Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ На правах рукописи
УДК 512.542 Кораблева
Вера Владимировна ПРИМИТИВНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВОЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП
01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физикоЦматематических наук
Екатеринбург, 2011
Работа выполнена на кафедре компьютерной безопасности и прикладной алгебры Челябинского государственного университета
Научный консультант: доктор физ.-мат. наук, профессор Анатолий Семенович Кондратьев
Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Лев Сергеевич Казарин доктор физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАН Виктор Данилович Мазуров доктор физ.-мат. наук, профессор Анатолий Ильич Созутов
Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. B. Ломоносова
Защита диссертации состоится 1 февраля 2011 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:
620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.
Автореферат разослан декабря 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук И. Н. Белоусов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Диссертационная работа относится к классическому направлению теории конечных групп исследованию подгруппового строения групп лиева типа. Она посвящена задаче описания свойств примитивных параболических подстановочных представлений конечных простых классических групп. В ней определяются параметры подстановочных представлений на смежных классах по параболическим максимальным подгруппам всех конечных простых классических групп.
В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами. Понятие группы с одной стороны формально просто, а с другой очень универсально. Оно отражает всеобщую закономерность природы симметрию. Многие разделы математики и естествознания используют язык теории групп в качестве рабочего, а некоторые проблемы, благодаря переходу на этот язык, получили исчерпывающее решение.
Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Изучение конечных групп в зависимости от их арифметических свойств является важным направлением в теории конечных групп, имеющим богатую историю. Классификация конечных простых групп (ККПГ) во многом сводит это изучение к случаю почти простых групп.
Другое направление исследований, восходящее еще к Эваристу Галуа, связано с изучением арифметических свойств примитивных подстановочных представлений конечных простых групп. Простыми группами называются неединичные группы без собственных нормальных подгрупп.
Простые группы занимают особое место среди конечных групп. Интерес к свойствам известных конечных простых групп вызван прежде всего их значением в ККПГ. С одной стороны, классификация зависит от знания большого числа различных свойств известных простых групп. С другой стороны, эти группы интересны сами по себе, и мы далеки от полного понимания их строения.
Одни свойства конечных простых групп изучены лучше (автоморфизмы, централизаторы инволюций), другие хуже (обыкновенные и модулярные представления, максимальные подгруппы). Отмеченные в качестве примеров свойства важны независимо от классификационной программы. Изучение свойств конечных простых групп остается актуальным и после завершения их классификации. Это связано с применениями ККПГ, с необходимостью ее ревизии, с установлением связей конечных простых групп с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о простых группах, на которые классификация не дает ответа.
Конечные неабелевые простые группы подразделяются на группы лиева типа, знакопеременные группы и 26 спорадических групп. Группы лиева типа составляют основной массив конечных простых групп. Они распадаются на классические группы лиева типа, имеющие естественные представления группами автоморфизмов векторных пространств над конечными полями, и исключительные группы. Группы лиева типа делятся также на группы Шевалле нормального типа и группы скрещенного (скрученного) типа.
Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгруппового строения данной группы. Изучение неабелевых простых групп практически невозможно без их представлений в виде групп подстановок, групп автоморфизмов векторного пространства, матричных представлений. Информация о представлениях групп подстановками используется для классификации различных типов групп и, в частности, для исследования подгрупп групп лиева типа.
Группы подстановок важный и исторически первый пример группы. Они были введены в науку Эваристом Галуа для изучения условий разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Группы подстановок возникают всюду, где изучаются симметрии объектов. Они являются инструментом для исследований геометрических, алгебраических и комбинаторных симметрий. Группы подстановок интересны не только сами по себе, но еще и потому, что, согласно известной теореме Кэли, любая группа изоморфна некоторой группе подстановок.
В постклассификационной теории конечных групп актуальными стали исследования их подгрупп и представлений (подстановочных и линейных). М. Ашбахером в [10] намечена базирующаяся на ККПГ программа описания примитивных подстановочных представлений конечных простых групп. К настоящему времени получен (при помощи ККПГ или без нее) ряд крупных общих результатов о подстановочных представлениях конечных групп лиева типа:
Х описание флаг-транзитивных представлений [19], Х классификация 2-транзитивных подстановочных представлений [12,21], Х классификация подстановочных представлений ранга три [14,17], Х классификация примитивных представлений нечетной степени [8,9,13,16].
Особо отметим завершение классификации точных подстановочных представлений минимальной степени для конечных простых групп лиева типа в работах Б. Куперстейна [11], М. Либека и Я. Саксла [18], Б. Клейдмана и М. Либека [15], В. Д. Мазурова [7], В. Д. Мазурова и А. В. Васильева [4], А. В. Васильева [1Ц3], М. А. Гречкосеевой [5].
Важный класс подстановочных представлений конечных групп лиева типа составляют их параболические представления, т. е. представления на смежных классах по параболическим подгруппам. В известном обзоре А. С. Кондратьева [6] о подгруппах групп Шевалле обосновано и указано на необходимость исследований параболических подстановочных представлений групп лиева типа. Для этого есть несколько причин:
во-первых, параболические представления часто возникали в упомянутых выше исследованиях, в частности, подстановочные представления минимальной степени как правило параболические;
во-вторых, как заметил Г. Зейц в [20], примитивные представления фиксированного ранга конечной группы лиева типа над достаточно большими полями являются параболическими;
в-третьих, существует тесная связь между параболическими представлениями группы лиева типа и ее действием на своем билдинге (см. [23]).
В приложениях часто нужно знать подстановочное представление более детально. Достаточно полную информацию о подстановочном представлении конечной группы дают следующие параметры:
Х степень, Х ранг, Х подстепени, Х строение стабилизатора точки, Х строение двойных стабилизаторов.
В упомянутых выше работах В. Д. Мазурова и А. В. Васильева эти параметры изучены для точных подстановочных представлений минимальной степени всех конечных простых групп лиева типа. В кандидатской диссертации автора [34] получено описание всех примитивных параболических подстановочных представлений исключительных групп лиева типа неминимальной степени (см. также [24Ц29]). Указанные выше параметры были получены для подстановочных представлений 2 2 групп F4(q), E6(q), E7(q), E8(q), F4(q), E6(q2), D4(q3) на смежных классах по параболическим максимальным подгруппам. В группе G2(q) с точностью до сопряжения две параболические максимальные подгруппы. Обе являются максимальными собственными подгруппами наименьшего индекса и подстановочные представления группы G2(q) по ним исследованы А. В. Васильевым в [1].
Таким образом, незавершенным оставалось описание примитивных параболических подстановочных представлений конечных простых классических групп. Классическая группа это линейная, симплектическая, ортогональная или унитарная группа над полем, а простая классическая группа это группа, изоморфная (единственному) неабелеву композиционному фактору одной из классических групп.
Цель работы. Целью диссертационной работы является доказательство следующей теоремы.
Основная теорема. Если G конечная простая классическая группа, то степень, ранг, подстепени, стабилизатор точки и двойные стабилизаторы точек подстановочного представления на правых смежных классах по каждой параболической максимальной подгруппе группы G известны.
Для исключительных групп лиева типа аналогичная теорема доказана в кандидатской диссертации автора [34]. Таким образом, впервые получено полное описание примитивных параболических подстановочных представлений всех конечных простых групп лиева типа.
Методы исследования. Для изучения параболических подстановочных представлений привлекаются методы общей теории групп, методы теории подстановочных представлений, геометрические методы, метод BN-пар. Под геометрическими методами понимаются классические методы линейной алгебры и проективной геометрии, связанные с геометрией классических групп как групп преобразований линейных или проективных пространств. Понятие BN-пары (системы Титса), формализовавшее некоторые существенные свойства строения групп лиева типа, было введено Ж. Титсом [22]. Метод BN-пар это метод изучения подгрупп группы лиева типа в терминах ее системы корней. В этом случае исследование подгруппы сводится к изучению действия группы Вейля на соответствующей системе корней.
Как показали исследования параболических представлений групп лиева типа, метод BN-пар хорошо работает, если лиев ранг группы фиксирован или ограничен. В исключительных группах самый большой лиев ранг у группы E8(q). Нахождение подстепеней для этой группы привело к вычислениям большого объема и потребовало достаточно больших и человеческих, и компьютерных усилий. Один из восьми подстановочных рангов оказался равным 1437. Из-за большого объема полностью весь результат о примитивных параболических представлениях группы E8(q) не был включен в текст [34], а был депонирован [26]. Одно лишь выписывание параметров заняло несколько десятков страниц. В классических группах лиев ранг не фиксирован. Применение метода BN-пар приводит к вычислениям еще большого объема. Это показывает теорема B, доказательство которой построено на использовании системы корней типа Al и соответствующей группы Вейля. Возникла идея для классических групп рассматривать геометрический метод, а именно использовать эти группы как группы автоморфизмов векторных пространств и в, частности, в их естественных матричных представлениях.
Метод, развиваемый в диссертации, мы назовем методом пересечений и выделим его как один из основных подходов к изучению примитивных параболических представлений классических групп. Он позволяет не только определять параметры изучаемых представлений, но и строить в явном виде матрицы двойных стабилизаторов, соответствующие подорбитам данной классической группы. Применение метода пересечений позволяет выписывать параметры примитивных параболических подстановочных представлений для любых классических групп над конечными полями. Размер лиева ранга уже не имеет значения. В этом случае доказательство проводится в терминах линейных преобразований и билинейных или квадратичных форм.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований как в теории групп, так и в ее приложениях. Методы, разработанные и используемые в диссертации, могут быть применены для изучения подгруппового строения конечных простых групп и решения других теоретико-групповых проблем. Результаты диссертации позволяют для произвольного лиева ранга l Х определять параметры (степень, ранг, подстепени, строение стабилизатора точки, строение двойных стабилизаторов) примитивных параболических подстановочных представлений конечных классических групп;
Х выписывать коммутаторные соотношения для параболических максимальных подгрупп и двойных стабилизаторов примитивных параболических подстановочных представлений групп Al(q);
Х выписывать минимальные ( по длине ) представители двойных смежных классов при разложении группы Вейля системы корней типов Al, Bl, Cl и Dl на двойные смежные классы по параболической максимальной подгруппе.
Все результаты диссертации получены без использования классификации конечных простых групп.
Апробация работы. Основные результаты диссертации в период с 2001 по 2010 годы были представлены на конференциях в Екатеринбурге (международный семинар по теории групп, 2001), Москве (международная алгебраическая конференция, 2008), Новосибирске (международная конференция УМальцевские чтенияФ, 2008, 2009, 2010), Нальчике (международная школа-конференция по теории групп, 2008, международная алгебраическая конференция, 2009), Красноярске (международная конференция УАлгебра и ее приложенияФ, 2007) и Челябинске (международная школа-конференция по теории групп, 2008) (см. также [42Ц47]). В частности, автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации на международной алгебраической конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А. И. Кострикина (Нальчик, 2009). Результаты работы докладывались на алгебраических семинарах Московского государственного университета имени М. B. Ломоносова, Института математики и механики Уральского отделения РАН, Челябинского и Южно-Уральского госуниверситетов.
Публикации. Основные результаты опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук. Все работы автора по теме диссертации [35Ц47] приведены в списке литературы. Из них статьи [35Ц41] опубликованы в журналах, которые на момент публикации входили в перечень ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии. Она изложена на 195 страницах, библиография содержит 77 наименований. Нумерация теорем, лемм и следствий в каждой главе своя, например, теорема 3. четвертая теорема третьей главы. Главы делятся на параграфы, которые иногда делятся на разделы. В начале каждой главы приводится краткое содержание этой главы и основных результатов.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Пусть G конечная группа лиева типа и P параболическая максимальная подгруппа в группе G. Рассмотрим представление группы G подстановками множества правых смежных классов группы G по подгруппе P, в котором элементу g из G соответствует подстановка, переводящая каждый смежный класс P x в P xg. Подгруппа P является стабилизатором точки P из в данном представлении, и каждый стабилизатор другой точки, отличной от точки P, сопряжен со стабилизатором P. Число m орбит стабилизатора P на называется (подстановочным) рангом подстановочного представления (G, ).
Орбиты i подгруппы P на называются подорбитами группы G, а мощности ni этих подорбит, называемые подстепенями подстановочного представления (G, ), могут быть вычислены как индексы двойных стабилизаторов Mi P z-1P z в группе P, где P z i и 0 i m - 1. Через o обозначается тривиальная орбита {P }. В соответствии с этим обозначением n0 = 1, M0 = P.
Во введении приводится мотивировка исследования и формулируются основные результаты диссертации.
Глава 1. Предварительные сведения и результаты.
Глава носит вводный характер. В первом параграфе приведен список используемых обозначений. Во втором параграфе собраны необходимые определения и результаты из теории подстановочных представлений, излагаются общие подходы изучения примитивных подстановочных представлений. В третьем параграфе вводятся понятия алгебры Ли, группы Шевалле и приводятся их основные свойства. В четвертом параграфе обсуждаются некоторые аспекты применения двойных смежных классов при исследовании подстановочных представлений. В пятом параграфе излагаются необходимые сведения о классических группах.
Глава 2. Ранги примитивных параболических подстановочных представлений групп Al(q), Bl(q), Cl(q) и Dl(q).
Эта глава посвящена группам Al(q), Bl(q), Cl(q) и Dl(q). Глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе вычисляются ранги примитивных параболических подстановочных представлений групп Al(q), а во втором остальные параметры: степень, подстепени, строение стабилизатора точки и двойных стабилизаторов для Al(q).
Обозначим через X. Y (соответственно X : Y ) расширение (соответственно расщепляемое расширение) группы X посредством группы Y, через Xk прямое произведение k изоморфных копий группы X, через a циклическую группу порядка a, a N, через l(q) универсальную группу Шевалле типа Al над конечным полем порядка q.
Использование изоморфизма группы Вейля алгебры Ли типа Al и симметрической группы степени l + 1 при первой попытке исследования групп лиева типа с нефиксированным лиевым рангом привели к следующему лаконичному результату.
Теорема A. Пусть Pk параболическая максимальная подгруппа группы Al(q), полученная удалением k-ой вершины диаграммы Дынкина в стандартном упорядочении ее вершин.
Тогда ранг подстановочного представления группы Al(q) на правых смежных классах по подгруппе Pk равен k + 1 при k (l + 1)/2 и l - k + 2 при (l + 1)/2 k l.
Использование результатов первого параграфа и действия группы Вейля на системе корней типа Al, как группы подстановок, позволило провести полное исследование подстановочных представлений группы Al(q) на смежных классах по параболическим максимальным подгруппам и получить все параметры этого представления. Объединенный результат двух параграфов представим следующей теоремой.
Теорема B (теорема 2.2). Для группы l(q), где q = ps для простого числа p, степень n, ранг m, подстепени ni и двойные стабилизаторы Mi подстановочного представления на правых смежных классах по параболической максимальной подгруппе Pk, k [(l + 1)/2], содержатся в следующем списке:
k (ql-k+1+j - 1) (1) степень n = ;
(qj - 1) j=(2) ранг m = k + 1 ;
(3) M0 ps(l-k+1)k : ((k-1(q) l-k(q)): (q - 1)) ;
= (4) если 1 i k - 1, то k l-k+qi (qj - 1) (qj - 1) j=k-i+1 j=l-k-i+ni = и i (qj - 1)j=Mi (ps(l-k-i+1)(k-i). p2si(l-2i+1)): ((k-i-1(q) i-1(q) = i-1(q) l-k-i(q)): (q - 1)3) ;
k (ql-2k+1+j - 1) (5) если 2k l, то nk = qk и Mk = (qj - 1) j=ps(l-2k+1)2k : ((k-1(q) k-1(q) l-2k(q)): (q - 1)2);
(6) если 2k = l + 1, то nk = qk и Mk (k-1(q) k-1(q)): (q - 1).
= Доказательство теоремы B сводится к изучению действия группы Вейля на соответствующей системе корней и затем, используя эту информацию и строение параболической подгруппы, определяется ее пересечение с сопряженной с ней подгруппой посредством элемента группы Вейля. Для выяснения нормального строения двойных стабилизаторов используется разложение Леви параболической подгруппы Pk.
При доказательстве этой теоремы выписаны коммутаторные соотношения, которые позволяют задавать параболические максимальные подгруппы группы Al(q) и двойные стабилизаторы примитивных параболических подстановочных представлений образующими и соотношениями.
Применение идей и методов второго параграфа не позволило получить аналогичные результаты для групп Bl(q), Cl(q) и Dl(q). Причины здесь две. Во-первых, наличие корней разной длины. Во-вторых, более сложное строение соответствующей группы Вейля. Эти причины привели к громоздким вычислениям и поиску новых идей. Откажемся от действия группы Вейля на системе корней и сосредоточим внимание на ее подгрупповом строении. Разложим группу Вейля на двойные смежные классы по параболической максимальной подгруппе. Найденные представители двойных смежных классов позволили в третьем параграфе определить ранги для групп Bl(q), Cl(q) и Dl(q). В этом параграфе для нахождения рангов примитивных параболических подстановочных представлений групп Bl(q), Cl(q) и Dl(q) получены рекуррентные формулы. Например, для группы Bl(q) результат выглядит следующим образом.
Теорема C (теорема 2.3). Ранги rk(Bl) (1 k l) подстановочных представлений групп Bl(q) (l 2) по параболическим максимальным подгруппам вычисляются по рекуррентным формулам l + rk(Bl) =rk(Bl-1) + k при 2 k, l + rk(Bl) =rk(Bl-1) + l - k + 2 при < k < l, r1(Bl) =l + 1, rl(Bl) = 3.
Аналогичные теоремы 2.4, 2.5 и 2.6 получены соответственно для групп Cl(q), Dl(q) и Al(q) (в последнем случае в этом уже нет необходимости, но мы это делаем для полноты результата). Основным инструментом исследования опять выступают группы Вейля простых алгебр Ли типов Al, Bl, Cl и Dl. При доказательстве выписаны представители двойных смежных классов по параболической максимальной подгруппе группы Вейля.
Используя эту информацию, получаем рекуррентные формулы для рангов. Отметим, что при доказательстве теорем о рангах для каждой группы Вейля системы корней типов Al, Bl, Cl и Dl получено разложение на двойные смежные классы по параболической максимальной подгруппе и указаны представители этих двойных смежных классов, причем эти представители имеют минимальную длину в классе их содержащем. Кроме того, предложен алгоритм (см. доказательства теорем 2.3, 2.5 и 2.6), позволяющий выписывать такие минимальные представители двойных смежных классов для произвольного лиева ранга l и произвольной параболической максимальной подгруппы группы Вейля.
Результаты главы опубликованы в работах [35Ц37].
Глава 3. Параболические представления классических групп. Эта глава посвящена классическим группам SLl(q), SUl(q), Spl(q), l(q) и (q). Пусть G одна из этих l классических групп, V естественное векторное пространство, ассоциированное с группой G и U ненулевое изотропное подпространство пространства V. Известно, что стабилизатор GU подпространства U в группе G почти всегда является параболической максимальной подгруппой в G, причем все параболические максимальные подгруппы в G так получаются. Исключением является стабилизатор GU подпространства U размерности l/2 - 1 для G = +(q).
l Принципиальное отличие этой главы от предыдущей состоит в выборе методов доказательства утверждений. В этой главе мы следуем классическому подходу к группам лиевых типов Al, 2 Bl, Cl, Dl и скрученным группам типов Al, Dl. Доказательства проводим в терминах линейных преобразований, билинейных и квадратичных форм. Глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе рассматриваются специальные линейные группы, во втором специальные унитарные группы, в третьем симплектические группы, в четвертом ортогональные группы. Более точно, в этих параграфах изучаются примитивные параболические подстановочные представления специальных линейных, специальных унитарных, симплектических и ортогональных групп соответственно. Для указанных групп определены параметры подстановочных представлений на правых смежных классах по подгруппе, являющейся стабилизатором изотропного подпространства. Эти параметры суть степень, подстепени, строение стабилизатора точки и двойных стабилизаторов. Для каждой из групп доказана теорема о строении двойных стабилизаторов. Результаты о подстепенях и рангах получаются как следствия из этой теоремы. Доказательство каждой теоремы конструктивное. В ней явно указываются матрицы, входящие в двойной стабилизатор. Также указывается способ получения всех двойных стабилизаторов подстановочного параболического представления. В качестве примера приведем результат о двойных стабилизаторах изучаемых представлений для групп (q), где пустой символ или {+, -}.
l Теорема D (теорема 3.4). Пусть G = (V ), пустой символ или {+, -}, V векторное пространство размерности l над полем GF (q) с определенной на нем квадратичной формой, U изотропное подпространство размерности k в V, d размерность максимального изотропного подпространства в V. Тогда в V найдутся такие изотропные подпространства Ui,k-i-j,j размерности k, где 0 i k - j и 0 j d - k при 2k d, 0 j k при 2k < d, что GU GUi,k-i-j,j = Ci,k-i-j,j : (Ni,k-i-j,j : Ri,k-i-j,j).
При этом подгруппа Ci,k-i-j,j имеет порядок 2 q(i+j)(l-k)-(i+j)(i+j+1)/2-j, а подгруппа Ni,k-i-j,j q(k-i)(i+j)-j.
Подгруппа Ri,k-i-j,j при четном q изоморфна группе GLi(q) GLj(q)GLk-i-j(q)Gj при m > k и группе GLi(q)GLk-i(q) при m = k; подгруппа Ri,k-i-j,j при нечетном q изоморфна группе типа (Mi,k-i-j,j Gj). 2 при m > k и группе Mi,k-i,0 при m = k. Подгруппа Mi,k-i-j,j имеет индекс 2 в группе GLi(q) GLj(q) GLk-i-j(q), а Gj стабилизатор изотропного подпространства размерности j в (q).
l-2k В доказательстве этой теоремы явно указываются базисы, задающие изотропные подпространства Ui,k-i-j,j размерности k. Кроме того, указываются матрицы, лежащие в подгруппах Ci,k-i-j,j, Ni,k-i-j,j, Mi,k-i-j,j, Ri,k-i-j,j двойного стабилизатора GU GUi,k-i-j,j. Аналогичные теореме D результаты для групп SLl(q), SUl(q), Spl(q) из-за большого объема в автореферате не приводятся. Они указываются в тексте диссертации в виде теорем 3.1, 3.2, 3.3 соответственно. Как следствия из этих теорем получаем результаты о подстепенях и рангах рассматриваемых представлений. Доказательство следствия для группы +(q) демонстрирует интересное свойство стабилизаторов изоl тропных подпространств. Мы имеем дело с нетранзитивным действием группы +(q)) на множестве изотропных подпроl странств размерности l/2, Более того, это единственный случай нетранзитивного действия классической группы на множестве изотропных подпространств одной размерности. Орбита дей+ ствия группы изометрий Ol (q) распадается на две орбиты при действии группы +(q)), что существенно влияет на подстаноl вочный ранг представления. Это обсуждается в доказательстве следствия 3.11.
Результаты главы опубликованы в работах [38Ц41].
Глава 4. Простые конечные классические группы. Эта глава посвящена конечным простым классическим группам. В первом параграфе главы объектом внимания являются проективные группы, а во втором изоморфные им группы лиева типа, в том числе и скрученные. В первом параграфе сначала приводятся определения проективных линейных, симплектических, унитарных и ортогональных групп, далее формулируется известная теорема о простоте почти всех проективных групп, а затем вычисляются параметры подстановочных представлений на смежных классах по параболическим максимальным подгруппам этих групп. Полученные результаты о рангах и подТаблица 1: Ранги примитивных параболических представлений конечных простых классических групп.
G ранг k = dim U P SLl(q) k + 1 1 k [l/2] P SLl(q) l - k + 1 [l/2] < k < l P Spl(q) (k + 1)(k + 2)/2 1 k l/P Spl(q) (l - 2k + 2)(6k - l + 4)/8 l/4 k l/P l(q) (k + 1)(k + 2)/2 1 k (l - 1)/P l(q) (l - 2k + 1)(6k - l + 5)/8 (l - 1)/4 k (l - 1)/P +(q) (k + 1)(k + 2)/2 1 k < l/l P +(q) 1 + (l - 2k + 4)(6k - l + 2)/8 l/4 k l/2 - l P +(q) [l/4] + 1 k = l/l P SUl(q) (k + 1)(k + 2)/2 1 k [l/2]/P SUl(q)([l/2] - k + 1)(3k - [l/2] + 2)/2 [l/2]/2 k [l/2] P -(q) (k + 1)(k + 2)/2 1 k (l - 2)/l P -(q) (l - 2k)(6k - l + 6)/8 (l - 2)/4 k (l - 2)/l степенях представим здесь теоремами E и F с двумя таблицами.
Теорема E. Пусть на векторном пространстве V над полем порядка q (порядка q2 в унитарном случае) и размерности l определена билинейная или квадратичная форма, ассоциированная с конечной простой классической группой G и U (изотропное) подпространство размерности k в V. Тогда ранги подстановочных представлений групп G на правых смежных классах по параболической максимальной подгруппе GU приводятся в таблице 1.
Теорема F. Пусть на векторном пространстве V над полем порядка q (порядка q2 в унитарном случае) и размерности l определена билинейная или квадратичная форма, ассоциированная с конечной простой классической группой G и U (изотропное) подпространство размерности k в V. Тогда подстепени подстановочных представлений групп G на правых смежных классах по параболической максимальной подгруппе GU приводятся в таблице 2.
Таблица 2: Подстепени примитивных параболических представлений конечных простых классических групп.
G подстепени ni,k-i-j,j k = dim U i i qi (qk-i+s-1) (ql-k-i+s-1) s=1 s=P SLl(q) ni = 1 i k i (qs-1)s=k m-k qa (qs-1) (q2s-1) s=1 s=P Sp2m(q) 1 i k - j, j i k-i-j m-k-j (qs-1)2 (qs-1) (qs-1) (q2s-1) s=1 s=1 s=1 s=0 j m - k k, a = (2m - 2k + (k - i - j + 1)/2)(k - i - j) + j2 0 j k m/k m-k qb (qs-1) (q2s-1) s=1 s=P 2m+1(q) 1 i k - j, j i k-i-j m-k-j (qs-1)2 (qs-1) (qs-1) (q2s-1) s=1 s=1 s=1 s=0 j m - k k, b = (2m - 2k + 1 + (k - i - j - 1)/2)(k - i - j) + j2 0 j k m/k m-k-qc(qm-k-1) (qs-1) (q2s-1) s=1 s=P + (q) 1 i k - j, k < m 2m j i k-i-j m-k-j-(q-1) (qs-1)2 (qs-1) (qs-1) (q2s-1) s=1 s=1 s=1 s= = m - k - j 0 j < m - k k, c = (2m - 2k + (k - i - j - 1)/2)(k - i - j) + j2 0 j k < m - k k m-k-qc(qm-k-1) (qs-1) (q2s-1) s=1 s=P + (q) 1 i 2k - m, 2m m-k i 2k-i-m (qs-1)2 (qs-1) (qs-1) s=1 s=1 s=c = (2m - 2k + (k - i - j - 1)/2)(k - i - j) + j2 j = m - k, k < m k qd (qs-1) s=P + (q), d = (k - i)(k - i - 1)/2 1 i k = m 2m i k-i (qs-1) (qs-1) s=1 s=k l-2k qe (q2s-1) (qs-(-1)s) s=1 s=P SUl(q) 1 i k - j, j i k-i-j l-2k-2j (q2s-1)2 (q2s-1) (q2s-1) (qs-(-1)s) s=1 s=1 s=1 s=0 j [l/2] - k k, e = 2(l - 2k)(k - i - j) + (k - i - j)2 + 2j2 0 j k [l/2]/k m-k-qc(qm-k+1) (qs-1) (q2s-1) s=1 s=P - (q) 1 i k - j, 2m j i k-i-j m-k-j-(q+1) (qs-1)2 (qs-1) (qs-1) (q2s-1) s=1 s=1 s=1 s= = m - k - j 0 j m - k k, c = (2m - 2k + (k - i - j - 1)/2)(k - i - j) + j2 0 j k m/Во втором параграфе мы смотрим на результаты для классических групп, полученные в главе 3, с точки зрения групп лиева типа. Здесь доказываются утверждения о рангах примитивных параболических подстановочных представлений для простых групп лиева типа Al(q), Bl(q), Cl(q) и Dl(q). Получены явные формулы для рангов, которые согласуются с рекуррентными формулами из второй главы. Приведем эти формулы в следующей теореме и результаты сформулируем для наглядности в терминах диаграмм Дынкина.
Теорема G. Пусть Pk параболическая максимальная подгруппа группы Шевалле L(q) лиева ранга m, полученная удалением k-й вершины диаграммы Дынкина типа L, 1 k m.
Тогда ранг rk подстановочного представления группы L(q) на правых смежных классах по подгруппе Pk указывается на следующих диаграммах Дынкина. Рядом с вершиной пишется соответствующий подстановочный ранг.
1. Am(q), m 2 :
rk = k + 1 при 1 k (m + 1)/2, rk = m - k + 2 при (m + 1)/2 k m.
2. Bm(q), m 2 :
rk = (k + 1)(k + 2)/2 при 1 k m/2, rk = (3k - m + 2)(m - k + 1)/2 при m/2 k m.
3. Cm(q), m 2 :
rk = (k + 1)(k + 2)/2 при 1 k m/2, rk = (3k - m + 2)(m - k + 1)/2 при m/2 k m.
4. Dm(q), m 3 :
rk = (k + 1)(k + 2)/2 при 1 k < m/2, rk = 1 + (3k - m + 1)(m - k + 2)/2 при m/2 k m - 2, rk = 1 + [m/2] при k = m1 или k = m2.
После доказательства теоремы G приводится конструкция скрученных групп лиева типа, формулируется теорема об изо2 морфизмах скрученных групп лиевых типов Al(q2), Dl(q2) и классических групп P SUl+1(q), P -(q) соответственно. В па2l раграфе 4.2 доказываются утверждения о рангах примитивных параболических подстановочных представлений для указанных скрученных групп лиева типа, аналогичные теореме G. Сформулируем эти утверждения в теореме H в терминах диаграмм Дынкина.
Теорема H. 1. Пусть Pk параболическая максимальная подгруппа группы A2s-1(q2), полученная удалением k-й вершины диаграммы Дынкина типа Cs в стандартном упорядочении ее вершин.
Тогда ранг подстановочного представления группы 2 A2s-1(q2) на правых смежных классах по подгруппе Pk равен (k+1)(k+2)/2 при 1 k s/2 и (s-k+1)(3k-s+2)/при s/2 k s.
2. Пусть Pk параболическая максимальная подгруппа группы A2s(q2), полученная удалением k-й вершины диаграммы Дынкина типа Bs в стандартном упорядочении ее вершин.
Тогда ранг подстановочного представления группы A2s(q2) на правых смежных классах по подгруппе Pk равен (k + 1)(k + 2)/2 при 1 k s/2 и (s - k + 1)(3k - s + 2)/2 при s/2 k s.
3. Пусть Pk параболическая максимальная подгруппа группы Dl(q2), полученная удалением k-й вершины диаграммы Дынкина типа Bl-1 в стандартном упорядочении ее вершин.
Тогда ранг подстановочного представления группы Dl(q2) на правых смежных классах по подгруппе Pk равен (k + 1)(k + 2)/2 при 1 k (l - 1)/2 и (l - k)(3k - l + 3)/2 при (l - 1)/2 k l - 1.
Результаты главы являются следствиями теорем, доказанных в третьей (предыдущей) главе и частично опубликованы в [39Ц41].
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Подводя итог обзору содержания диссертации, можно сказать, что исследование примитивных параболических подстановочных представлений классических групп завершено и более того, учитывая результаты кандидатской диссертации автора [34], получено полное описание примитивных параболических подстановочных представлений всех групп лиева типа (нормальных и скрученных): классических и исключительных.
Благодарности. В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному консультанту Анатолию Семеновичу Кондратьеву. Его вклад в мое развитие как математика и постоянная поддержка неоценимы. Он поставил передо мной задачу, решение которой привело к написанию данной работы.
Ему я обязана идеями, реализованными здесь. Я благодарна А. С. Кондратьеву за постоянный интерес к работе, неизменные внимание и заботу с его стороны. Я благодарна сотрудникам отдела алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН за полезные замечания, советы, обсуждение работы и благожелательную атмосферу.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 04Ц01Ц00463, 07Ц01Ц00148, 10Ц01Ц00324).
Список литературы [1] Васильев А.В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп типа Gи F4 // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, № 6. С. 663Ц684.
[2] Васильев А.В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп типа E6, E7 и E8 // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 5. С. 518Ц530.
[3] Васильев А.В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп скрученного типа // Алгебра и логика. 1998. Т. 37, № 1. С. 17Ц35.
[4] Bacильев А.В., Мазуров В.Д. Минимальные подстановочные представления конечных простых ортогональных групп // Алгебра и логика. 1994. Т. 33, № 6. С. 603Ц627.
[5] Гречкосеева М.А. О минимальных подстановочных представлениях классических простых групп // Сиб. мат.
журн. 2003. Т. 44, № 3. C. 560Ц586.
[6] Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле// Успехи матем. наук, 1986. Т. 41, № 1. С. 57Ц96.
[7] Мазуров В.Д. Минимальные подстановочные представления конечных простых классических групп. Специальные линейные, симплектические и унитарные группы // Алгебра и логика. 1993. Т. 32, № 3. С. 267Ц287.
[8] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2008. Т. 14, № 4. С. 100Ц118.
[9] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных группах со знакопеременным цоколем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2010. Т. 16, № 3. С. 182Ц184.
[10] Aschbacher M. Permutation groups using the>
1985. Vol. 2, no. 4. P. 380Ц389.
[11] Cooperstein B. N. Minimal degree for a permutation representation of>
[12] Curtis C.W., Kantor W. M., Seitz G.M. The 2-transitive permutation representations of the finite Chevalley groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 218, no. 1. P. 1Ц59.
[13] Kantor W. M. The primitive permutation groups of odd degree, and an application to the finite projective planes // J.Algebra. 1987. Vol. 106, no. 1. P. 15Ц45.
[14] Kantor W.M., Liebler R.A. The rank 3 permutation representations of the finite>
Math. Soc. 1982. Vol. 271, no. 1. P. 1Ц71.
[15] Kleidman P. B., Liebeck M.W. The subgroups structure of the finite>
[16] Liebeck M.W., Saxl J. The primitive permutation groups of odd degree // J. London Math. Soc. 1985. Vol. 31, no. 2, P. 250Ц264.
[17] Liebeck M.W., Saxl J. The finite primitive permutation groups of rank three // Bull. London Math. Soc. 1986. Vol. 18, no. 2. P. 165Ц172.
[18] Liebeck M. W., Saxl J. On the orders of maximal subgroups of the finite exceptional groups of Lie type // Proc. London Math. Soc. 1987. Vol. 55. P. 299Ц330.
[19] Seitz G.M. Flag-transitive subgroups of Chevalley groups // Ann. of Math. 1973. Vol. 97, no. 1. P. 27Ц56.
[20] Seitz G.M. Small rank permutation representation of finite Chevalley groups // J.Algebra. 1974. Vol. 28. P. 508Ц517.
[21] Suzuki M. On a>
of Math. 1962. Vol. 75. P. 105Ц145.
[22] Tits J. Thorme de Bruhat et sous-groupes paraboliques // C.R. Acad. Sci. Paris. 1962. Vol. 254, no. 16. P. 2910Ц2912.
[23] Tits J. A local approach to buildings // Geometric Vein (Coxeter Festschrift). N. Y. et.al.: Springer, 1981. P. 519Ц547.
[24] Кораблева В. В. Параболические подстановочные представления группы F4(q) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5, С. 39Ц59.
[25] Кораблева В. В. Параболические подстановочные представления групп E6(q) и E7(q) // Комбинатор. и вычислител. методы в математике. Омск: Изд-во ОмГУ, 1999.
С. 160Ц189.
[26] Кораблева В. В. Параболические подстановочные представления групп E8(q) / Челяб. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 29.10.99, № 3224-B99. 221 c.
[27] Кораблева В.В. О рангах параболических подстановочных представлений группы E8(q) // Маломерная топология и комбинаторная теория групп. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2000. С. 38Ц64.
[28] Кораблева В. В. Параболические подстановочные пред2 ставления групп F4(q) и D4(q3) // Мат. заметки. 2000.
Т. 67, № 1. С. 69Ц76.
[29] Кораблева В. В. Параболические подстановочные представления групп E6(q) // Мат. заметки. 2000. Т. 67, № 6.
С. 899Ц912.
[30] Кораблева В. В. Параболические подстановочные представления скрученных групп // Молодежная конф. УПроблемы теоретической и прикладной математикиФ: тез. докл.
№28. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. C. 7Ц8.
[31] Кораблева В.В. Параболические подстановочные представления группы F4(q) // Междунар. конф. по теории групп : тез. докл. Пермь, 1997. С. 32.
[32] Кораблева В. В. О параболических подстановочных представлениях исключительных групп лиевского типа // Междунар. конф. УКомбинаторные и вычислительные методы в математикеФ: тез. докл. Омск: ОмГУ, 1998. C. 77 - 81.
[33] Коrablyova V.V. Parabolic permutation representations of groups E8(q) // Intern. conf. УLow-dimensional topology and combinatorial group theoryФ. Abstracts of talks. Chelyabinsk:
Chelyabinsk State University, 1999. P. 26.
[34] Кораблева В. В. Примитивные параболические подстановочные представления конечных исключительных групп лиевского типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Екатеринбург, 2000.
Работы автора по теме диссертации [35] Кораблева В. В. Ранги примитивных параболических подстановочных представлений классических групп лиевского типа Al(q) // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2001. Т. 7, № 2. С. 188Ц193.
[36] Кораблева В. В. Ранги примитивных параболических подстановочных представлений простых групп Bl(q), Cl(q) и Dl(q) // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 2. C. 340Ц356.
[37] Кораблева В. В. Примитивные параболические подстановочные представления простых групп Al(q) // Тр. Инта математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2008.
Т. 14, № 4. С. 70Ц81.
[38] Кораблева В. В. Примитивные параболические подстановочные представления конечных специальных линейных и унитарных групп // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2009. Т. 15, № 2. С. 114Ц124.
[39] Кораблева В. В. Примитивные параболические подстановочные представления конечных симплектических групп // Алгебра и логика. 2010. Т.49, № 3. С. 366Ц378.
[40] Кораблева В. В. Примитивные параболические подстановочные представления конечных простых ортогональных групп нечетной размерности // Алгебра и логика.
2010. Т.49, № 5. С.
[41] Кораблева В. В. Примитивные параболические подстановочные представления конечных простых ортогональных групп четной размерности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2010. Т. 16, № 3.
С. 168Ц181.
[42] Korableva V.V. Ranks of the primitive parabolic permutation representations of>
[43] Кораблева В.В. Примитивные параболические подстановочные представления простых групп Al(q) // Междунар.конф. УАлгебра и ее приложенияФ: тез. докл. Красноярск, 2007. C. 75.
[44] Кораблева В.В. Примитивные параболические подстановочные представления простых классических групп // Междунар. алгебраическая конф.: тез. докл. Москва, 2008.
C. 132.
[45] Кораблева В.В. Примитивные параболические подстановочные представления конечных симплектических групп // Теория групп: тез. сообщений VII Междунар. шк.конф. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С 56.
[46] Кораблева В.В. Примитивные параболические подстановочные представления конечных специальных унитарных групп // Алгебра и ее приложения. Нальчик: Каб.Балк. ун-т, 2009. С. 69Ц71.
[47] Кораблева В.В. Примитивные параболические подстановочные представления групп P + (q) // VIII Междунар.
2m шк.-конф. : тез. сообщений, Нальчик, 2010. C. 113.