На правах рукописи

Феоктистова Александра Александровна

В-ЛИУВИЛЛЕВСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИЗ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2012

Работа выполнена в Липецком государственном педагогическом университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Ляхов Лев Николаевич, Воронежский государственный университет профессор кафедры математического и прикладного анализа

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич, Воронежский государственный университет зав. кафедры математического моделирования доктор физико-математических наук, профессор Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет профессор кафедры высшей математики

Ведущая организация: Владимирский государственный университет имени А.Г. и Н.Г. Столетовых

Защита состоится 20 ноября 2012 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2012.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 212.038.доктор физико-математических наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы диссертации. Операция лиувиллевского типа Ir, определяемая на основе ядра Бесселя-Макдональда, носит универсальный характер. Она осуществляет изоморфизмы функциональных классов и может служить средством для интегральных представлений функций из таких классов и является средством приближения интегрируемых функций гладкими.

Такая операция изучалась многими выдающимися математиками современности, среди которых Л. Шварц (1957), А. Кальдерон (1959), С.М. Никольский, П.И. Лизоркин и др.. Операции лиувиллевского типа изучались С.М.

Никольским в связи с исследованием функциональных пространств, описываемых в рамках конечных разностей. П.И. Лизоркин в своей докторской диссертации (1968) операции лиувиллевского типа применял для построения пространств дробной гладкости и исследования теорем вложения соответствующих классов функций.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И.А. Киприянову. Термин УB-производнаяУ и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом в середине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Исследованию проблем В-потенциалов на основе обобщенного сдвига с весовым ядром Бесселя-Макдональда, построенных по обычной схеме на основе интегрального преобразования Фурье-Бесселя, посвящен ряд работ А.Д. Гаджиева, Л.Н. Ляхова. Проблемы приближения функций из весовых классов на полупрямой изучались С.С. Платоновым.

В диссертации исследуются свойства весовых операций лиувиллевского типа, порожденных В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимые для изучения весовых функциональных классов И.А.Киприянова и некоторых проблем теории приближения, возникающих при исследовании задач с центральной, осевой и многоосевой симметриями, которые и порождают весовые функциональные пространства типа пространств Соболева-Киприянова. Кроме того, операции В-лиувиллевского типа позволяют получить новые интегральные представления функций, которые необходимы для изучения весовых функциональных пространств.

Тема исследований диссертации актуальна в связи со значимостью в естествознании задач с симметриями, возникающих во многих разделах фундаментальной физики, компьютерной томографии, теории оболочек и многих технических разработках. В этой связи особый интерес представляет теория приближения функций из весовых функциональных пространств, установление изморфизма весовых функциональных классов, осуществляемый операциями В-лиувиллевского типа, нахождение интегральных представлений функций в виде обобщенных сверток (сверток, порожденных обобщенным сдвигом) с соответствующими В-ядрами.

Цель работы. Исследовать весовые операции лиувиллевского типа I,r, порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимыми для изучения некоторых проблем теории приближения. Изучить ряд свойств весового ядра Бесселя-Макдональда, таких как, оценки смешанных В-производных Вядер, принадлежность В-ядра к весовому пространству С.М. Никольского r, H1. Ввести аналоги ядер Валле-Пуссена-Никольского (В-ядро VPN), порожденных смешанным преобразованием Фурье-Бесселя, и установить их важнейшие свойства. Доказать теорему о приближении функций обобщенными свертками с В-ядром VPN.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получены оценки смешанных В-производных В-ядра БесселяМакдональда. Доказана принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда веr, совому пространству Никольского H1.

2. Введены В-лиувиллевские операции I,r, порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда. Доказана теорема об изоморфизме, осуществляемом В-лиувиллевской операцией I,r класса функций L на класс функций p ,r Соболева-Киприянова Wp. В качестве следствия получено важное в теории весовых функциональных пространств интегральное представление произ,r вольной функции из Wp в виде В-лиувиллевской операции некоторой функции из L.

p 3. Получена теорема о наилучшем приближении В-лиувиллевской операции I,r экспоненциальными функциями сферического типа.

4. Введены В-ядра Дирихле. На основе таких ядер построены В-ядра Валле-Пуссена-Никольского и изучены некоторые из свойств этих ядер, их обобщенные свертки с функциями из весовых лебеговских классов.

5. Доказана теорема о приближении функций из весовых лебеговских классов L экспоненциальными функциями посредством соответствующей обобp щенной свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского.

Практическая значимость и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструкции приближения функций из соответствующих функциональных классов. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в школе молодых ученых Липецкой области Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания в 2010 2012 гг., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., в Воронежской весенней математическое школе в 2011 г., в Международном семинаре Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения в г. Ростов-на-Дону в 2011 2012 гг., на Международной конференции, посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского в г. Москва в 2011 г., на Международной конференции Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел в г. Белгород в 2011 г., на научной конференции Герценовские чтения в г. С.-Петербурге в 2012 г., на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] [15]. Работы [2], [7], [10], [15] написаны совместно с Л.Н.Ляховым, которому принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатов получены автором. Работы [10], [14] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименования. Общий объем диссертации 130 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

В главе 1 приводятся известные факты весового гармонического анализа, используемые далее в диссертации. В начале этой главы вводятся основные понятия и обозначения, необходимые в данной работе.

Мы будем рассматривать функции, определенные в области + RN={x=(x, x ), x =(x1,..., xn), x =(xn+1,..., xN), x1>0,..., xn>0}.

При этом число n предполагается фиксированным, 1 n N (случай n = + отвечает классической теории). Через + ( RN) будем обозначать область, прилегающую к каждой из гиперплоскостей x1 = 0,..., xn = 0. Граница + области + состоит из двух частей: +, расположенной в RN, и 0, принадлежащей гиперплоскостям x1 = 0,..., xn = 0.

Пусть = (, ) - мультииндекс с неотрицательными целыми компонентами, = (1, 2,..., n), = (n+1,..., N). Положим 1 2 n Bx u = Bx Bx... Bx u, 1 2 n где Bx = Bx,i - оператор Бесселя, отвечающий положительному индексу i, i i и | |f(x, x ) Dx f(x, x ) =, n+N x... x n+1 N где | | = n+1 +... + N.

Функцию вида Bx Dx f(x, x ) мы будем называть смешанной Впроизводной от функции f(x, x ) порядка = 2| | + | |.

Смешанный обобщенный сдвиг имеет вид n y yi f (T f)(x) = Tx f(x, x - y ), i i=yi где каждый из одномерных обобщенных сдвигов Tx определен по формуле i (p + 1) yi yi Tx : f (Tx f)(x) = i i p + f x1,..., xi-1, x2 + yi - 2xiyi cos , xi+1,..., xN sin2p d, i i = 1,..., n, n y yk а многомерный обобщенный сдвиг Tx = Tx понимается как суперпозиция k k=одномерных обобщенных сдвигов.

Нецентрированная обобщенноя конечная разность, построена на основе смешанного обобщенного сдвига следующим образом s s k kh f(x) = (-1)k Cs T f (x), (1.1.12) h k=l где Ck обычные биномиальные коэффициенты.

Прямое и обратное смешанные преобразования Фурье-Бесселя определяются соответственно формулами n FB[]() = (x) j (kxk) e-i x, (x ) dx, k + RN k=-n -FB [](x) = (2)N-n22|| 2(k + 1) FB[](-x), k=k k где k= -1, k=1,..., n, j (xk)=2 (k+1)J (xk) нормированная функция k xkk k N Бесселя первого рода порядка k, x, = xjj.

j=n+Глава 2 посвящена аппроксимации целыми весовыми функциями экспоненциального типа. Здесь обобщены известные результаты приближения функций из весовых функциональных классов на полупрямой.

Определение 2.1.1 Будем говорить, что функция f принадлежит r, пространству Соболева-Киприянова Wp, если f L и (BD)jf L, p p || = 1,..., r.

j s Лемма 2.1.1 Пусть смешанная о.к.разность (1.1.12) порядка s с h + + r, векторным шагом h RN и пусть f(x) Wp (RN), 1 p и l = (l, l ), | = 2|l | + |l |=r и s > r - 2. Тогда l| s + + f C|h|r (BD)lf L(RN ). (2.1.1) h L(RN ) p p | l|=r + + Если f(x) Sev(RN) и supp f(x) ={xRN, |xi|i,, i=1,..., N}, то гда для любой бесконечно дифференцируемой функции (x) с компактным + носителем из множества = {xRN, |xi| > i, i = 1,..., N} верно равен ство (f, ) = 0.

+ + Лемма 2.1.2 Пусть f(x) L(RN), g(x) L(RN), 1 p и 1 p + supp FB[f] , тогда (f g) M (RN).

p, Модуль непрерывности, порожденный смешанным обобщенным сдвигом (1.1.12) далее, сокращая запись, будем называть -модулем непрерывности.

Определение 2.2.1 Пусть натуральное число, 1 p . По опре+ делению, -модулем непрерывности функции f L(RN) будем называть p p,(f, ) = sup ( f)(x), (2.2.1) L th p |t| где ( f)(x) смешанная о.к.разность (1.1.12) порядка с шагом th, h th + RN, |h|=1 и t действительное число.

Следует отметить очень важное свойства -модуля.

r, + Лемма 2.2.1 Если f(x) Wp (Rn ), тогда при любом r - 2 и r = 2| | + | | имеем оценку p,(f, )L cr (BD)f, = (2, ) L p p ||=r где c = c(, r, ) - постоянная.

Наилучшим приближением функции f L целыми экспоненциальными p функциями типа будем называеть величину E(f) = inf f - g.

L p gM p, Получена прямая теорема об аппроксимации функций из весовых функциональных классов Соболева.

+ r, Теорема 2.3.1 Пусть f(x) Wp (RN), 1 p , тогда справедливо неравенство c E(f)L (BD)f.

L p p r 2| |+| |=r Глава 3 посвящена В-ядрам Бесселя-Макдональда и операции Влиувиллевского типа. Получены оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда.

Определение 3.1.1 В-ядром Бесселя-Макдональда называется функция r -1 + + Gr (x) = FB (1 + ||2)-, RN = Rn RN-n. (3.1.1) Теорема 3.2.1 Пусть l = (2l1,..., 2ln, ln+1,..., lN), | = 2|l | + |l |. Для l| смешанных В-производных от функции Gr (x) порядка l имеют место сле дующие оценки:

a) если |x| 1, 0 < r < N + || + | или r = N + || + | и | нечетное, l| l| l| то (BD)lGr(x) = O(|x|r-N-||-|l|), (3.2.1) когда r = N + || + | и | четное, то l| l| (BD)lGr (x) = O ln + 1, (3.2.2) |x| а при r > N + || + | l| (BD)lGr(x) = O(1); (3.2.3) b) если |x| > 1, то r-N-||-(BD)lGr(x) = O |x| e-|x|. (3.2.4) В работе используются пространства типа пространств Никольского, построенные с использованием смешанного -модуля непрерывности, основанного на смешанных обобщенных конечных разностях.

Определение 3.3.1 Пусть r > 0 действительное число, неотрицательное целое число и l мультииндекс, состоящий из целых неотрицательных чисел l = (l, l ) = (l1,..., ln, ln+1,..., lN), удовлетворяющих r, условию 2 > r - (2|l | + |l |) > 0. Через Hp обозначим множество всех функций f L таких, что (BD)lf L и для некоторого числа Af > p p справедливо неравенство p,((BD)lf, ) Afr-2|l |-|l |, > 0.

((BD)lf,)Lp r, Для f Hp определим полунорму hr,(f) = sup и норму p r-2|l |-|l | >r, r, f = f + hr,(f). Класс функций Hp с введенной нормой будем Hp L p p называть весовым пространством Никольского.

Будем использовать центрированные о.к.разности l l l ( -k h ) (x) = (-1)k Clk T (x). (3.3.1) h k=Теорема 3.3.2 Пусть r > 0, lj - неотрицательное целое число и 0 < t < . Тогда для В-производной порядка lj (j = 1,..., n) В-ядра БесселяМакдональда при r = 2lj + и (0; 2] имеет место оценка 2 lj = Bx Gr (x) (x )dx A r|t|, (3.3.2) txj j + RN а для производной порядка li (i = n + 1,..., N) при r = li + и (0; 1] li = 2 Dx Gr (x) (x )dx A r|t|, (3.3.3) txi i + RN A r и A r константы зависящие от r.

+ Учитывая, что при r > 0 Gr (x) L(RN) и оценки (3.3.2), (3.3.3), со гласно определению весового пространства Никольского, получаем Gr(x) r, + r, + + H1 (RN). Кроме того, имеет место равенство Gr (x) = Gr + H1 (RN ) L(RN ) Ar, где Ar наименьшая постоянная, при которой выполняются неравенства (3.3.2), (3.3.3).

Определение 3.4.7 Операцией В-лиувиллевского типа I,r будем называть следующую конструкцию r -I,rf = FB (1 + ||2)- FB[f]. (3.4.1) Имеет место утверждение, что операция В-лиувиллевского типа сводится к обобщенной свертке с В-ядром Бесселя-Макдональда.

+ Лемма 3.4.3 Для функций f S (RN) операция I,r при r > 0 сводится ev к обобщенной свертке F = I,rf(x) = Gr f (x) = f()TxGr(x)( )d, (3.4.3) + RN r -с В-ядром Бесселя-Макдональда Gr = FB (1 + ||2)-.

+ Определение 3.5.1 Пусть FB-мультипликатор, f L(RN) (1 p p < ) и fl последовательность бесконечно дифференцируемых финитных функций, четных по каждой из переменных x = (x1,..., xn), таких, что fl - f 0 при l . Обобщенной сверткой (вообще в смысле L p распределений) этих функций будем называть функцию -1 - = ( f) = lim FB [ fl] = FB [ f]. (3.5.3) l Произведение f определяется посредством равенства f = FB[] = FB [( f)]. (3.5.4) + Определение 3.5.2 Функция f S (RN) называется регулярной в ev + смысле L(RN), если для некоторого > 0 имеет место равенство p + I, f = F L(RN). (3.5.10) 0 p + Лемма 3.5.2 Пусть FB-мультипликатор в L(RN) и f регуp лярная в смысле L функция, для которой выполняется равенство (3.5.10) p для некоторого > 0. Тогда для 0 справедливо равенство ( f) = I,- ( I,f).

Данная лемма дает основание ввести расширенное определение свертки.

+ -Определение 3.5.3 Пусть L(RN), =FB [] и FB-мультипли+ катор. Для регулярной в смысле L(RN) весового распределения f S при p ev > 0 положим ( f) = I,- ( I,f). (3.5.11) Причем это определение не зависит от > 0.

+ -Теорема 3.5.1 Пусть L(RN), =FB [] и FB-мультипликатор.

+ Для регулярной в смысле L(RN) весовой обобщенной функции f S при p ev любых значениях имеет место равенство I,- ( I, f) = ( f). (3.5.12) Имеют место следующие утверждения о FB-мультипликаторе, равном еди+ нице на области в RN.

емма 3.6.1 Пусть FB-мультипликатор в L (1 p , p + + L(RN)), равный единице на s-открытом множестве +0 RN. И + пусть f L(RN) или f регулярная в смысле L функция. Тогда на облаp p сти +0 имеет место следующее равенство FB ( f) = FB[f] = FB[f], x + 0. (3.6.1) Лемма 3.6.2 Пусть = m FB-мультипликатор, равный единице на + + s-кубе = {x RN, |xi| < m, i = 1,..., N}, m < m и m M (RN) m m,p + функция экспоненциального типа m и m L(RN). Тогда имеет место p равенство -( m ) = FB [ FB[m ]] = m. (3.6.9) Имеет место следующая теорема об изоморфизме, осуществляемом Влиувиллевской операцией I,r, весовых лебеговских классов L на классы p ,r Соболева-Киприянова Wp.

Теорема 3.7.3 Операция I,r при натуральном r осуществляет изомор+ + r, физм пространств L(RN) и Wp (RN) p r, r, r, + 0, I,r(L)=Wp (1 < p < , Wp = Wp (RN), L = Wp ).

p p r, Важно отметить то, что пространство Wp состоит из тех и только тех функций, которые представляются как результат В-лиувиллевской операции над функциями из L.

p r, Кроме того, получено интегральное представление функций из Wp.

r, Теорема 3.7.4 Для любой функции f Wp найдется такая функция L, что p x f = T G(y) (y) (y ) dy.

r + RN Получена оценка наилучшего приближения операции В-лиувиллевского типа I,rf экспоненциальными функциями сферического типа.

Теорема 3.8.1 Пусть f L. Тогда для операции В-лиувиллевского типа p I,rf выполняется неравенство cr + + E(I,rf)L (RN ) E(f)L (RN ). (3.8.2) p p r Глава 4 посвящена приближению функций их обобщенными свертками с В-ядрами Валле-Пуссена-Никольского.

Введем В-ядро Дирихле n n j D,(t) = D,j(t) = j -(jtj).

j j j t +j=1 j=1 j + Теорема 4.1.4 Преобразование Фурье-Бесселя в Rn функции D,(t) находится по формуле n j + FB [D,] () = 2||-n (1) (), (4.1.12) j=+ где (1) характеристическая функция прямоугольника в Rn со сторо нами 0 < j < j, j = 1,..., n.

Введем В-ядро V, (t) = D,(t)d = M Mn+|| M n 1 + = j -(jtj) d, M = { Rn, M < i < 2M}.

j Mn+|| t+j M j=(4.1.13) Функцию V, (t) будем называть В-ядром Валле-Пуссена-Никольского M (сокращенно В-ядро VPN).

Теорема 4.1.5 Преобразование Фурье-Бесселя В-ядра VPN V, (t), опреM деленного формулой (4.1.13), удовлетворяет неравенству FB[V, ]() A < , (4.1.15) M где константа A не зависит от M.

Кроме того, справелива следующая формула n i + i FB [V, ] () = 2 2 (i), M i=где i 2 +1 - 1, 0 i M, i i+i (i) = (4.1.16) 2 +1 -, M < i 2M, M 0, i > 2M.

Полученные выше утверждения касаются только преобразования (многогмерного) Фурье-Бесселя. Используя результат С.М. Никольского для преобразования Фурье ядра N 1 sin jtj VM(x) = d, Mn tj M j=n+где M = { RN-n, M < j < 2a; j = n + 1,..., N}, сформулируем утверждение для смешанного преобразования Фурье-Бесселя. Функцию VM(x) будем называть ядром Валле-Пуссена-Никольского. Его преобразование Фурье определяется равенством N F [VM](x) = VM(x) = (xi), i=n+где 1, |xi| M, (xi) = (4.1.17) (2M - xi), M < |xi| 2M, 2 M 0, |xi| > 2M.

Тогда для смешанного преобразования Фурье-Бесселя смешанного В-ядра VPN n N j (iti) i-C(N, ) sin jtj V, (x) = ( )d M i MN+|| tj t +i j=n+M i=справедлива формула n N i + i FB [V, ] () = 2 2 (i) (j), M i=1 j=n+где и определены соотвественно равенствами (4.1.16) и (4.1.17).

Рассмотрим нормированное В-ядро VPN -n i i 2 2 i+1 [2 +1 - 1] V, (t) = j -(jtj) d, (4.2.1) j M j Mn+|| t +M j=1 j + M = { Rn, M < i < 2M}.

Отметим важное свойство В-ядра VPN V, (t).

M Теорема 4.2.1 В-ядро VPN V, (t) (4.2.1) является усредняющим:

M V, (t) t dt = 1, (4.2.2) M + Rn + V, (t) L(Rn ). (4.2.3) M Теорема 4.2.2 Пусть y ,M(f, x) = (V, f) = T V, (x)f(y)ydy (4.2.4) M M + Rn обобщенная свертка функции f с В-ядром VPN. Если f L, то p ,M(f, x) L.

p Теорема 4.2.3 Для любой весовой экспоненциальной функции ,M M порядка M имеет место тождество ,M(,M, x) = ,M(x).

M,p Теорема 4.2.4 Если f L и ,M M целая функция экспоненp M,p циального типа M. Имеет место неравенство ,M(f, x) - f(x) (1 + A)EM(f)L, (4.2.5) L p p где A = |V, (x)|xdx, EM(f)L = inf f - ,M.

L M p p ,M M + M,p Rn Важно отметить, что все вышеуказанные утверждения имеют место и для смешанных В-ядер Валле-Пуссена-Никольского, построенных для функций, + + определенных в части евклидова пространства RN = Rn RN-n по формуле n N 1 sin(jxj) V, (x) = C(N, ) j (ixi) ( ) d, i-M i 2 xj x +i j=n+M i=n -2i2 i+1 [2i+1-1] ( ( ) ) i=где C(N, ) =.

MN+|| Публикации автора по теме диссертации 1. Феоктистова А.А. О некоторых свойствах весовых лиувиллевских классов / А.А. Феоктистова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы 2011. Тезисы докладов. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. С. 3336.

2. Феоктистова А.А. О слабой непрерывности FB-преобразования по части переменных в пространстве основных функций / Л.Н. Ляхов, А.А. Феоктистова // Математические модели и операторные уравнения. Сборник научных статей под редакцией В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Том 7.

Воронеж: ВорГУ, 2011. С. 155 159.

3. Феоктистова А.А. Теорема о смешанных В-производных / А.А. Феоктистова // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания: материалы областной научно-практической конференции. Липецк: ЛИРО, 2011. С. 196 199.

4. Феоктистова А.А. Об одной оценке наилучшего приближения операции лиувиллевского типа / А.А. Феоктистова // Школа моловии с требованиями