания основных эффектов, наблюдаемых при фазовых переходах в кристаллах с несоразмерной фазой. Частицы связаны упругими шарнирами жесткости F, кроме того, шарниры испытывают действие внешнего потенциала с кубической нелинейностью (показано вертикальными пружинками). Упругие шарниры и внешний потенциал стремятся поддерживать прямолинейную форму цепочки, но сжимающая осевая нагрузка P играет дестабилизирующую роль. Взаимодействие этих факторов может приводить к возникновению весьма разнообразных статических и динамических структур. При малых углах поворота частиц, модель описывается следующим уравнением движения un + F u - 4u + 6u - 4u + u + P u - 2u + u + u + u = 0, ( ) ( ) n -2 n -1 n n+1 n + 2 n-1 n n+1 n n (7.1) где un t это вертикальное перемещение n -го шарнира. Уравнение (7.1) ( ) может быть классифицировано как дискретное уравнение, учитывающее не только ближайшие, но и следующие к ближайшим взаимодействия.
Уравнение неинтегрируемо, и допускает лишь весьма ограниченное число точных решений простой формы, поэтому стоит задача построения его приближенных решений.
0. -0.0.-0.0.F P P -0.un 0.-0.0.n-2 n-1 n n+1 n+-0.0.-0.0 100 200 300 400 500 6n (а) (b) Рис. 7.1. (а) Одномерная модель, представляющая собой цепочку частиц конечных размеров связанных упругими шарнирами жесткости F, во внешнем потенциале с кубической нелинейностью (показано вертикальными пружинками) и под действием сжимающей осевой нагрузки P. (b) Распространение автоволн в модели (7.1), возникших в результате неустойчивости топологического солитона. Линии четырех различных типов соединяют каждый четвертый узел, со сдвигом на единицу.
Это уравнение, а также уравнения, имеющие другую форму записи, но эквивалентные ему в математическом плане, рассматривалось многими авторами. Нами получен ряд новых существенных результатов для уравнения (7.1), а также ряд результатов, уточняющих известные. В частности, получена подробная фазовая диаграмма модели (7.1) на плоскости параметров (F, P), описаны периодические равновесные решения в синусоидальном режиме, описан переход от синусоидального режима к режиму с периодическими доменными стенками, получены решения для доменных стенок (топологических солитонов) как с использованием САА аппроксимации, так и с позиций многополевого подхода. Точность построенных приближенных решений исследуется численно. Также численно исследуется достаточно нетривиальная динамика топологических солитонов и динамика автоволн. Пример распространяющейся автоволны, инициированной неустойчивым топологическим солитоном, показан на Рис. 7.1 (b). Процесс качественно схож с мартенситным превращением, наблюдаемом в металлах.
В восьмой главе изучаются топологические солитоны в двумерных задачах и решается ряд прикладных проблем.
В первом параграфе моделируется сетка дислокаций несоответствия на границе металлокерамического соединения медь/сапфир, имеющей наиболее когерентное ориентационное соотношение, (111)Cu 101 Cu||(0001) Al2O3 1100 Al2O3, в том смысле, что плотноупакованные плоскости и плотноупакованные направления в обоих полукристаллах параллельны. Такая граница раздела возникает при молекулярной эпитаксии. Электронная микроскопия высокого разрешения не выявила корреляции в относительном положении атомов меди и сапфира вблизи границы раздела и на основе этого был сделан вывод о некогерентности границы. Такой результат не может не вызывать удивления, поскольку, в присутствии достаточно сильного взаимодействия через границу раздела, естественно ожидать упорядочения вследствие релаксации атомов. Мы исследуем данную проблему с использованием трехмерной молекулярной квазистатики, а также модельных расчетов в рамках двумерной модели Френкеля-Конторовой и предлагаем объяснение кажущейся некогерентно сти рассматриваемой границы раздела. В трехмерном моделировании, межатомные взаимодействия в объеме меди описывались известным многочастичным RGL потенциалом; в объеме сапфира известными парными потенциалами; а взаимодействия через границу раздела парными потенциалами, калиброванными автором данной работы по результатам первопринципных расчетов, полученных группой проф. Кояма.
Двумерная модель Френкеля-Конторовой представляет собой атомную плоскость гексагональной симметрии (плоскость (111) г.ц.к. кристалла) взаимодействующую с внешним периодическим потенциалом вида 2 2 x 2 y 44 y 22 x 2 y 3 + + , U(x, y) = + cos + + cos + cos - + 2 b 3b 3 3b 3 b 3b 3 9 (8.1) где определяет глубину потенциала а b параметр решетки. Атомы плоскости взаимодействуют между собой посредством потенциала ЛеннардаДжонса, 12 V(r) = 4 / r -( ), (8.2) ( ) / r где r это расстояние между атомами и, без потери общности, мы полагаем = 1/ 4 и = 1. Масса атома тоже полагается равной единице. Для радиуса обрезки равной 11, равновесный параметр решетки равен a = 1.11146206 и он, вообще говоря, не совпадает с параметром решетки внешнего потенциала, что и может приводить к формированию сетки дислокаций несоответствия.
На рисунках 8.1 и 8.2 представлены этапы атомной релаксации на границе раздела медь/сапфир и в двумерной модели Френкеля-Конторовой, соответственно. На обоих рисунках показаны: (a) нерелаксированное состояние, (b) ранний этап релаксации когда формируется сетка краевых дислокаций несоответствия, (c) следующий этап релаксации, приводящий к закручиванию дислокационных сегментов и появлению у них винтовой компоненты, (d) последний этап когда исчезают пересечения дислокаций несоответствия и формируется система замкнутых дислокационных петель.
Важно заметить, что результат представленный на Рис. 8.2 получен при относительно большой глубине внешнего потенциала, = 6. При весьма малом релаксация останавливается на стадии (b), при большем на стадии (с), и лишь при достаточно большом доходит до стадии (d). Поскольку на границе медь/сапфир релаксация заканчивается стадией (d), можно сделать вывод о том, что атомы сапфира создают для приграничных атомов меди достаточно глубокий потенциальный рельеф. Исследование влияния температуры на различные дислокационные сетки в рамках модели Френкеля-Конторовой показало, что структуры (b) и (с) (получаемые при не очень больших ) устойчивы по отношению к тепловым колебаниям, а структура (d) неустойчива. Во всех случаях, в присутствии тепловых колебаний, дислокационные сегменты осуществляют случайные перемещения, но в случаях (b) и (с) последующие перемещения компенсируют предшествующие так, что регулярная структура сетки сохраняется, а в случае (d) скачки носят необратимый характер и дислокационная сетка становится нерегулярной, как на Рис. 8.1 (d).
(a) (b) Рис. 8.1. Этапы атомной релаксации на границе раздела медь/сапфир. Атомы меди показаны светлыми кружками, а потенциальный рельеф, созданный атомами сапфира, темными. (a) Нерелаксированное состояние, (b) ранний этап релаксации когда формируется сетка краевых дислокаций несоответствия, (c) следующий этап релаксации, приводящий к закручиванию дислокационных сегментов и появлению у них винтовой компоненты, (d) последний этап когда исчезают пересечения дислокаций несоответствия и формируется система замкнутых дислокационных петель.
(c) (d) Наши результаты дают естественное объяснение отсутствию когерентной модуляции вблизи границы медь/сапфир, наблюдаемой в высокоразрешающей электронной микроскопии, несмотря на значительную энергию взаимодействия на данной границе. Причиной служит трансформация сетки дислокаций несоответствия к апериодической, что возможно при достаточно глубоком потенциальном рельефе созданном атомами сапфира для атомов меди.
(a) (b) Рис. 8.2.
Этапы атомной релаксации в двумерной модели Френкеля-Конторовой при = 6. Атомы показаны светлыми кружками, а потенциальный рельеф темными.
(c) (d) Во втором параграфе рассматриваются вопросы теоретической прочности бездефектных кристаллов при однородной деформации. Строится и анализируется поверхность в трехмерном пространстве однородной деформации, отделяющей области устойчивости и неустойчивости кристаллической решетки.
В третьем параграфе изучается возникновение дислокаций в объеме бездефектного двумерного кристаллита, при его наноиндентировании.
Предложен метод, позволяющий предсказывать точку возникновения дислокационной петли и направление скольжения дислокаций. В основу моделирования положен потенциал Леннарда-Джонса (8.2). Сравниваются результаты индентирования вдоль двух кристаллографических направлений, <112> и <110>, при диаметре индентора 56a (см. Рис. 8.3 и Рис. 8.4, соответственно). Трение между индентором и материалом отсутствует.
y y 20 10 0 0 20 40 60 0 20 40 x x (а) (b) Рис. 8.3. Наноиндентирование двумерного кристалла вдоль направления <112>.
y y 40 30 20 0 20 40 0 20 40 x (b) (а) Рис. 8.4. Наноиндентирование двумерного кристалла вдоль направления <112>.
При индентировании вдоль <112> упругая деформация продолжалась до глубины 2.60, а вдоль <110> до глубины 3.17. Деформированные кристаллиты непосредственно перед наступлением неустойчивости показаны на панелях (а) рисунков 8.3 и 8.4. Там же светлыми кружечками отмечены те элементарные ячейки, где уровень и компоненты локальной деформации таковы, что в бесконечном, однородно деформированном кристалле при данной деформации в спектре появляются мнимые собственные значения, то есть кристалл становится неустойчивым. В этом и состоит существо нашего метода по предсказанию положения точки зарождения дислокаций и направлении их скольжения. В самом деле, две пары дислокационных петель возникли именно в предсказанных областях и двигались в предсказанных направлениях, см. панели (b) рисунков 8.3 и 8.4, где возникшие и раз бежавшиеся дислокации показаны занумерованными кружками. Дислокации 1 и 2 представляют одну петлю, а 3 и 4 другую. Интересно отметить, что дислокации в обоих случаях возникают не на границе контакта с индентором, а в объеме кристаллита, свободном от топологических дефектов.
В четвертом параграфе исследуется влияние поверхности на теоретическую прочность двумерных кристаллов. Решается задача устойчивости двумерного волокна и двумерной полуплоскости при однородном растяжении или сжатии параллельно поверхности. В качестве критерия неустойчивости выступает появление в колебательном спектре чисто мнимых собственных частот. При формулировке задачи на собственные значения для однородно деформированного кристаллита, использовалось наличие трансляционной симметрии в направлении параллельном поверхности, что позволяло представить все возможные моды колебаний в виде U(t) = U0 exp[i(kxl - t)], где i - это мнимая единица; kx - компонента волнового вектора в обратном пространстве; l - целое число, определяющее периодическую ячейку; - собственная частота колебательной моды;
U0 - соответствующий собственный вектор, включающий компоненты смещений всех атомов периодической ячейки.
В качестве примера, на Рис. 8.5 сравниваются дисперсионные кривые для (a) - волокна и (b) - полупространства, сжатых в направлении параллельно поверхности с ориентацией [112]. Величина деформации, *, лишь немного меньше критической, =-0.0524 =-0.05245, [112] [112] когда самая низкочастотная мода становится неустойчивой на границе зоны Бриллюэна, при. Ячейка периодичности волокна (полупроkx = странства) содержит 40 (20) подвижных атомов и соответственно, 80 (40) степеней свободы. Количество ветвей дисперсионных кривых равно числу степеней свободы. Нижняя часть рисунка показывает низкочастотные части спектра. Волокно при сжатии всегда неустойчиво относительно попе2 речного изгиба, как это видно на (aТ) (для < 0 мы строим -(- )1/2 ).
* Максимальный волновой вектор с мнимой частотой обозначается как kx.
В диссертации подробно анализируются собственные вектора соответствующие неустойчивым модам и показано, что они, как правило, локализованы вблизи поверхности. Кроме того, методом молекулярной квазистатики исследуется послекритическое состояние кристалла, показаны механизмы приповерхностного зарождения и эволюции дислокаций и микротрещин. Сравниваются атомарно гладкие поверхности и поверхности со ступеньками. Делается вывод о том, что наличие свободной поверхности, особенно поверхности со ступеньками, понижает теоретическую прочность кристаллов. Однако, понижение это незначительно: критическая деформа ция для кристалла со свободной поверхностью понижается не более чем на десяток процентов по сравнению с бесконечным однородно деформированным кристаллом, что не может объяснить отличие на несколько порядков теоретической прочности идеальных кристаллов от экспериментально наблюдаемой прочности. По-видимому, объемные дефекты кристаллической структуры играют более важную роль при формировании прочностных свойств поликристаллов, чем свободная поверхность.
half-space fiber 10 (a) (b) 5 0 0.5 0.(a') (b') TA, LA 0 0 kx kx k* x Рис. 8.5. Сравнение дисперсионных кривых для (a) - волокна и (б) - полупространства, сжатых в направлении параллельно поверхности с ориентацией [112]. Нижняя часть рисунка показывает низкочастотные части спектра.
В пятом параграфе, в рамках предложенной автором двумерной модели кристалла с частицами конечных размеров, моделируется несоразмерная фаза, возникающая в модели под действием внешнего давления. Модель содержит два нелинейных члена, которые, в зависимости от соотношения параметров, допускают устойчивость 1q, 2q или 3q модулированных фаз. Численно изучается переход между 1q и 3q фазами, характерный для кристаллов с гексагональной симметрией. Модель в деталях воспроизводит последовательность фазовых переходов, наблюдаемых в кварце (SiO2) при охлаждении, и объясняет экспериментально наблюдаемое увеличение температурного интервала 1q фазы при одноосном внешнем давлении.
В шестом параграфе предлагается оригинальная методика оценки когерентности границы раздела двух кристаллических тел, в общем случае, имеющих различную структуру.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Центральный теоретический результат диссертации это разработка нового, достаточно общего метода построения дискретных моделей нелинейных континуальных уравнений, обладающих свойством трансляционной инвариантности. Метод основан на использовании дискретизированного первого интеграла статического (стационарного) аналога континуального уравнения. Статические (стационарные) задачи в таких дискретных моделях являются точно решаемыми.
2. Разработанный метод применен к двум популярным нелинейным уравнениям, Клейн-Гордона и НУШ. Для их ТИ дискретизаций построен ряд точных статических (стационарных) и движущихся решений. Исследованы свойства волн солитонного типа в ТИ дискретизациях. ТИ модели не имеют потенциала Пайерлса-Набарро, а значит, солитоны в них не связаны решеткой, и могут быть ускорены сколь угодно малым внешним полем.
3. Численно показана высокая мобильность солитонов в ТИ моделях, как при малых, так и при больших скоростях движения.
4. Теоретически и численно исследовались столкновения солитонов в системах близких к интегрируемым. Обнаружен и объяснен эффект безрадиационного обмена энергиями, наблюдаемый вблизи сепаратрисы многосолитонного решения невозмущенного уравнения. Степень неупругости столкновения растет линейно, а потери на радиацию и на возбуждение колебательных мод, локализованных на солитонах, растут квадратично с ростом параметра возмущения. Следовательно, при малых значениях этого параметра, безрадиационный обмен является доминирующим фактором, определяющим неупругость солитонных столкновений в слабовозмущенных интегрируемых уравнениях. Безрадиационный обмен энергиями возможен только при условии, что число степеней свободы сталкивающихся солитонов превышает число законов сохранения, выполняющихся с большой точностью в слабовозмущенной системе. Например, в уравнении синус-Гордона, имеющем два закона сохранения (энергии и импульса), эффект проявляется только при трех-кинковых столкновениях, поскольку кинк имеет одну степень свободы. Солитоны в НУШ имеют по две степени свободы и, при наличии трех законов сохранения (нормы, энергии и импулься), эффект возможен уже в простейших двухсолитонных столкновениях.
5. Безрадиационный обмен энергиями объясняет фрактальные структуры, наблюдаемые при рассеянии солитонов друг на друге, а также предсказывает существование короткоживущих многосолитонных квазичастиц.
6. Фазовые переходы в кристаллах, построенных из частиц конечных размеров, изучались в рамках 1D и 2D моделей, предложенных автором.
Получены фазовые диаграммы моделей, найдены условия модуляцион ной неустойчивости, описаны соразмерные и несоразмерные фазы в синусоидальном режиме, переход от синусоидального режима к режиму доменных стенок, получены приближенные аналитические решения для доменных стенок, а также численно изучены особенности динамики устойчивых и неустойчивых доменных стенок.
7. Показано, что при формировании несоразмерной фазы в 1D и 2D моделях существенную роль играют взаимные повороты жестких частиц.
Фазовая диаграмма моделей имеет топологическую структуру, идентичную фазовой диаграмме кварца, построенной методом молекулярной динамики в 3D расчетах.
8. Посредством численного моделирования описаны особенности сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, что позволило объяснить результаты электронной микроскопии высокого разрешения.
9. Исследованы зарождение дислокаций в объеме бездефектного зерна при его наноиндентировании а также влияние открытой поверхности на теоретическую прочность кристалла, свободного от дефектов в его объеме.
Делается вывод о весьма незначительном понижении теоретической прочности (порядка 10-20%) за счет наличия свободной поверхности.
Наличие только поверхности не может объяснить различие в несколько порядков наблюдаемое для теоретической прочности бездефектных кристаллов и прочности реальных (поли-)кристаллических тел. Повидимому, объемные дефекты играют существенную роль при формировании прочностных свойств последних. С другой стороны, наши результаты подтверждают высокую прочность нитевидных кристаллов, где основным дефектом кристаллической структуры является наличие открытой поверхности.
ИТЕРАТУРА 1. Encyclopedia of nonlinear science / Edited by A. Scott. - New York:
Routledge, 2005. - 1053 P.
2. Белова Т.И., Кудрявцев А.Е. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля // УФН. - 1997. - Т. 167. - №4. - С. 377-406.
3. Braun O.M., Kivshar Y.S. The Frenkel-Kontorova model: concepts, methods, and applications. - Berlin: Springer, 2004. - 472 P.
4. Speight J.M., Zolotaryuk Y. Kinks in dipole chains // Nonlinearity. - 2006.
- V. 19. - P. 1365-1382.
5. Kevrekidis P.G. On a>
6. Speight J.M. Topological discrete kinks // Nonlinearity. - 1999. - V. 12. - P.
1373-1387.
Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:
1. Кудинов А.Н., Дмитриев С.В., Савченко К.И., Синицын Е.А. Методика определения аналогов упругих постоянных дисперсных сред // Заводская лаборатория, Москва. - 1989. - Т. 55. - № 10. - С. 62-64.
2. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В. Оценка энергии образования антифазных доменов в кристалле интерметаллида // Кристаллография, РАН, Москва. - 1992. - Т. 37. - вып. 6. - С. 1372-1378.
3. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В. Энергия образования антифазной границы {00l} в сверхструктуре с произвольной примитивной ячейкой // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург. - 1992. - Т.34.Ц№7. - С. 20872093.
4. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Голобокова С.И. Метод определения энергии антифазной границы в плоскостях {h0l} в сверхструктуре с произвольной примитивной ячейкой // Известия ВУЗов. Физика, Томск.
- 1992. - №5. - С. 73-77.
5. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Голобокова С.И. Определение энергии сдвиговых антифазных границ в упорядоченном сплаве // Металлофизика, РАН, Киев. - 1992. - т.14. - №9. - С. 61-68.
6. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Волкова С.М. Энергия образования трубки антифазных траниц в упорядоченном сплаве // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург. - 1993. - т.35. - №1. - С. 31-37.
7. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В. Распределение пространственных многогранников по координационным сферам в ОЦК решетке // Журнал структурной химии, СО РАН, Новорсибирск. - 1993. - Т.34. - №4. - С.
107-111.
8. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Бакалдин А.В. Энергии образования антифазных границ в сверхструктурах L10 и L11 // Известия ВУЗов. Физика, Томск. - 1993. - №3. - С. 68-72.
9. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Голобокова С.И. Поверхностная энергия упорядоченного сплава в модели твердых сфер // Поверхность.
Физика, химия, механика, РАН, Москва. - 1994. - №2. - С. 108-113.
10. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Бразовская О.В. Исследование геометрического строения и энергетики границ зерен или фаз в многокомпонентных структурах // Физика твердого тела, РАН, С.ЦПетербург. - 1994. - Т.36, № 11. - С. 3414-3423.
11. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Фролов А.М., Волкова С.М. Энергия образования планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных сплавах на основе ГЦК - и ОЦКЦрешеток // Известия ВУЗов. Физика, Томск.Ц1994. - № 11. - С. 57-61.
12. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Волкова С.М. Классификация планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных сплавах с ГЦК - и ОЦК - решеткой // Кристаллография, РАН, Москва.Ц1994. - Т.39, №3. - С. 508-513.
13. Дмитриев С.В., Старостенков М.Д., Волкова С.М. Классификация планарных сверхструктурных дефектов // Металлофизика и новейшие технологии, НАН Украины, Киев. - 1994. - Т.16. - №8. - С. 67 -72.
14. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Герман В.Г. Моделирование энергетики образования дефектов различных размерностей в кристалле интерметаллида // Кристаллография, РАН, Москва. Ц1994. ЦТ.39. - №5. - С.798-802.
15. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Волкова С.М., Фролов А.М. Классификация планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных ОЦК и ГЦК сплавах на примере сверхструктуры L10 // Физика металлов и металловедение, РАН, Екатеринбург. - 1994. - Т. 77, вып.6. - С. 28-35.
16. Дмитриев С.В., Старостенков М.Д., Жданов А.Н. Основы кристаллографического анализа дефектов в металлах и сплавах: Учебное пособие для вузов / Алт. гос. техн. унЦт им. И.И.Ползунова. - Барнаул: ИздЦво АлтГТУ, 1995. - 256с.
17. Дмитриев С.В., Фролов А.М., Голобокова С.И. Старостенков М.Д. Планарные сверхструктурные дефекты в упорядоченных сплавах с гексагональной плотной упаковкой // Кристаллография, РАН, Москва. - 1995. - Т.40. - №2. - С. 223-227.
18. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Андрухова О.В. Статистические характеристики системы антифазных границ, образующихся при кристаллизации расплава // Расплавы, Екатеринбург. - 1995. вып.2. - С. 87-94.
19. Дмитриев С.В., Науман Л.В., Старостенков М.Д., Васильев А.А. Сдвиговая неустойчивость ГПУЦкристалла при растяжении перпендикулярно плотноупакованным атомным слоям // Металлофизика и новейшие технологии, НАН Украины, Киев. - 1995. - Т.17, №4, С. 56-60.
20. Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. OneЦdimensional crystal model for incommensurate phase. I. Small displacements limit // J Phys. Soc. Jpn. - 1996.
V.65. - P. 3938-3944.
21. Дмитриев С.В., Овчаров А.А., Старостенков М.Д., Козлов Э.В. Компьютерное моделирование зарождения дислокаций в однородно деформированном г.ц.к. кристалле // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург. - 1996. - Т.38. - № 6. - С. 1805-1811.
22. Дмитриев С.В., Науман Л.В., Овчаров А.А., Старостенков М.Д. Механизм зарождения дислокаций в одномерной модели кристалла ФренкеляЦКонторовой // Известия ВУЗов. Физика, Томск. - 1996. - № 2. - С.
72-76.
23. Dmitriev S.V., Nauman L.V., WusatowskaЦSarnek A.M., Starostenkov M.D.
Generation and annihilation of dislocations in the discrete Frenkel - Kontorova model // phys. stat sol. - 1997. - V.201. - P. 89-96.
24. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. OneЦdimensional crystal model for incommensurate phase. II. Compressible molecules // J Phys. Soc. Jpn. - 1997.
- V.66. - P. 2732-2736.
25. Dmitriev S.V., Shigenari T., Vasiliev A.A., Abe K. Dynamics of domain walls in an incommensurate phase near the lockЦin transition: One - dimensional crystal model // Phys. Rev. B. - 1997. - 55. - P. 8155-8164.
26. Shigenari T., Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Abe K. Domain walls in one - dimensional 3Цperiodic structure // Ferroelectrics. - 1997. - V.203. - 335-347.
27. Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Старостенкова О.Х. Правила заполнения координационных сфер в кристаллах кубической симметрии с междоузлиями // Журнал структурной химии, СО РАН, Новосибирск. - 1997. - Т.38. - № 6. - С. 1110-1116.
28. Андрухова О.В., Козлов Э.В., Дмитриев С.В., Старостенков М.Д. О возможных механизмах атомного разупорядочения в бинарных сплавах // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург. - 1997. - Т.39. - № 8. - С.
1456-1460.
29. Андрухова О.В., Дмитриев С.В., Козлов Э.В., Старостенков М.Д. Влияние температуры на структуру двухмерного двойного сплава в равновесном состоянии // Металлы, РАН, Москва. - 1997. - № 6. - С. 83-89.
30. Дмитриев С.В., Козлов Э.В., Ломских Н.В., Старостенков М.Д. Изучение кинетики разупорядочения в рамках двумерной модели сплава // Известия ВУЗов. Физика, Томск. - 1997. - № 3. - С. 73-80.
31. A. A. Ovcharov, Dmitriev S.V., Starostenkov M.D. The atomic displacement static waves inside a zone of elastic to plastic transformation // Comp. Mater.
Sci. - 1998. - V.9. - P. 325-328.
32. Dmitriev S.V., Shigenari T., Vasiliev A.A., Miroshnichenko A.E. Effect of discreteness on a sineЦGordon threeЦsoliton solution // Phys. Lett. A. - 1998. - V.246. - P. 129-134.
33. Dmitriev S.V., WusatowskaЦSarnek A. M., Starostenkov M.D., Belyakov A.
N., Shigenari T., Sakai T. Crystallogeometrical approach to stacking fault analysis in ordered alloys // Acta Crystallographica A. - 1998. - V.54. - P.
430-437.
34. Dmitriev S.V., Kumata T., Shigenari T., Abe K. Computer simulation for the incommensurate phase near the lockЦin transition // J. Korean Phys. Soc. - 1998. - V.32. - P. 907-909.
35. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Thermally activated motion of domain wall in a crystal with a small degree of discreteness // Comp. Mater. Sci. - 1998. - V.11. - P. 227-232.
36. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Mechanisms of transition between 1q and 2q incommensurate phases in twoЦdimensional crystal model // Phys.
Rev. B. - 1998. - V.58. - P. 2513-2522.
37. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Mechanism of transition between 1q and 3q incommensurate phases in twoЦdimensional crystal model // Ferroelectrics. - 1998. - V.217. - P. 179-187.
38. Dmitriev S.V., Shigenari T., S. M. Volkova, Vasiliev A.A., Abe K. Dynamics of autowaves in a oneЦdimensional crystal model // Comp. Mater. Sci. - 1999. - V.13. - P. 227-231.
39. Shigenari T., Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Abe K. Domain wall solutions for EHM model of crystal //J Phys. Soc. Jpn. - 1999. - V.68. - P. 117-125.
40. Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. // . - 2000. - V.55. - P.113-117 (на японском языке).
41. Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. Elastically hinged molecule model for computer simulation of incommensurate phase in crystals // Ferroelectrics. - 2000. - V.237. - P. 17-24.
42. Shigenari T., Dmitriev S.V., Abe K., Makita Y., Yajima M., Aslanyan T. A new interpretation of incommensurate phase of quartz // Ferroelectrics. - 2000. - V.240. - P. 147-154.
43. Dmitriev S.V., Yajima M., Makita Y., Abe K., Shigenari T. Simulation of pressure induced phase transition and modulated structures of quartz // Progress in Theoretical Physics. Supplement. - 2000. - V.138. - P. 243-244.
44. Dmitriev S.V., Itoh M., Shinohara M., Abe K., Shigenari T. Thermally activated generation, motion and annihilation of kinks in the FrenkelЦKontorova chain // Progress in Theoretical Physics. Supplement. - 2000. - V.138. - P.
574-575.
45. Dmitriev S.V., Miyauchi T., Abe K., Shigenari T. KinkЦbreather solutions in the weakly discrete FrenkelЦKontorova model // Phys. Rev. E. - 2000. - V.61. - P. 5880-5885.
46. Miroshnichenko A.E., Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Shigenari T. Inelastic threeЦsoliton collisions in a weakly discrete sineЦGordon system // Nonlinearity. - 2000. - V.13. - P. 837-848.
47. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K., Vasiliev A.A., Miroshnichenko A.E.
Phonon emission from a discrete sineЦGordon breather // Comp. Mater. Sci.
- 2000. - V.18. - P. 303-307.
48. Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. Domain wall solutions for EHM model of crystal. Structures with period multiple of four // Physica D. - 2000. - V.147. - P. 122-134.
49. Dmitriev S.V., Yajima M., Makita Y., Semagin D., Abe K., Shigenari T.
Simulation of modulated structures in quartz // J. Phys. Soc. Jpn. - 2001. - V.70. - P. 428-436.
50. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Poisson ratio beyond the limits of the elasticity theory // J. Phys. Soc. Jpn. - 2001. - V.70. - P. 1431-1432.
51. Dmitriev S.V., Jimbo H., Abe K., Shigenari T. Periodic metastable structures in the discrete model // Phys. Rev. E. - 2001. - V.64. - P. 36202-36210.
52. Dmitriev S.V., Semagin D.A., Abe K., Vasiliev A.A., Shigenari T. Elastically hinged molecule model in physics of ferroelectric materials // Ferroelectrics.
- 2001. - V.262. - P. 53-58.
53. Shigenari T., Abe K., Dmitriev S.V., Yajima M., Nagamine M., Semagin D., Aslanyan T. A. Raman spectrum and the origin of phase transitions in quartz // Ferroelectrics. - 2001. - V.259. - P. 103-108.
54. Dmitriev S.V., Kivshar Yu.S., Shigenari T. Fractal structures and multiparticle effects in soliton scattering // Phys. Rev. E. - 2001. - V.64. - P. 5661356616.
55. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T., Aslanyan T. MD calculations for modulated phase in quartz // Ferroelectrics. - 2002. - V.268. - P.
227-232.
56. Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Ishibashi Y., Shigenari T. Elastic properties of a twoЦdimensional model of crystals containing particles with rotational degrees of freedom // Phys. Rev. B. - 2002. - V.65. - P. 094101-094107.
57. Dmitriev S.V., Shigenari T. ShortЦlived twoЦsoliton bound states in weakly perturbed nonlinear Schrdinger equation // Chaos. - 2002. - V.12. - P. 324331.
58. Dmitriev S.V., Kivshar Yu.S., Shigenari T. Fractal structures in multiЦsoliton collisions // Physica B. - 2002. - V.316Ц317. - P. 139-142.
59. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Shigenari T., Kivshar Yu.S., Sukhorukov A.
A. Effect of weak discreteness on twoЦsoliton collisions in nonlinear Schrdinger equation // Physica B. - 2002. - V.316Ц317. - P. 136-138.
60. Dmitriev S.V., Shigenari T. Thermally activated generation, motion, and annihilation of localized modes in the FrenkelЦKontorova model // Physica B. - 2002. - V.316Ц317. - P. 129-131.
61. Dmitriev S.V., Semagin D. A., Sukhorukov A. A., Shigenari T. Chaotic character of twoЦsoliton collisions in the weakly perturbed nonlinear Schrdinger equation // Phys. Rev. E. - 2002. - V.66. - P. 46609-46616.
62. Dmitriev S.V., Jimbo H., Abe K., Shigenari T. Elastically hinged molecule model: Discrete medium and continuum // Ferroelectrics. - 2002. - V.267. - P. 361-366.
63. Дмитриев С.В. Механизм перехода между 1Цq и 3Цq фазами в двумерной модели кристалла // Физика твердого тела, 2003.ЦТ.45. - №2. - С.334338.
64. Dmitriev S.V., Liu Y., Kagawa Y. A method for crystal coherency analysis // Scripta Mater. - 2003. - V.48. - 797-802.
65. Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Miroshnichenko A.E., Shigenari T., Kagawa Y., Ishibashi Y. ManyЦfield theory for crystals containing particles with rotational degrees of freedom // Ferroelectrics. - 2003. - V.283. - P. 127-139.
66. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. Stable modulated and homogeneous structures of quartz (SiO2): Analysis of eigenЦmodes near phase transition points // Ferroelectrics. - 2003. - V.283. - P. 141-147.
67. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. SecondЦorder type symmetry breaking preceding the first order incommensurateЦto - phase transition in quartz // Журнал физической химии. - 2003. - Т.77. - С. 30-33.
68. Dmitriev S.V., Semagin D. A., Shigenari T., Abe K., Nagamine M., Aslanyan T. A. Molecular and lattice dynamical study on modulated structures in quartz // Phys. Rev. B. - 2003. - V.68. - P. 052101-052104.
69. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Kagawa Y., Kohyama M. Coherency of copper/sapphire interface studied by atomistic simulation and geometrical analysis // Surf. Sci. - 2003. - V.542. - P. 45-55.
70. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Malomed B.A., Frantzeskakis D.J. Two - soliton collisions in the Salerno model // Phys. Rev. E. - 2003. - V.68. - P.
056603-056609.
71. Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Yoshikawa N. Microscopic rotational degrees of freedom in solid state physics // Recent Res. Devel. Physics. - 2003. - V.4. - P. 267-286 (обзор).
72. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Kagawa Y. Misfit accommodation at the Cu(111)/ЦAl2O3(0001) interface studied by atomistic simulation // Comp.
Mater. Sci. - 2004. - V.29. - P. 95-102.
73. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Kohyama M., Tanaka S., Yang R., Kagawa Y.
Atomistic structure of the Cu(111)/ЦAl2O3(0001) interface in terms of interatomic potentials fitted to ab initio results // Acta Mater. - 2004. - V.52. - 1959-1970.
74. Semagin D.A., Shigenari T., Dmitriev S.V., Abe K. Numerical analysis of atomic motion in the incommensurate phase of quartz (SiO2) in the vicinity of phase transition // phys. stat. sol. (c). - 2004. - V.1. - P. 3057-3060.
75. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Vasiliev A.A. Topological soliton dynamics in media with microscopic rotations // Proceeding of IUTAM Symposium on Mesoscopic Dynamics of Fracture Process and Materials Strength, edited by H. Kitagawa and Y. Shibutani. - Kluwer Academic Publishers. - Dordrecht.
- 2004. - P. 279-288.
76. Kevrekidis P.G., Dmitriev S.V., Takeno S., Bishop A. R., Aifantis E. C. Rich example of geometrically induced nonlinearity: From rotobreathers and kinks to moving localized modes and resonant energy transfer // Phys. Rev. E. - 2004. - V.70. - P. 066627-066632.
77. Dmitriev S.V., Li J., Yoshikawa N., Shibutani Y. Theoretical strength of 2D hexagonal crystals: application to bubble raft indentation // Phil. Mag. - 2005. - V.85. - P. 2177-2195.
78. Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Yoshikawa N., Shigenari T., Ishibashi Y.
MultiЦcell continuum approximation for discrete medium with microscopic rotations // phys. stat. sol. (b). - 2005. - V.242. - P. 528-537.
79. Dmitriev S.V., Li J., Yoshikawa N., Tanaka Y., Kagawa Y., Kitamura T., Yip S. Breaking atomic bonds through vibrational mode localization // in:
Defect and Diffusion Forum, edited by D.J. Fisher. - Trans. Tech. Publications. - Switzerland. - 2004. - V.233Ц234. - P. 49-60.
80. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Vasiliev A.A., Kagawa Y. Models for crystals with microscopic rotations. Discrete models and continuum approximations // in: Proc. of the 5th Int. Conf. for Mesomechanics УMesomechanics of Computation and Design of UseЦSpecific MaterialsФ edited by G. C. Sih, S. Sakai, V. E. Panin. - Tokyo. - Japan. - 2003. - P. 143-148.
81. Hangai Y., Yoshikawa N., Dmitriev S.V., Kohyama M., Tanaka S. Large scale atomistic simulation of Cu/Al2O3 interface via quasicontinuum analysis // J. Japan Inst. Metals. - 2005. - V.69 - P. 90-95 (на японском языке).
82. Dmitriev S.V., Kitamura T., Li J., Umeno Y., Yashiro K., Yoshikawa N.
NearЦsurface lattice instability in 2D fiber and halfЦspace // Acta Mater. - 2005. - V.53. - P. 1215-1224.
83. Takeno S., Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Bishop A.R. Nonlinear lattices generated from harmonic lattices with geometric constraints // Phys. Rev. B.
- 2005. - V.71. - P. 014304-014312.
84. Hangai Y., Yoshikawa N., Dmitriev S.V., Kohyama M., Tanaka S. Quasicontinuum analysis of alumina/copper interface // J. Japan Inst. Metals. - 2005. - V.69. - P. 194-197 (на японском языке).
85. Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Miroshnichenko A.E., MultiЦfield continuum theory for medium with microscopic rotations // Int. J Solids Struct. - 2005. - V.42. - P. 6245-6260.
86. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N. Discrete KleinЦGordon models with static kinks free of the PeierlsЦNabarro potential // J. Phys. A: Math.
Gen. - 2005. - V.38. - P. 7617-7627.
87. Kevrekidis P.G., Dmitriev S.V. Soliton collisions // in: Encyclopedia of Nonlinear Science, edited by Alwyn Scott. - Routledge Taylor & Francis Group. - New York. - 2005. - P. 148-150 (статья в энциклопедии).
88. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Tanaka Y., Kagawa Y. Plasticity at a Cu / - Al2O3 interface with nanovoids // Mater. Sci. Eng. A.Ц2006.ЦV.418.ЦP.36-44.
89. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Kohyama M., Tanaka S., Yang R., Tanaka Y., Kagawa Y. Modeling interatomic interactions across Cu /ЦAl2O3 interface // Comp. Mater. Sci. - 2006. - V.36. - P. 281-291.
90. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N. Standard nearest neighbor discretizations of KleinЦGordon models cannot preserve both energy and linear momentum // J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - V.39. - P. 7217-7226.
91. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Sukhorukov A.A., Yoshikawa N., Takeno S.
Discrete nonlinear Schrdinger equations free of the PeierlsЦNabarro potential // Phys. Lett. A. - 2006. - V.356. - P. 324-332.
92. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J., Exact static solutions for discrete models free of the PeierlsЦNabarro barrier:
Discretized firstЦintegral approach // Phys. Rev. E.Ц2006.ЦV.74. - P.
046609-046623.
93. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Pirouz P. Optimal orientation relation for interfaces between dissimilar crystals // in: Trends in Surface Science Research, edited by Norris C.P. - Nova Science Publishers. - New York. - 2006. - P. 209-232 (обзор).
94. Dmitriev S.V., Pirouz P., Starostenkov M.D., Chernykh E.V. Optimal orientation relation for interfaces between dissimilar crystals // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2006. - Т.34, №3. - С. 6983.
95. Дмитриев С.В., Старостенков М.Д., Черных Е.В. Нестабильность решетки вблизи поверхности в 2D волокне // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2006. - Т.34, №3. - С. 107-117.
96. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J., Exact stationary solutions for the translationally invariant discrete nonlinear Schrdinger equations // J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - V.40. - 1727-1746.
97. Dmitriev S.V., Auxetic behavior of crystals from rotational degrees of freedom // Ferroelectrics. - 2007. - V.349. - P. 33-44 (обзор).
98. Kevrekidis P.G., Dmitriev S.V., Sukhorukov A.A., On a>
99. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Khare A., Saxena A., Exact static solutions to a translationally invariant discrete model // J. Phys. A: Math. Theor. - 2007.ЦV.40. - P. 6267-6286.