Geum.ru
   Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

ГОРНОВ Александр Юрьевич

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Иркутск - 2007

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Столяров Лев Николаевич, член-корреспондент РАН Ушаков Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор Елисеев Сергей Викторович.

Ведущая организация:

Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской Академии наук.

Защита диссертации состоится л 2007 г. в ч. на заседании диссертационного совета Д 218.004.01 в ГОУ ВПО Иркутский государственный университет путей сообщения ФАЖТ Российской Федерации по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Иркутский государственный университет путей сообщения ФАЖТ России.

Автореферат разослан: л 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук Н.П. Деканова

Общая характеристика работы

Актуальность работы определяется тремя существенными факторами.

Первым из них является значимость математического моделирования как одного из важнейших методов научных исследований, характеризующегося постоянным расширением областей применения и привлечением специалистов из разных предметных областей, не всегда обладающих высокой математической квалификацией. Корректность (правдоподобие, адекватность) математических моделей является необ ходимым условием практического использования созданных моделей и имеющихся программных средств. В то же время этот вопрос недостаточно проработан: отсутствуют методики оценки правдоподобия и корректировки математических моделей, что затрудняет процесс создания адекватных моделей и их верификации.

Вторым фактором, определяющим актуальность работы, является объективная трудность решения задач оптимизации динамических систем, и, как следствие, недостаточность существующих технологий и программных комплексов для решения таких задач. Необходимы сравнительный анализ существующих технологий и программных комплексов, разработка общего методического подхода к решению поставленной проблемы и реализации программных инструментальных средств, позволяющих детально исследовать поставленные задачи оптимизации. Решение этой проблемы треб ует разработки соответствующих методик оценки качества алгоритмов и программ и их сравнительной оценки.

Третий фактор связан с одной из современных тенденций развития информационных технологий, а именно, с переходом к использованию Internet как среды программирования, к созданию распределенных программных комплексов, вычислительных серверов, ядром которых являются специализированные комплексы программ, и специализированных Web-сервисов (Web-служб), предоставляющих пользователям спектр вычислительных услуг. Использование технологии Web-сервисов позволяет эффективно решить проблему отчуждаемости программного продукта от его разработчиков. Для реализации этих тенденций при решении задач оптимального управления необходимы адаптация унаследованного программного обеспечения, разработка технологии создания Web-сервисов в области оптимального управления и технологии экспертной поддержки удаленных пользователей, не всегда обладающих требуемой математической и/или программистской квалификацией.

Разработка программных средств для решения задач оптимального управления (ЗОУ) началась еще в 60-х годах и велась во многих научных организациях. Среди российских пакетов программ для ЗОУ необходимо упомянуть программный комплекс CONTROL (Федоренко Р.П., Попов В.С., ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, ЭВМ БЭСМ-6, ЭВМ VAX); программный комплекс ДИСО - ДИалоговая Система Оптимизации (Евтушенко Ю.Г., Грачев Н.И., В - АН СССР, ЭВМ БЭСМ-6, IBM PC, блок Оптимальное управление); ППП ЛЗОУ для линейных задач (Тятюшкин А.И., ИрВ - СО РАН, ЭВМ БЭСМ-6); ППП МАПР - Математическое программирование в многомерных задачах (Тятюшкин А.И., ИрВ - СО РАН, ЭВМ БЭСМ-6, ЭВМ Эльбрус), ППП для ЗОУ (Гурман В.И., Батурин В.А., ЭВМ БЭСМ-6), ППП КОНУС - Комплексная Оптимизация Нелинейных Управляемых Систем (Жолудев А.И., ИрВ - СО РАН, ЕС ЭВМ, IBM PC). Аналогичные работы велись и за рубежом. Среди известных программных средств - RIOTSMATLAB - Recursive Integration Optimal Trajectory Solver (A. Schwartz, E. Polak, Y. Chen); SOCS - Sparse Optimal Control Software (J. Betts); PDECON - (K. Schittkowski, University of Bayreuth, Germany, 1997); программные технологии Argonne National Laboratory (J. More, A. Bondarenko, D. Bortz) на основе программных комплексов DONLP2, LANCELOT, MINOS, SNOPT, LOQO; MISER3 (K.L. Teo, C.J. Goh, Hong Kong Polytechnic University);

DIRCOL (O. von Stryk, Darmstadt University, Germany); MINOPT (C. Schweiger, C. Floudas, Princeton University).

Несмотря на значительные усилия многих специалистов, решение практических задач оптимального управления продолжает оставаться серьезной проблемой. С другой стороны, сложность совpеменных пpикладных задач оптимального упpавления пpедъявляет высокие тpебования как к самим вычислительным методам оптимизации, так и к пpогpаммному обеспечению этих задач. Постpоению численных пpоцедуp поиска оптимальных pешений в задачах оптимизации динамических систем посвящено большое количество публикаций, сpеди котоpых следует отметить работы Р. Беллмана, А. Брайсона, О.В. Васильева, В.В. Величенко, Р. Габасова и Ф.М. Кирилловой, Ю.Г. Евтушенко, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, В.Ф. Демьянова и А.М. Рубинова, Ю.М. Ермольева, Н.Н. Красовского, Н.Н. Моисеева, В.А. Срочко, А.И.

Тятюшкина, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько, Т.М. Энеева. Однако унивеpсальные алгоpитмы, оpиентиpованные на pешение шиpокого класса задач, недостаточно гибко учитывают специфические особенности задачи и, несмотpя на высокую пpоизводительность совpеменных ЭВМ, часто тpеб уют чpезмеpных затpат машинного вpемени и объема опеpативной памяти.

Теоретические результаты, направленные на конструирование вычислительных методов построения внутренних и внешних аппроксимаций множеств достижимости нелинейных управляемых систем, развивались в последние годы в работах ряда авторов, среди которых нельзя не отметить работы Ф.Л. Черноусько, А.А. Толстоногова, А.Б. Куржанского, А.В. Лотова, М.М. Хрусталева, В.Н. Ушакова, М.С. Никольского, А.И. Панасюка, А.Г. Ченцова, В.А. Комарова, Г.Н. Константинова, А. Дончева, S. Raczynski, P. Wolenski, F. Lempio, A. Kastner-Maresch, A. Cellina, H. Frankowska, R.W.

Brockett. Ими были предложены несколько принципиально различных подходов к построению численных процедур аппроксимации множеств достижимости и интегральных воронок. Однако известные к настоящему времени алгоритмы для такого типа задач не всегда могут обеспечить надежное решение и треб уют дальнейшего развития. Еще одной проблемой, к настоящему моменту не имеющей удовлетворительного решения, является проблема поиска глобального экстремума в ЗОУ, по которой известны лишь несколько публикаций. Разpаботка адаптивных алгоpитмов, позволяющих гибко учитывать особенности искомого упpавления и стpуктуpу огpаничений и задача создания на этой основе надежных информационных технологий и программных продуктов, поддерживающих всю цепочку вычислительного эксперимента модель - метод - алгоритм - программа, доступных для широкого пользователя, к настоящему времени продолжает оставаться актуальной.

Все вышеперечисленное определяет актуальность темы исследований диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является создание методологии эффективного решения задач оптимального управления путем разработки вычислительной технологии и инструментальных средств ее поддержки, а также применение разработанных вычислительной технологии и инструментальных компонентов для решения сложных прикладных задач оптимизации динамических систем.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1) исследование и сравнительный анализ существующих технологий и программных комплексов для решения задач оптимального управления;

2) разработка методического подхода к построению вычислительной технологии, основанного на использовании методов оценки правдоподобия оптимизационных моделей и качества алгоритмов оптимизации, а также современных информационных технологий (Web-сервисов);

3) создание методик оценки правдоподоб ия и корректировки оптимизационных моделей;

4) разработка алгоритмов оптимизации, отвечающих требованиям эффективности, надежности, точности, создание методик оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов;

5) создание программных средств, реализующих перечисленные методики и алгоритмы и соответствующих требованиям, предъявляемым к современным программным комплексам;

6) разработка технологии решения задач оптимального управления в Internet и экспертной поддержки удаленного пользователя.

Методы исследования включают методы математического моделирования, системного анализа, теории программирования, конечномерной оптимизации, теории управления, численного анализа.

Научная новизна. Впервые для решения задач оптимального управления разработаны методологический подход и вычислительная технология, основанные на применении современных информационных технологий (Webсервисов) и включающие методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей; алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности; методики оценки качества и регулярного тестирования алгоритмов; инструментальные средства решения задач оптимального управления в виде специализированного вычислительного сервера в Internet, а также технологию решения задач оптимального управления через Internet и технологию экспертной поддержки удаленного пользователя.

На защиту выносятся:

1) методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

2) алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности;

3) методики оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов;

4) технология решения задач оптимального управления через Internet;

5) технология экспертной поддержки удаленного пользователя.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке инструментальных средств для решения задач оптимального управления и их использовании для решения прикладных задач из различных областей науки и техники, а также в обеспечении возможности специалистам различных прикладных областей решать задачи оптимального управления с использованием созданного вычислительного сервера через Internet.

Результаты диссертационной работы являются обобщением более чем двадцатипятилетней научно-производственной деятельности соискателя.

Разработка и применение предложенных в диссертации вычислительной технологии и программных средств, выполненные в течение 1981-2007 гг., производились в рамках плановых тем ИДСТУ СО РАН и хоздоговорных тем с Раменским приборостроительным КБ (от 01.03.1991 Разработка диалогового комплекса программ для решения задач оптимального управления; № 2/от 01.01.1992 Создание комплекса программ для разработки алгоритмов управления самолетом в общепилотажных режимах, специальных режимах и режимах наведения), Институтом программных систем РАН (№ 32/90 от 01.09.1990 Программная реализация комплекса OPTCON для задач оптимального управления), Институтом систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН (№ 82/89 от 01.08.1990 Исследование принципов оптимального управления передачами постоянного тока в составе основной сети ЕЭЭС СССР; № 39/2 от 01.04.2002 Научно-исследовательская работа по созданию вычислительного ядра вычислительного сервера OPTCON для задач оптимального управления).

Кроме того, результаты работы внедрены в грантах РФФИ № 99-01-002Свойства динамических систем, связанные со структурой множества их решений, и приложения; Глобального экологического трастового фонда (ГЭФ) по проекту Сохранение биоразнообразия Российской Федерации, № IO10008-S3 Разработка и внедрение механизмов устойчивого природопользования в Центральной экологической зоне озера Байкал; РФФИ № 0101-00101 Параллельные вычисления и многометодная технология решения задач оптимального управления с автоматическим выбором метода; РФФИГФЕН Китая № 02-01-39006 Оптимизация и идентификация эволюционных управляемых систем и приложения к хемивариационным неравенствам;

РФФИ № 03-01-00203 Параметрическая оптимизация управляемых систем;

РФФИ № 02-07-90343 Internet-технология поддержки удаленного пользователя пакета прикладных программ OPTCON-2 для решения сложных задач оптимального управления; РФФИ № 04-01-00857 Разработка численных методов для жестких систем и дифференциально-алгебраических уравнений, возникающих при решении вырожденных задач оптимального управления, РФФИ № 04-07-90401 Инструментальные средства экспертной поддержки математического моделирования, доступные пользователям с применением Internet-технологии; РФФИ № 06-01-00247 Исследование эволюционных включений и управляемых систем с операторами монотонного типа, РФФИ № 06-07-89215 Информационно-вычислительная система для экспертной поддержки пользователей математических пакетов, применяемых в слабоформализованных предметных областях (медицина, биология, геология, география); грантом фундаментальных исследований СО РАН № 2003-3 Методы, технологии и инструментальные средства создания вычислительной инфраструктуры в Internet; грантом РГНФ № 04-02-00271 Разработка методов и технологии моделирования динамических систем в экономике;

грантом Иркутской областной администрации Медико-экономический прогноз развития трудовых ресурсов промышленных центров Иркутской области.

ичный вклад автора. Все теоретические результаты диссертационной работы получены лично автором. Программные реализации алгоритмов и методик выполнены автором, за исключением системных компонентов ПК OPTCON, реализованных А.О. Диваковым, и системных компонентов вычислительного сервера OPTCON, реализованных Д.В. Подкаменным. Из совместных работ, опубликованных в соавторстве, в диссертации использованы результаты, полученные автором лично.

Достоверность полученных результатов. Результаты и выводы, представленные в диссертации, обоснованы корректным применением математического аппарата и проведением многовариантных вычислительных экспериментов, подтверждающих работоспособность разработанного инструментария.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на международных, всесоюзных и всероссийских научных конференциях: VII Всесоюзной конференции Проблемы теоретической кибернетики (Иркутск, 1985); Байкальских школах-семинара х Методы оптимизации и их приложения (Иркутск, 1983, 1986, 1989, 1992, 2001, 2005); Всесоюзных симпозиумах Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования, IX (Минск, 1986), X (НарваЙыэссу, 1988) и XI (Кострома, 1990); VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986); IV Международной конференции по пограничным и внутренним слоям (BAIL-IV, Новосибирск, 1986);

Всесоюзном совещании Обеспечение надежности при управлении развитием и функционированием электроэнергетических систем (Иркутск, 1988);

Международной школе СЭВ Экологические основы управления и планирования ландшафта (Новы Двур, ЧССР, 1988); III Международной конференции Differential inclusions and control (Переславль-Залесский, 1998); Международной конференция по распределенным системам Экономика и охрана окружающей среды (Екатеринб ург, 2000); Международной конференции Математика, Интеллект, Управление (Иркутск, 2000); Международной конференции по нелинейной демографии (Германия, Росток, 2000); III Международной конференции Проблемы управления и моделирования в сложных системах (Самара, 2001); Международной конференции Optimization and Optimal Control (Улан-Батор, Монголия, 2002); Байкальских конференциях по информационным технологиям (Иркутск, 1993, 1996, 1998-2003); V Всероссийском семинаре Моделирование неравновесных систем (Красноярск, 2002); II-III Региональных школах-семинарах Распределенные и кластерные вычисления (Красноярск, 2002, 2003); IV Российской конференции Дискретный анализ и исследование операций (Новосибирск, 2002); Выездном заседании координационного научного совета по программе Информационные и телекоммуникационные ресурсы СО РАН (Иркутск, 2002); Международном симпозиуме Обобщенные решения в задачах управления (Переславль-Залесский, 2002); Международной конференции Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании (Алма-Ата, 2002); Ляпуновских чтениях (Иркутск, 2002); XIV Понтрягинских чтениях Современные методы теории краевых задач (Воронеж, 2003); Всероссийской конференции Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы (Улан-Удэ, 2003); XII Всероссийской конференции Математическое программирование и приложения (Екатеринбург, 2003); Международной конференции Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании (Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003).

Основные результаты диссертации на разных этапах ее выполнения обсуждались в ведущих научных центрах: Вычислительном центре РАН (г. Москва), Московском государственном университете (факультет вычислительной математики и кибернетики), Вычислительном центре СО РАН (г. Новосибирск), Институте кибернетики им. В.М. Глушкова (г. Киев), Институте проблем управления РАН (г. Москва), Центральном экономикоматематическом институте РАН (г. Москва), Институте программных систем РАН (г. Переславль-Залесский), Институте математики и механики УрО РАН (г. Екатеринб ург), Институте математики СО РАН (г. Новосибирск), Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск), Иркутском государственном университете, Институте систем энергетики им. Мелентьева СО РАН.

Публикации по теме диссертации включают 62 работы, среди которых статей в журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК для публикации основных результатов; одна монография; 18 публикаций в трудах международных, 13 - в материалах всероссийских научных конференций; остальные публикации - в сборниках трудов научных организаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, шести приложений и списка литературы из 251 наименования. Общий объем работы составляет 395 страниц, в тексте содержится таблиц и 17 рисунков.

Краткое содержание диссертационной работы Во введении обосновываются актуальность и практическая значимость проведенных в диссертационной работе исследований, приводятся иерархия рассматриваемых в работе формализованных задач и краткое изложение основных результатов по главам. Автор выражает искреннюю благодарность за Рис. 1. Структура и состав диссертационной работы внимание, оказанное работе, академикам РАН Ю.И. Шокину, С.Н. Васильеву, Ю.Г. Евтушенко, И.И. Еремину и члену-корреспонденту РАН А.А. Толстоногову.

Структура и состав диссертационной работы, отражающие содержание понятия вычислительная технология, приведены на рис. 1.

Задачи, рассматриваемые в диссертации, разделены на типовые (классы задач) и конкретные (экземпляры из классов задач). Иерархия математических задач, рассматриваемых в диссертационной работе, показана на рис. 2.

Конкретные задачи сгруппированы в коллекции тестовых задач. Кроме того, к конкретным задачам отнесены прецеденты решенных прикладных задач оптимизации динамических систем.

Рис. 2. Иерархия математических задач, рассматриваемых в диссертационной работе Типовые задачи включают:

- задачу оптимального управления со свободным правым концом (ЗОУСК) & x = f (x(t),u(t),t), x(t0) = x0, T = [t0,t1], ul u(t) ug, I0 (u) = 0 (x(t1)) min, - задачу оптимального управления с терминальными ограничениями (ЗОУТО), в которой к ЗОУСК добавляются ограничения I (u) = (x(t1)) = ()0, j = 1, m, j j - задачу оптимального управления с фазовыми ограничениями (ЗОУФО), в которой к ЗОУТО добавляются ограничения I (u) = g (x(t),u(t),t) 0, j = 1, mt, j j и задачи фазового оценивания.

Нередко встречающиеся на практике задачи с интегральными функционалами, задачи с недифференцируемыми функциями в правых частях, задачи с фазовыми ограничениями-равенствами, задачи с промежуточными ограничениями, задачи с нефиксированным временем процесса, задачи с запаздыванием и другие, решение которых возможно путем редукции с типовым задачам, отнесены к так называемым задачам широкого класса.

В первой главе выполнен анализ классов задач оптимального управления, рассмотрены существующие попытки построения вычислительных технологий для решения задач этих классов.

Формулируется проблема правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей и приводятся впервые разработанные методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационной модели (ОМ). Приведены введенные определения правдоподобия и меры правдоподобия. М правера mp = P /W доподобия ОМ определяется как, мера неправдоподобия:

mQ = Q /W W, где - количество утверждений и соответствующих тесто в P опровержения, имеющихся для исследуемой ОМ, - количество правдопоQ - добных свойств ОМ (опровержение не найдено), количество неправдоподобных свойств ОМ (опровержение найдено). По определению, имеет меmp + mQ = сто очевидное равенство.

Коррекцией ОМ называется процедура (сценарий) ее изменения, модификации, замены, увеличивающая меру ее правдоподобия относительно некоторого списка свойств. Вводятся сценарии доказательства правдоподобия оптимизационных моделей, основанные на опровержении утверждений о наличии тех или иных свойств модели.

Суть предложенной методики состоит в поэтапном выделении треб уемых свойств, формулировке соответствующих утверждений и попытке их опровержения. В каждом случае ставится и решается задача поиска контрпримера к постулированному утверждению. Постановка данной вычислительной задачи и оценка успешности ее решения (опровержение свойства) выполняются экспертом. Неуспешность решения (ситуация, когда не удается опровергнуть утверждение) является доказательством правдоподобия этого свойства, таким образом, сценарии доказательства правдоподобия свойств модели тождественны сценариям опровержения утверждений. В работе рассмотрены 14 вариантов типовых свойств ОМ и соответствующих им сценариев их опровержения. Ниже приводится пример одного из сценариев.

Пусть имеются: а) структура системы дифференциальных уравнений (СДУ) с неизвестными коэффициентами; б) экспериментальная кривая x (t); в) критерий близости решения СДУ и x (t) ; г) пороговое значение Э Э критерия близости.

Э Утверждение 1. Среди решений СД имеется траектория, не превыУ шающая порогового значения критерия близости к x (t).

Э Сценарий опровержения утверждения 1.

1. Выбирается пороговое значение, полагается рекордное значение целеЭ вого функционала M = .

REC t2. Для имеющейся СДУ формулируется ЗОУ: min (x(t) - x (t))2 dt.

Э t3. Выбирается начальное значение набора коэффициентов (псевдослучайный вектор).

4. Решается ЗОУ, сформулированная на шаге 2.

t* M = min ( x ( t ) - x ( t )) dt 5. Запоминается Т Э, где x* (t) - оп t тимальная траектория в ЗОУ.

M < M M = M 6. Если, полагается.

Т REC REC Т 7. Производится экспертная оценка необходимости продолжения процесса поиска набора коэффициентов. Если эксперт решил продолжить поиск (решение эксперта - да), то производится переход на шаг 3.

8. Если M > - утверждение 1 считается опровергнутым, иначе - доREC Э казанным.

Сценарий завершен.

Вторая глава посвящена рассмотрению мультиметодных технологий решения задач оптимального управления. Сформулированы принципиальные положения мультиметодной технологии. Автор предлагает отличающуюся от традиционной трактовку термина мультиметодность, подразумевающую интеграцию совокупности не только математических, но и инженерных методов решения ЗОУ. В главе описаны разработанные автором алгоритмы для решения ЗОУ с параллелепипедными, терминальными и фазовыми ограничениями, глобализующие алгоритмы. Рассмотрены предложенные автором специализированные вычислительные схемы для различных типов задач, приведенных на рис. 2, а также способы дискретизации непрерывной задачи и оценки градиентов функционалов, алгоритмы верификации компонентов ЗОУ и фазового оценивания.

Главным ресурсом повышения эффективности и надежности пакетов оптимизации, по мнению автора, являются многометодные комбинированные схемы применения алгоритмов, позволяющие использовать сильные стороны разных методов на различных стадиях решения.

В основе мультиметодной вычислительной технологии лежат разработанные автором модификации алгоритмов, качество которых исследовано с помощью предложенных методик. Эти алгоритмы перечислены ниже.

М етоды безусловной оптимизации (ЗОУСК): 1) алгоритмы, основанные на принципе максимума; 2) классические алгоритмы сопряженного градиента Флетчера-Ривса и Полака-Поляка-Рибьера; 3) овражный алгоритм Нестерова;

4) Spectral Projected Gradient Евтушенко; 5) алгоритм выпуклых оболочек;

6) квазиньютоновский алгоритм BFGS; 7) алгоритм Ньютона; 8) алгоритм покоординатного спуска; 9) поисковый алгоритм Пауэлла; 10) двухпараметрический метод сопряженного градиента.

М етоды учета параллелепипедных ограничений (ЗОУСК): 1) алгоритм условного градиента; 2) алгоритм проекции градиента; 3) алгоритмы неэквивалентных преобразований.

М етоды учета терминальных ограничений (ЗОУТО): 1) алгоритм внешних штрафных функций; 2) алгоритм модифицированной функции Лагранжа;

3) алгоритм линеаризации; 4) алгоритм точной дифференцируемой штрафной функции.

М етоды учета фазовых ограничений (ЗОУФО): 1) алгоритм внешних штрафных функционалов; 2) алгоритм функциональных множителей Лагранжа; 3) алгоритм параметризации ограничений; 4) алгоритм нелинейного приведенного градиента.

М етоды глобализации решения: 1) случайный мультистарт; 2) методы, основанные на аппроксимациях множества достижимости.

Ниже приведены примеры модификации некоторых алгоритмов.

Пример 1. Метод, предложенный Ю.Е. Нестеровым для минимизации сильно выпуклых функций, предполагает априорное знание константы сильной выпуклости и константы Липшица для градиента. Модификация этого метода для задачи оптимального управления (ЗОУСК) включает встроенные механизмы оценки данных констант на итерациях алгоритма.

М одифицированны й овражный алгоритм Нестерова.

0. Полагается A0 = M = L0 = 1, v0 (t) = u0 (t), t T.

На k -й итерации (k 0):

k k k Lk ( )2 = (1- ) Ak.

1. Вычисляется > 0 из уравнения 2. Полагается yk (t) = arg min {I0(u(,)) u(,t) = uk (t) + [vk (t) - uk (t)],- < }, t T.

3. Ищется uk +1(t) = arg min {I0(u(,)) u(,t) = yk (t) - I0(yk (t)), 0 < }, t T.

k k k 4. Вычисляется Ak+1 = M + (1- )Ak.

I0 (uk +1(t)) - I0 (uk (t), uk +1(t) - uk (t) k 5. Вычисляется N =, t T.

uk +1(t) - uk (t) k +1 k k 6. Оценивается M = min {N, M }.

k 7. Оценивается Lk +1 = max {N, Lk }.

8. Полагается k k Ak M k k vk +1(t) = (1- ) vk (t) + yk (t) - I0 (yk (t)), t T.

Ak+1 Ak +1 Ak +Итерация завершена.

Пример 2. Сфоpмулиpуем модифициpованную функцию Лагpанжа следующего вида:

m m M (u, y, s) = I0 (u) + y I (u) + I (u) L j j s j j.

j=1 j=Здесь s, j = 1, m - коэффициенты штpафа (или, в дpугой теpминологии, j коэффициенты pегуляpизации).

Алгоритм модифицированной функции Лагранжа для ЗОУТО имеет вид:

1. Выбиpается начальное пpиближение u0 (t), y0, s0, j = 1, m.

j j K K 2. C имеющимися y, sK, используя u (t) в качестве начального пpиближения, pешается задача K K +1 K M (u, yK, s ) = M (u, y, sK ) min L L.

uU 3. Вычисляется новое пpиближение по двойственным пеpеменным K K K +yK +1 = y + 2 s I (u ), j = 1, m.

j j j j 4. Опpеделяется относительное изменение двойственных пеpеменных K +1 K y - y j j ymax = max, j = 1, m.

K +1+ y j 5. Если ymax > ( - алгоритмический паpаметp) - увеличиваются все коэффициенты штpафа sK +1 = 10 sK, j = 1, m.

j j 6. Если ymax , то увеличиваются те коэффициенты штpафа, котоpые не позволили существенно уменьшить соответствующие невязки K K +1 K s 10, I (u ) > 0,25 I (u ) j j j K +s = j.

K K +1 K s, I (u ) 0,25 I (u ) j j j 7. K = K +1, переход на шаг 2.

Алгоритм завершен.

Разработан параллельный мультиметодный алгоритм для ЗОУСК, позволяющий автоматически строить вычислительную схему для конкретной задачи. Идея мультиметодного алгоритма заключается в поочередном применении всех базовых алгоритмов, выборе из них победителя, и старте следующей итерации, начиная с управления, достигнутого победителем. Базовые алгоритмы на каждой итерации останавливаются по достижении своих критериев остановки или после решения заданного количества задач Коши.

Мультиметодный алгоритм заканчивает работу, если ни один из базовых алгоритмов не смог улучшить значение целевого функционала более, чем на априори заданное значение. На рис. 3 показана схема мультиметодного параллельного алгоритма, далее приведен пример его применения.

Рис. 3. Схема мультиметодного параллельного алгоритма Для решения невыпуклых задач оптимального управления разработана и реализована вычислительная технология для ЗОУСК, основанная на методе случайного мультистарта, включающая:

1) четыре алгоритма генерации псевдослучайных стартовых управлений, основанных на различных гипотезах о структуре стартовых управлений;

2) два алгоритма селекции экстремумов, учитывающих значение целевого функционала, терминальное состояние системы и вид локальнооптимального управления;

3) критерий остановки алгоритма в виде модифицированной статистической оценки вероятности существования ненайденных локальных экстремумов;

4) алгоритм оценки объемов областей притяжения различных экстремумов.

Рис. 4. Задача из тестовой коллекции невыпуклых ЗОУ.

Крестиками отмечены места нахождения локальных экстремумов Пример оформления решенной невыпуклой задачи оптимального управления из коллекции тестовых задач, включающий информацию о найденных локальных экстремумах и стационарных точках, графики оптимальных траектории и управления, аппроксимацию множества достижимости и оценки объемов областей притяжения экстремумов, приведен на рис. 4.

Алгоритмы фазового оценивания, позволяющие получить информацию о нелокальных свойствах управляемой динамической системы, могут быть полезны при конструировании вычислительных технологий для различных актуальных математических задач: интервальной математики, поиска глобального экстремума, дифференциальных игр, задач нормирования воздействий, конструирования моделей и др. Для задачи фазового оценивания - построения внутренних оценок множества достижимости - в диссертации реализованы два новых типа методов: методы максимизации объема и методы стохастической аппроксимации. Интегральные воронки аппроксимируются как последовательности множеств достижимости, построенные в различные моменты времени.

В методах максимизации объема, ориентированных на решение задач фазового оценивания на плоскости, используется идея об аппроксимации границы множества достижимости кусочно-линейными правильными контурами и максимизации объема тел, ими ограничиваемых. Для получения равномерных аппроксимаций используется специализированный функционал, штрафующий за неравномерность аппроксимирующих контуров. Численное решение вспомогательных задач оптимального управления большой размерNR 2 N ности (, где - число ребер контура, требует применения специR альной технологии оптимизации.

NR Сконструируем управляемую систему из подсистем & y = f (y, v,t), y (t0 ) = x0, t [t0,t1], j j j j j = 1, NR y = (y1, y2 ), v (t) U,, j j j j каждая подсистема соответствует одной вершине аппроксимирующего конn NR тура. Размерность рассматриваемой системы, таким образом, равна :

yi (t), i = 1,n N, где n - число фазовых переменных исходной системы. Для R каждой подсистемы определен свой собственный набор управлений vi (t), i = 1,r NR r где - число управлений в исходной системе, с одинаковыми для всех подсистем параллелепипедными ограничениями; размерность r NR управлений общей системы. Объем (в двухмерном случае площадь) фигуры, ограничиваемой контуром, можно вычислить по следующей формуле:

NR I0(v) = 0.( y1 (t1) + y1-1)(y2 (t1) - y2-1(t1)) j j j j.

j=При отсутствии дополнительных требований к аппроксимирующему контуру в процессе варьирования управлений появляются звенья произвольно большого размера, что выгодно с точки зрения увеличения ограничиваемой им (контуром) площади, но приводит к очень грубой аппроксимации границы МД на некоторых участках. Для преодоления этой проблемы вводится функционал равномерной аппроксимации, штрафующий за существенно различный размер звеньев контура:

NR I1(v) = (L( y (t1) - y (t1)) - Sr )2, j j-j=где L(y - y ) = ( y1 - y1-1)2 + (y2 - y2-1)2 - длина j -го звена, j j-1 j j j j NR Sr = L( y (t1) - y (t1)) j-1 - средняя длина звена по контуру, y0 = yN R - NR j=1 j условие замкнутости контура. Аппроксимирующая ЗОУ для рассматриваемой системы в сформулированных терминах может быть поставлена в следующем виде: I0 (v) max, при условии I1(v) = 0. Пример решения задачи фазового оценивания приведен на рис. 5.

Пример 3.

Рис. 5. Решение задачи фазового оценивания для тестового примера методом максимизации объема Для задачи фазового оценивания множества достижимости управляемы х систем с разрывными правы ми частями предложена технология аппроксимации исходной системы последовательностью гладких управляемых систем.

Пример 4.

Рис. 6. Решение задачи фазового оценивания для тестового примера с разрывной правой частью Аппроксимативные задачи оптимального управления решалаются с использованием ПК OPTCON. При размерности контура 100 (что приводит к аппроксимирующей задаче с 200 фазовыми переменными и 100 управлениями) характерное время расчетов на Pentium-2/366 составило около 10 минут. На рис. 6. продемонстрирована сходимость аппроксимирующей последовательности множеств к решению рассматриваемой задачи.

М етоды стохастической аппроксимации, применимые для решения задач произвольной размерности, основаны на идее аппроксимации множества достижимости по методу Монте-Карло. Алгоритм стохастической аппроксимации содержит набор методов генерации случайных допустимых управлений различных типов: релейные управления, кусочно-линейные управления, табличные управления, сплайн-управления.

Предлагаемые подходы опробованы на большом числе тестовых примеров, используемых для задач оптимального управления и фазового оценивания. Для исследования свойств предложенных алгоритмов разработаны специализированные тестовые коллекции управляемых систем.

В третьей главе рассматриваются вопросы оценки качества алгоритмов и программных комплексов для решения ЗОУ. Автор предлагает рассматривать качество алгоритма как совокупность свойств точности, надежности и эффективности и приводит сценарии доказательства этих свойств. Под точностью алгоритма понимается его способность находить решение задачи, достаточно близкое к идеальному. Надежность алгоритма - способность находить с заданной точностью решение для любой задачи из того множества задач, для которого он предназначен. Эффективность алгоритма - способность находить решение задачи за априори указанное время.

Рассмотрена проблема оценки качества вычислительного алгоритма. Д оказательством качества оптимизационного алгоритма б удем называть процесс его тестирования в целях опровержения утверждений о его точности, надежности или эффективности. Качество алгоритма считается доказанным, если не удалось опровергнуть ни одно из трех постулируемых свойств.

Предложены сценарии доказательства свойств алгоритмов, основанные на коллекциях тестовых задач. Процесс доказательства свойства строится по принципу лот противного - выдвигается утверждение и ищется прецедент, его опровергающий. Ниже приводится пример одного из сценариев.

Пример сценария оценки точности. Точность алгоритма оценивается с помощью набора тестовых задач с известными эталонными решениями, точнее, решениями, полученными с помощью расчетов эталонными алгоритмами. Задача считается решенной точно, если значение целевого функционала отличается от эталонного не более, чем на заранее заданную величину.

Утверждение 2. Алгоритм A0 обладает свойством точности.

Сценарий опровержения утверждения 2.

0. Выбирается набор тестовых задач T = {ti,i = 1, NT }, NT - число задач в наборе, задаются - порог точности решения, t - норма критерия точности.

1. Алгоритмом A0 решаются поочередно все тестовые задачи из набора.

2. Даются экспертные оценки решений, вычисляется N - число задач, реg шения которых не превышают порога точности .

3. Вычисляется оценка точности алгоритма Ot = N / NT.

g 4. Если Ot t - утверждение 2 считается опровергнутым, иначе - истинным.

Сценарий завершен.

Далее в главе рассматриваются предложенные автором методики регулярного тестирования алгоритмов оптимизации и коллекция собранных им же тестовых задач. Предлагается использовать стресс-тестирование для доказательства нерегулярных свойств алгоритмов. Автором выполнено сравнительное тестирование алгоритма OPTCON в сравнении с несколькими известными программными комплексами (DONLP2, LANCELOT, MINOS, SNOPT, LOQO), где OPTCON в большинстве случаев выигрывает (см. пример 5). Рассмотрено также тестирование параллельной мультиметодной схемы (см.

пример 6) и приведена предлагаемая автором методика оценки качества программных комплексов для ЗОУ.

При разработке и исследовании алгоритмов использованы следующие методики тестирования: 1) сравнительное тестирование; 2) статистическое тестирование; 3) стресс-тестирование.

Сравнительное тестирование (самая известная методика) предполагает решение одних и тех же тестовых задач различными алгоритмами и сравнение результатов с целью выбора наилучших модификаций. Практически все алгоритмы, положенные в основу разработанных программных комплексов - результат естественного отбора по данной методике.

Статистическое тестирование основано на специализированных параметризованных тестах со случайным выбором их параметров. Полученные таким способом статистические выводы позволяют делать заключения о нелокальном поведении алгоритмов.

Стресс-тестирование (новая методика, предложенная автором.) направлено на получение информации о предельных свойствах программной реалиизации и представляет собой своеобразный полигон для апробации алгоритмов. Основой методики служит специальный набор тестовых примеров (тестовая коллекция), ориентированных на типовые особенности задач оптимизации.

Сформулированы требования к коллекциям тестовых ЗОУ. Помимо стандартных требований, известных для коллекций конечномерных экстремальных задач, добавлены также специфические для ЗОУ требования, такие, как овражность функционала, разномасштабность системы дифференциальных уравнений, вырожденность условий оптимальности, аргументность, недифференцируемость правых частей, многоэкстремальность и другие. Разработаны методики конструирования тестовых задач с треб уемыми свойствами, с помощью данных методик созданы специализированные коллекции для ЗОУ и задачи фазового оценивания.

Пример 5. Задача Linear Tangent Steering Problem (Boeing Computer Services).

Табл. 1. Сравнительное тестирование ПК OPTCON на задаче Linear TangentSteering Problem (Источник: Boeing Computer Sevices). Здесь N - число точек дискретизации системы, в ячейках указаны достигнутое значение целевого функционала и затраченное процессорное время. Прочерк означает, что решение данным пакетом не получено.

Пример 6. Модельная задача управления.

& x1 = x2, & x2 = 0.072 - 0.0968 x3 - 0.0605 x3 sin x1, & x3 = 0.232 (1+ u1) - 0.297 x3 + 0.0919 cos x1, I0 (u) = t1 +1000((x1(t1) + 0.4502)2 + x2 (t1) + (x3(t1) -1.043)2), * x(0) = ( - 0.0436, 0, 1.1 ), t [ 0, t1], u1(t) 1, I0 (u) = 6.301571.

Тестировались поочередно все десять б азовых алгоритмов, и затем применялась мультиметодная схема как одиннадцатый тестируемый алгоритм. Лучшее по значению минимизируемого функционала из полученных решений принималось за эталонное, и все остальные результаты сравнивались с ним.

В столбце 1 таблицы 2 указан номер тестируемого метода (см. методы безусловной оптимизации для ЗОУСК), в столбце 2 - расхождение полученного значения функционала с эталонным, в столбце 3 - решенные задачи Коши, в столбце 4 - затраченное процессорное время. После таблицы приводится последовательность номеров базовых алгоритмов, победивших на каждой итерации мультиметодной схемы.

Табл. 2. Сравнительное тестирование параллельной мультиметодной схемы.

* Метод I0 Задачи Коши Время, сек.

1 100012 12.0 Х10-2 101182 13.0 Х10-3 100045 4.9 Х10-4 100020 2.6 Х10-5 100008 4.2 Х10-6 100098 1.5 Х10-7 100105 3.4 Х10-8 29752 7.0 Х10-9 100031 9.5 Х10-10 85151 3.9 Х10-11 0 (276503) 37296 (30237) (249) Последовательность оптимальных алгоритмов: 10, 8, 8, 8, 1, 1.

Сравнительное тестирование предложенного параллельного мультиметодного алгоритма на коллекции тестовых задач в сравнении с базовыми алгоритмами, на основе которых он сконструирован, подтверждает, помимо его высокой надежности, также его высокую точность: практически во все х задачах был продемонстрирован лучший по точности результат.

Проведенными расчетами доказано, что предложенные в работе алгоритмы достаточно надежны, эффективны и конкурентоспособны при решении ЗОУ.

Четвертая глава посвящена описанию программных продуктов для решения ЗОУ, разработанных автором, а также под его руководством и при его участии. Рассматривается предложенный общий подход к реализации программных средств для ЗОУ. Технология реализации программного комплекса для решения ЗОУ включает следующие функциональные подсистемы: 1) ревизор программной постановки задачи; 2) конструктор стартового состояния; 3) настройщик дискретизации; 4) резидент обработки нештатных ситуаций; 5) конструктор вычислительных схем; 6) менеджер настройки управляющих параметров; 7) менеджер постоптимизационного анализа; 8) супервайзер вычислительного процесса.

Предложена методика конструирования алгоритма, включающая итеративно применяемые этапы его разработки и селекции: выбор математической конструкции; реализация алгоритмов для вспомогательных задач; сборка первой версии; сравнительное тестирование; оценка перспективности;

конструирование адаптационных механизмов; сравнительное тестирование;

статистическое тестирование; стресс-тестирование; интеграция с программным комплексом; опытная эксплуатация. После оснащения алгоритма необходимыми адаптационными механизмами его размер в виде текста на алгоритмическом языке может вырасти в 3-10 раз. Адаптационные механизмы включают: критерии остановки; механизмы управления работой алгоритма (алгоритмические параметры, ограничители по числу итераций, процессорному времени, числу решенных задач Коши и др.); способы согласования точностей решения всех подзадач; алгоритмы учета предыстории итерационного процесса; механизмы защиты от вычислительных особенностей (лавостов, деструктивных машинных нулей, потери значащих цифр), нормировки промежуточных данных; механизмы самоконтроля алгоритма (зацикливание, число неэффективных итераций, чрезмерная малость вариаций); средства взаимодействия с пользователем (значения параметров по умолчанию, разноуровневый вывод промежуточных результатов, диагностика выхода).

Качество алгоритмической схемы может быть принципиально оценено по К = К К К К К следующей формуле:. Здесь коэффициент 1 2 3 4 К отражает качество математического метода, лежащего в основе алгоритК ма, зависит от качества алгоритмов решения вспомогательных задач, К отражает мощность адаптационных механизмов, встроенных в алгоритм, К зависит от количества усилий по исследованию и доводке алгоритма, К числа изученных его вариантов, отражает длительность его эксплуатации, опыт его практического применения, количество найденных со временем тонких ошибок.

Предложенные методики применены при реализации программных комплексов для решения ЗОУ для разных ЭВМ и различных операционных сред:

блок нелинейного оптимального управления в ППП МАПР (ЭВМ БЭСМ-6, язык программирования АЛГОЛ-ГДР), ПК OPTCON под управлением MS DOS (язык С), версия ПК OPTCON на основе параллельных алгоритмов (MS Windows, язык С) и современная версия ПК OPTCON-2 как ядро вычислительного сервера (язык С++). Рассматриваются функциональное наполнение OPTCON-2, основные понятия, используемые при работе с сервером, и синтаксис языков математической и программной постановок задач, описанный с помощью формул Бэкуса-Наура.

В заключительном разделе главы дается сравнительный анализ качества программных комплексов для ЗОУ в соответствии с предложенной методикой экспертной оценки качества программных комплексов для ЗОУ, основанной на системе из 15 критериев, включающих: эффективность методов, адекватность методов классам задач, функциональную достаточность, функциональную незамкнутость, математическую обоснованность, вычислительную устойчивость, комплексное использование вычислительных ресурсов, качество пользовательского интерфейса и др. Выполненная с применением данной методики оценка программных средств, разработанных автором в разные годы, показывает, что по большинству характеристик последняя версия превосходит свои прототипы.

Пятая глава посвящена вопросам разработки вычислительной технологии решения ЗОУ через Internet.

Предложена общая технологическая схема постановки и решения ЗОУ, формализующая взаимодействие пользователя и эксперта (рис.7).

Рис. 7. Технологическая схема постановки и решения задачи оптимального управления Предлагается технология построения оптимизационных моделей для ЗОУ, описывается синтаксис языка содержательной постановки задачи с помощью формул Бэкуса-Наура. Технология построения математических моделей для ЗОУ предполагает использование в качестве базовой модели задачи оптимального управления класс линейно-квадратичных задач с параллелепипедными, терминальными и фазовыми ограничениями. Предлагаемая технология реализуется поэтапно: выделение существенных факторов; деление факторов на моделируемые и немоделируемые; оцифровка моделируемых факторов; генерация неуправляемой системы; исследование и коррекция неуправляемой системы; выделение управляющих воздействий; оцифровка управляющих воздействий; генерация управляемой системы; исследование управляемой системы; задание целей управления; исследование и коррекция управляемой системы.

Рассматривается проблема отчуждаемости программного обеспечения (ПО) и вопросы адаптации унаследованного ПО (ПО, не отвечающего требованиям современных информационных технологий). Предлагается, как один из путей решения проблемы отчуждаемости программных продуктов для решения ЗОУ, переход к Web-сервисам (Web-службам). Рассматривается Internet-технология решения ЗОУ с использованием вычислительного сервера OPTCON.

Технология экспертной поддержки удаленного пользователя предполагает постановку и решение различных содержательных задач из стандартного набора:

1) поиск структуры модели, описывающей исследуемое явление (структурная идентификация динамической системы);

2) поиск значений параметров модели фиксированной структуры, соответствующих имеющимся эмпирическим данным (параметрическая идентификация);

3) качественное исследование поведения модели в некоторой области ее определения (длительность переходных процессов, время стабилизации, разномасштабность движений, жесткость и т.п.);

4) поиск особых состояний системы (стационарных точек, аттракторов, магистральных и погранслойных участков и т.п.);

5) исследование предельных свойств системы (времени быстродействия, множества достижимых состояний, решений при предельных значениях параметров и т.п.);

6) поиск областей неадекватности модели;

7) упрощение модели (поиск структуры и значений параметров новой, более простой модели, аппроксимирующей известную модель с заданной точностью, контрастирование модели);

8) поиск структуры управляющих воздействий (структурная идентификация управляемой системы);

9) исследование принципиальной разрешимости поставленной задачи при заданных параметрах (перевод из точки в точку, проводка системы по заданной трубке и т.п.);

10) исследование принципиальных возможностей различных управляющих воздействий влиять на заданные функционалы (управляемость);

11) поиск оптимальных значений управляющих параметров и управленийфункций в интересах некоторого функционала (собственно задача оптимального управления);

12) поиск прямых ограничений на управляющие воздействия, позволяющих удержать систему в заданном множестве состояний (задача нормирования воздействий);

13) поиск структуры позиционного управления, управления с обратной связью (структурный синтез оптимального управления);

14) исследование оптимальных возможностей выбранного семейства управляющих функций (параметрический синтез оптимального управления);

15) исследование структуры оптимального управления на некотором множестве параметров системы (поиск поверхностей переключения, закономерностей оптимальных законов управления, зависимость от параметров модели);

16) исследование влияния ограничений на траектории системы (прямых, терминальных, фазовых, смешанных) на структуру оптимального управления;

17) выявление степени влиятельности целевого функционала и ограничений (двойственные оценки функционалов);

18) исследование нелокальных свойств заданного функционала (поиск локальных и глобального экстремумов, оценка размеров областей притяжения экстремумов).

19) приведение задачи к стандартному виду, предусмотренному входным языком применяемого программного средства;

20) построение приемлемой методики дискретизации непрерывной задачи (нахождение сетки дискретизации и метода интегрирования);

21) настройка параметров используемых алгоритмов;

22) создание подхода к преодолению вероятных нефизичностей на стартовом этапе расчетов;

23) максимально точное решение задачи при наличии достаточного большого ресурса по времени расчета;

24) максимально быстрое решение задачи с целью получения информации о качественном поведении системы на оптимальном управлении;

25) поиск вычислительной схемы, надежно решающей задачи оптимизации систем из некоторого класса или множества (решение потока однотипных задач).

На рис. 8 приведен пример интерфейса пользователя - клиента вычислительного сервера OPTCON.

Рис. 8. Пример интерфейса пользователя ПК OPTCON-В шестой главе рассматривается применение авторских программных продуктов для решения ряда прикладны х задач. Излагается общая диалоговая технология решения ЗОУ и описывается решение следующих задач: задача ориентации орбитального телескопа; планирующая посадка тяжелого летательного аппарата; задача управления манипулятором промышленного робота; оптимизация режимов электроэнергетической сети с элементами постоянного тока; задача восстановления Черных Земель в Калмыкии; задача оптимизации лесопользования; прогнозирование экономической ситуации Кабанского района Бурятии. Оценивается сложность и особенности решения рассмотренных задач.

В приложениях к работе приводятся синтаксис языка диалоговой системы ППП МАПР-ОУ, тестовая коллекция множеств достижимости управляемых систем и тестовая коллекция ЗОУ.

Основные результаты работы В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Выполнено исследование задач оптимального управления широкого класса и разработан методический подход к построению вычислительной технологии решения ЗОУ, включающий:

Х методики и технологии оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

Х алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности;

Х методики оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов и программных средств для решения ЗОУ;

Х принципы построения программных комплексов для решения ЗОУ и инструментальных средств, реализующих разработанные алгоритмы и методики.

2. Разработана основанная на применении современных информационных технологий (Web-сервисов) вычислительная технология решения задач оптимального управления, включающая:

Х технологию оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

Х технологию тестирования (сравнительное тестирование, статистическое тестирование, стресс-тестирование) алгоритмов и оценки качества программных средств;

Х технологию решения задач оптимального управления через Internet;

Х технологию экспертной поддержки удаленного пользователя;

Х инструментальные средства решения задач оптимального управления в виде специализированного вычислительного сервера в Internet.

3. Разработанные методики, алгоритмы и программные средства применены для решения ряда прикладных задач и при выполнении работ по грантам РФФИ и РГНФ.

Список основных научных публикаций В изданиях, рекомендованных ВАК 1. Горнов А.Ю. Технология экспертной поддержки постановки и решения задач оптимизации динамических систем // Вычислительные технологии. - 2003. - Т.8. - С. 276-283.

2. Горнов А.Ю. Технология оценки правдоподобия оптимизационной модели // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9(II). - С. 120-129.

3. Горнов А.Ю. Интерактивная технология генерации динамических моделей и инструментальные средства ее поддержки / А.Ю. Горнов, Л.В. Массель // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9 (II). - С.

129-136.

4. Горнов А.Ю. Создание вычислительных ресурсов в Internet на основе унаследованного программного обеспечения / Л.В. Массель, А.Ю. Горнов, Д.В. Подкаменный // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 7. - С. 247-253.

5. Горнов А.Ю. Internet-технология математического моделирования и вычислительного эксперимента для решения задач оптимального управления / В.А. Батурин, А.Ю. Горнов, Л.В. Массель // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 7. - С. 339-347.

6. Горнов А.Ю. Интеграция математических и информационных технологий: методический подход и опыт реализации / Л.В. Массель, А.Ю. Горнов, В.А. Батурин // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8. - С. 206-213.

7. Горнов А.Ю. Архитектура инструментальной среды для поддержки интерактивной технологии построения динамических моделей / Л.В. Массель, А.Ю. Горнов, Е.А. Болдырев // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 8 (III). - С. 150-157.

8. Горнов А.Ю. Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления // Вестник ИрГТУ. - 2004. - № (17). - С. 148-153.

9. Горнов А.Ю. Параллельный алгоритм поиска оптимального управления в задачах с параллелепипедными ограничениями // Вестник ИрГТУ. - 2004. - № 3 (19). - С. 104-110.

10. Горнов А.Ю. Верификация постановки и решения задачи оптимального управления // Вестник ИрГТУ. - 2006. - № 2(26). - Т.3. - С. 131Ц138.

11. Горнов А.Ю. Подход к построению нелокального синтеза оптимального управления / Т.С. Ливанцова, А.Ю.Горнов // Вестник ИрГТУ. - 2006. - № 2(26). - Т. 3. - С. 142Ц148.

12. Горнов А.Ю. Подход к исследованию невыпуклых задач оптимального управления с параллелепипедными ограничениями / А.Ю. Горнов, А.В. Данеева // Вестник Бурятского ун-та. Сер. Математика и информатика. - 2005. - Вып. 2. - Улан-Удэ. - С. 122Ц130.

13. Горнов А.Ю., Данеева А.В. Методики конструирования тестовых задач оптимального управления / А.Ю. Горнов, А.В. Данеева // Вестник Бурятского ун-та. Сер. Математика и информатика. - 2006. - Вып. 3. - Улан-Удэ. - С. 136Ц143.

14. Горнов А.Ю. Решение линейного алгеб раического уравнения с помощью нейронной сети Хопфилда / Л.Ю. Анапольский, Е.А. Петрякова, А.Ю. Горнов // Изв. Вузов. Приборостроение. - 1994. - Т. 37, вып.3-4. - С. 51Ц56.

15. Горнов А.Ю. Психофизиологические и мотивационные составляющие трудового потенциала промышленных предприятий: оценка и управление / М.П. Дьякович, Е.П. Бокмельдер, А.Ю. Горнов // Бюллетень ВСН - СО РАМН. - 2004. - № 3. - С. 24Ц27.

В других журналах и изданиях 16. Горнов А.Ю. Интеграция информационных технологий в системных исследованиях энергетики / Л.В. Массель, Е.А. Болдырев, А.Ю. Горнов и др. - Новосибирск: Наука, 2003. - 320 с.

17. Горнов А.Ю. Численное решение задач оптимального управления в пакетном режиме / А.Ю. Горнов, А.И. Жолудев, А.И. Тятюшкин // Пакеты прикладных программ. Опыт разработки. - Новосибирск: Наука, 1983. - С. 3Ц17.

18. Горнов А.Ю. Технология решения задач оптимального управления, основанная на ППП Математическое программирование в многомерных задачах / А.Ю. Горнов, А.И. Жолудев, А.И. Тятюшкин // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. - Новосибирск:

Наука, 1985. - С. 226Ц244.

19. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального управления с пограничным слоем / А.Ю. Горнов, М.Г.

Дмитриев, А.И. Тятюшкин. - 1985. - 18 с. - Деп. ВИНИТИ 09.12.1985, № 8441-В.

20. Gornov A.U. Interior and outer boundary layers in the optimal control problems. Asymptotic and numerical methods / S.V. Belokopitov, M.G. Dmitriev, A.U. Gornov et al // Proc. of the BAIL-4 Conf. - Dublin, Ireland : Boole Press Limited. - 1986. - P. 216Ц221.

21. Горнов А.Ю. Пакет прикладных программ Математическое программирование многомерных задач. 50850000709 / Р. Габасов, А.И. Тятюшкин, А.И. Жолудев и др. // Алгоритмы и программы. Инф. бюлл. - М. : ВНТИЦ. - 1986. - № 2(71). - 2068. - С. 33.

22. Горнов А.Ю. Оптимизация управления в динамических режимах ЭЭС, содержащих элементы постоянного тока / Ю.А. Горнов, Н.Г. Касимов, Ю.Н. Кучеров // Надежность при управлении развитием и функционированием электроэнергетических систем. - Иркутск: СЭИ СО РАН, 1988. - С. 200Ц208.

23. Горнов А.Ю. Динамический мониторинг деградации и восстановления пастбищ Черных Земель / Б.В. Виноградов, А.К. Черкашин, А.Ю. Горнов, К.Н. Кулик // Проблемы освоения пустынь. - Ашхабад. - 1990. - № 1. - С. 10Ц19.

24. Горнов А.Ю. Опыт применения пакета прикладных программ к задаче оптимального управления маневрирующим летательным аппаратом / С.Н. Даровских, А.И. Жолудев, А.Ю. Горнов и др. // Интеллектуализация программных средств. - Новосибирск: Наука, 1990. - C. 17Ц22.

25. Горнов А.Ю. Программное обеспечение задач оптимального управления с терминальными ограничениями: автореф. дисЕ канд. физ.-мат.

наук: 05.13.16 / Горнов А.Ю. - Иркутск, 1990. - 20 с.

26. Горнов А.Ю. Оптимизация лесопользования в таежных лесах лесосырьевой базы Усть-Илимского ЛПК / Черкашин А.К. Горнов А.Ю. // Оптимизация геосистем. - Иркутск, 1990. - С. 99Ц113.

27. Gornov A.Yu. Dynamic monitoring of degradation and restoration of pastures in the Black Lands of Kalmykia / B.V. Vinogradov, A.K. Cherkashin, A.Yu. Gornov, K.N. Kulik // Probl-Desert-Dev. New York. - N.Y.: Allerton Press. - 1990. - N1. - P. 7Ц14. 28. Gornov A.Yu. On a>

29. Gornov A.Yu. Applying the Variational Maximum Principle to a Model of Age-Specific Drug Initiation / E.P. Bockmelder, G. Feichtinger, A.Yu. Gornov // Proc. of Intern. Conf. Distributed System and Optimization (May 26-29, 2000, Ekaterinburg). ЦEkaterinburg, 2000. - P. 289Ц292.

30. Горнов А.Ю. Параметрический анализ числа решений уравнений равновесия трехузловой электроэнергетической системы / Л.Ю. Анапольский, А.Ю.Горнов // Тр. XII Байкальской Междунар. школы-семинара Методы оптимизации и их приложения (Иркутск, Байкал. 2001). - Иркутск, 2001. - Т. 6. - С. 156Ц161.

31. Gornov A.Yu. An Approach to Mathematical Modelling of Age-Specific Social and Economic Processes / G. Feichtinger, A.Yu. Gornov, E.P. Bockmelder // Тр. XII Байкальской Междунар. школы-семинара Методы оптимизации и их приложения (Иркутск, Байкал. 2001). - Иркутск, 2001. - Т. 2. - С. 216Ц221.

32. Горнов А.Ю. Программная реализация мультиметодной технологии для задач оптимального управления / А.Ю. Горнов, А.И. Тятюшкин // Сб. тр. 3 Междунар. конф. Проблемы управления и моделирования в сложных системах (Самара, 4-9 сентяб ря 2001 г.), Самара, 2001. - С.

301Ц307.

33. Горнов А.Ю. Оптимизация рекламной деятельности по вовлечению потребителей новых товаров. Распределенная модель / Е.П. Бокмельдер, А.Ю. Горнов, Г. Файхтин- Файхтингер // Оптимизация, управление, интеллект. - 2002. - № 6. - С. 149Ц157.

34. Горнов А.Ю. Параллельные алгоритмы поиска оптимального управления / А.Ю. Горнов, А.И. Тятюшкин // Тр. Междунар. симп. Обобщенные решения в задачах управления. (Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г.). - Переславль-Залесский, 2002. - С. 139Ц144.

35. Горнов А.Ю. Моделирование и численное решение социальноэкономических задач с учетом возрастной специфики. / А.Ю. Горнов, Е.П. Бокмельдер, Г. Файхтингер // Тр. Междунар. симп. Обобщенные решения в задачах управления: (Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г.). - Переславль-Залесский, 2002. - С. 160Ц165.

36. Горнов А.Ю. Метод максимизации объема для аппроксимации интегральной воронки нелинейной управляемой динамической системы на плоскости // Тр. Междунар. симп. Обобщенные решения в задачах управления: (Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г.). - Переславль-Залесский, 2002. - С. 200Ц204.

37. Gornov A.Yu. Parallel and Distributed Computations for Solving Optimal Control Problems / Tyatyushkin A.I., Gornov A.Yu. // Intern. Conf. on Optimization and Optimal Control (August 13-17, 2002, Mongolia, Ulaanbaator). - Ulaanbaator, 2002. - P. 31Ц32.

38. Горнов А.Ю. Разработка удаленного доступа к пакету прикладных программ для решения задач оптимального управления / Д.В. Подкаменный, Е.А. Болдырев, А.Ю. Горнов // Тр. II межрег. школы-семинара Распределенные кластерные вычисления. - Красноярск, 2002. - С.1 - 8.

39. Горнов А.Ю. Алгоритмы решения аппроксимативных задач математического программировcrolling="no"> Ваш обозреватель не поддерживает встроенные рамки или он не настроен на их отображение.

GEUM RU