Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
ВЕРИЧЕВ Станислав Николаевич
УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДВИЖУЩИМИСЯ НАГРУЗКАМИ
01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Н. Новгород, 2009 г.
Работа выполнена в Нижегородском филиале Института машиноведения им. А.А. Благонравова Российской Академии Наук.
официальные оппоненты:
- доктор технических наук, профессор Панченков Анатолий Николаевич - доктор технических наук, профессор Синев Александр Владимирович - доктор физико-математических наук Баландин Дмитрий Владимирович ведущая организация:
Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научноисследовательский институт экспериментальной физики
Защита состоится л28 декабря 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д212.165.08 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ГСП-41, ул. Минина, д.24, ауд. 1258.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета.
Автореферат разослан л___ ______________ 2009 г.
Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах с подписями, заверенными печатью, просим направлять на имя ученого секретаря диссертационного совета.
Ученый секретарь диссертационного совета Д212.165.08, доктор технических наук ___________ Е.М. Грамузов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости механических систем с движущимися нагрузками. Рассматриваются сосредоточенные объекты, равномерно движущиеся вдоль распределенных упругих систем, роторные системы типа лэлектродвигатель - гибкий вал, а также погружные консольные трубы, всасывающие жидкость. Во всех этих, как может показаться на первый взгляд, совершенно различных механических системах эффект неустойчивости имеет, по сути, одинаковую природу. Различие состоит лишь в том, что нагрузка может быть как движущейся, так и вращающейся, а также как сосредоточенной, так и распределенной. В связи с этим, в зависимости от типа механической системы, для исследования устойчивости применяются принципиально разные модели и методы. По этой причине, рассматриваемые в данной работе системы можно подразделить на три основные группы. К первой группе относятся системы, моделирующие железнодорожный транспорт.
Колеса поезда, вибрируя, возбуждают в рельсах упругие волны, реакция которых может привести к неустойчивости. Данный эффект также может иметь место для движущегося токосъемника поезда, взаимодействующего с контактным проводом и других подобных механических систем. Типичным примером рассматриваемых роторных систем являются колебательные системы, нагруженные на вращающийся источник энергии, такие как центробежные насосы, турбины, грохоты и т.д. Одной из основных проблем в таких системах является переход через критические (резонансные) частоты вращения как при разгоне двигателя до рабочей частоты, так и при останове системы. Наконец, погружные трубы, всасывающие жидкость широко используются в оффшорной нефте- и газодобывающей индустрии. Основной проблемой по данной тематике является отсутствие адекватных математических моделей, которые описывают наблюдаемые в реальности сложные динамические колебательные режимы.
Актуальность проблемы обусловлена следующими причинами.
Растущий пассажиро- и товаропоток порождает необходимость в увеличении скоростей движения транспорта. В настоящее время скорость поездов приблизилась, а в некоторых случаях и превысила скорость распространения волн в железнодорожном пути и контактной подвеске. Другими словами скорость источников возмущений стала сравнима со скоростью распространения волн. Как известно, в этой ситуации излучение волн играет существенную (а в некоторых случаях и определяющую) роль в динамическом поведении системы. Приведем некоторые цифры. Скорость поездов, функционирующих в настоящее время во Франции и Японии, колеблется от 200 до 275 [км/ч]. Рекордная скорость поезда, достигнутая во Франции - 515 [км/ч]. В Японии принята так называемая программа л500, в соответствие с которой в ближайшие годы японские скоростные поезда должны достичь скоростей порядка 500 [км/ч]. Это о скоростях источников, возбуждающих упругие волны. Теперь о скорости волн. Поверхностные волны (волны Рэлея) в грунте, окружающем железнодорожный путь, распространяются со скоростями 400-600 [км/ч] в жестком грунте и со скоростями 150-400 [км/ч] в мягком (торфяном) и водонасыщенном грунтах.
Скорость изгибных волн в контактном проводе составляет 200-400 [км/ч].
Сравнивая вышеприведенные цифры, легко убедиться, что скорость источника упругих волн (поезда) в настоящее время сравнима со скоростью волн. В некоторых частях Европы, где железнодорожные пути проложены по мягким (торфяным) грунтам, излучаемые поездом поверхностные волны видны невооруженным глазом. Измерения, проведенные железнодорожными компаниями в Германии, Швейцарии, Англии и Франции, подтверждают нарастание вибраций железнодорожного пути при скоростях движения поезда, близких к скорости поверхностных волн. Как следствие, на мягких участках пути были введены ограничения скорости движения или грунт был искусственно сделан жестче. Таким образом, инженеры-железнодорожники тем или иным способом пытаются снизить скорость поезда по сравнению со скоростью поверхностных волн в пути. Однако желание двигаться быстрее остается. В этой ситуации важно изучить все потенциально опасные эффекты, связанные с высокой скоростью поезда. Одним из таких эффектов является неустойчивость колебаний поезда, которая может возникнуть вследствие генерации поездом упругих волн в рельсовом пути.
Необходимость добычи углеводородов в сложных условиях (оффшорные месторождения, тяжелые нефти и т.д.), а также желание добывать больше, быстрее и дешевле диктуют новые требования к скважинному и погружному оборудованию. Модели различных типов роторных систем и вибрационных механизмов являются уже фактически учебным материалом по вибротехнике, а также теории механизмов и машин. Однако многочисленные публикации по теории колебаний в целом и хаотической динамике в частности посвящены, в основном, радиофизическим системам, системам из сверхпроводниковой и лазерной электроники, радиотехническим системам и др., и в заметно меньшей степени механическим системам. В отличие от стандартных инженерных методов, методы качественной теории колебаний и волн позволяют более полно исследовать динамику механических систем вблизи резонансов. Таким образом, данный пробел, безусловно, должен быть восполнен.
Интерес к исследованию динамики труб, прокачивающих жидкость, продиктован, прежде всего, нуждами добывающей промышленности. В частности, трубы, всасывающие жидкость, широко используются в оффшорной индустрии, являясь, в частности, интегральной частью системы охлаждения плавучих платформ, добывающих природный газ и одновременно производящих его сжижение (LNG carriers). Подобные системы являются классическим примером задачи о взаимодействии упругой системы и жидкости. В силу высоких скоростей прокачки жидкости (больших чисел Рейнольдса), а также немалых величин амплитуд колебаний труб, стандартные расчетные средства типа ANSYS или CFD не работают. В то же самое время, существующие на сегодняшний день модели не отражают всей сложности динамики подобных систем, что порождает необходимость в их усовершенствовании.
Состояние вопроса. Существует большое количество работ, посвященных проблеме движущихся нагрузок, в которых рассмотрены различные модели, описывающие взаимодействие движущегося объекта и упругой системы. Особенно стоит отметить работы А.И. Весницкого и его учеников и последователей, к коим, в частности, причисляет себя и автор данной работы. По отношению к типу упругой системы, эти работы могут быть подразделены на две большие группы. Первая группа включает в себя анализ структур конечной длины, которые могут быть использованы, например, при анализе железнодорожных мостов. В работах, относящихся ко второй группе, основное внимание сосредоточено на исследовании динамики бесконечно длинных структур, как, например, обычное железнодорожное полотно или контактная подвеска.
Ограничиваясь обсуждением бесконечно длинных структур, относящихся ко второй группе, можно выделить два подхода, используемых при их моделировании. В основе первого подхода лежит пренебрежение внутренними степенями свободы движущегося объекта, а упругая система рассматривается, как подверженная воздействию заданной определенным образом внешней силы. Второй подход является более адекватным и предполагает, что объект имеет собственные степени свободы и смоделирован как масса, осциллятор, или другая дискретная система со многими степенями свободы. В этом случае контактная сила между подвижным объектом и упругой системой неизвестна и должна быть определена путем исследования их взаимодействия.
Независимо от выбора модели объекта, исследования бесконечно длинных систем в основном сосредоточены на изучении так называемых критических скоростей движущейся нагрузки. Эти скорости имеют большое практическое значение, так как при движении с такой скоростью объект вызывает усиление динамического отклика распределенной структуры.
Физическое явление, являющееся причиной этого усиления - резонанс.
Следует заметить, что критические скорости зависят не только от параметров упругой системы, но также и от упруго-инерционных свойств объекта, если они приняты во внимание.
Точное определение критических скоростей не является единственной причиной необходимости принятия во внимание внутренних степеней свободы движущегося объекта. Другое существенное преимущество этого подхода состоит в том, что появляется возможность проанализировать динамическую контактную силу между объектом и упругой системой, что позволяет предсказать возможную потерю контакта.
Одним из наиболее важных для исследования является эффект неустойчивости колебаний движущегося объекта который был впервые описан в работах Г.Г. Денисова (1985) и Р. Богача (1986). Было показано, что вертикальные колебания объекта, движущегося вдоль (горизонтальной) упругой направляющей, могут стать неустойчивыми. Существует два принципиальных различия между резонансом и неустойчивостью. Вопервых, неустойчивость имеет место в некотором диапазоне скоростей, в то время как резонанс возможен только при определенных, дискретных значениях скорости. Во-вторых, амплитуда неустойчивых колебаний растет во времени экспоненциально, тогда как в случае резонанса этот рост является линейным. Этот факт обеспечивает принципиальную разницу между данными явлениями в случае учета в рассматриваемой системе вязких потерь. Если путем увеличения демпфирования возможно погасить резонанс, то в случае неустойчивости соответствующие этому явлению области лишь смещаются в пространстве параметров рассматриваемой системы. Очевидно, что вышеупомянутые особенности неустойчивости делают это явление гораздо более неблагоприятным для практики, чем резонанс.
Размышляя о практическом значении явления неустойчивости, необходимо поднять вопрос, может ли неустойчивость происходить на скоростях, доступных в настоящее время современным высокоскоростным поездам? Как было показано А.В. Метрикиным в 1994 г., неустойчивость возникает благодаря излучению аномальных по Доплеру волн, которые вызывают появление лотрицательной вязкости в точке контакта. Поскольку эти волны могут быть излучены только закритически движущимся объектом, т.е. когда его скорость превышает минимальную фазовую скорость волн в упругой системе, то и неустойчивость возможна только при закритическом движении.
Принято считать, что минимальная фазовая скорость волн (которая обычно совпадает с критической скоростью) в железнодорожном полотне намного выше скоростей, доступных современным высокоскоростным поездам. Однако это не всегда так. Существуют, по крайней мере, две причины, которые могут привести к неустойчивости движущегося поезда на скоростях около 250 [км/ч]. Это взаимодействие колес с мягким грунтом и продольные температурные напряжения в рельсах (особенно в странах западной Европы, где они не имеют стыков). Как было показано в работах А.В. Метрикина и Г. Дитермана (1997), а также А.В. Метрикина и К. Поппа (1999), эти два явления значительно уменьшают минимальную фазовую скорость волн в железнодорожном пути. Например, при движении поезда по мягкому (торфяному) грунту, колебания колесной пары поезда могут стать неустойчивыми на скоростях порядка 250 [км/ч].
Несмотря на практическую важность эффекта неустойчивости, многие важные вопросы, связанные с этим эффектом, долгое время оставались фактически неизученными. Анализу некоторых из этих вопросов и посвящена данная диссертация.
Количество работ посвященных динамике роторных систем также велико.
Данные работы можно подразделить на следующие группы: работы посвященные системам управления колебаниями роторных систем, случайным и стохастическим колебаниям роторных систем, работы посвященные гашению колебаний, динамике валов с трещинами, балансировке роторных систем и устойчивости в целом.
Экспериментальные исследования и эксплуатация вращающихся валов (турбомашины различного назначения, насосы центробежного типа и др., что называется гибкими роторами) показывает, что в определенных ситуациях мощность их изгибных колебаний является величиной сравнимой с мощностью исполнительного механизма. Это может происходить при разгоне вала до рабочей частоты вращения и прохождении его резонансных частот, а также при останове системы. Возможна ситуация, когда рабочая частота находится достаточно близко к одной из резонансных частот вала. Наконец, возможен дрейф резонансных частот к рабочей частоте вращения вследствие изменения колебательных свойств самого вала в процессе эксплуатации. В перечисленных случаях исследование динамики и расчет параметров валов не может производиться без учета динамических свойств исполнительного механизма. Требуется исследование связанной системы гибкий ротор - исполнительный механизм.
Исследование колебательных систем с источниками возбуждения ограниченной мощности, начатое А. Зоммерфельдом, продолжено в работах И.И. Блехмана, В.О. Кононенко, К.В. Фролова, А.П. Филиппова, Ф.М.
Диментберга и др. Эффект застревания частоты вращения исполнительного механизма в окрестности резонансной частоты колебательной системы, был объяснен И.И. Блехманом и назван эффектом Зоммерфельда. Этим эффектом и объясняется раскачка колебаний вала в резонансной зоне параметров.
Трудности аналитического исследования динамических систем типа гибкий ротор - исполнительный механизм связаны не только с их нелинейностью и цилиндричностью фазового пространства, но и с высокой размерностью. В таком случае метод усреднения является реально единственным аналитическим методом исследования динамики систем.
Однако, использование этого метода в стандартном исполнении (применение замен вида ламплитуда - фаза, сводящих систему к стандартной форме) приводит к усредненным системам, исследование которых представляет не меньшую проблему, чем исследование исходных. Тем не менее, данный метод оказывается эффективным, поскольку размерность системы понижается вдвое и усредненная система оказывается заданной в декартовом фазовом пространстве.
Динамика труб, прокачивающих жидкость, является достаточно старой проблемой. Первые упоминания о результатах эмпирических наблюдений датированы 1885 годом. Первые опубликованные результаты исследований принадлежат Бурьересу и датируются 1939 годом. Большинство публикаций по данной тематике относятся к случаю труб, из которых жидкость вытекает, в то время как случай труб, всасывающих жидкость, получил гораздо меньшее внимание. Интерес к этой теме продиктован, прежде всего, нуждами промышленности. Трубы, всасывающие жидкость, широко используются в оффшорной индустрии, являясь, в частности, интегральной частью системы охлаждения плавучих платформ, добывающих природный газ и обеспечивающих его одновременное сжижение (LNG platforms). Первое экспериментальное подтверждение неустойчивости трубы, всасывающей жидкость, было осуществлено Х.Л. Кяюпером и А.В. Метрикиным. Несмотря на безусловный успех данного исследования, некоторые его аспекты оставались неясны, а именно: было обнаружено, что если скорость прокачки жидкости превышает некоторую критическую величину, до которой труба устойчива, то в дальнейшем возникает перемежаемость между неустойчивым (квазипериодические вращения) и устойчивым (малые шумоподобные колебания около состояния равновесия) динамическими режимами. Более того, для двух идентичных экспериментов, проведенных с разницей в один месяц, амплитуда орбитального движения была различной (~0.25 против ~1.5 от диаметра трубы, соответственно). Существующие на сегодняшний день теории не предсказывают и, естественно, не объясняют ни первый, ни второй эффект. Так что же может являться причиной подобной динамики, и какова должна быть соответствующая модель? Что привело к различию амплитуд вращений? Остаточные напряжения в трубе, исчезнувшие через месяц? Несимметричность консольного крепления? Цель данной главы - попытаться ответить на эти вопросы и предложить новую, более адекватную математическую модель.
Работа имеет следующую цель:
Обеспечение устойчивости механических систем с движущимися нагрузками, моделирующих скоростной железнодорожный транспорт, роторные системы различного типа, а также консольные погружные трубы, прокачивающие жидкость.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
Х изучение влияния внутренних степеней свободы движущегося объекта на устойчивость его колебаний;
Х анализ устойчивости колебаний объекта, имеющего больше одной точки контакта с упругой направляющей;
Х исследование устойчивости колебаний объекта, движущегося по периодически неоднородной направляющей;
Х исследование устойчивости колебаний объекта, движущегося по трехмерной модели рельсового пути;
Х изучение динамики системы типа ротатор-осциллятор в окрестностях резонансов с помощью метода усреднения и разработка оригинальных методов гашения резонансных колебаний роторных систем;
Х анализ хаотических динамических режимов в простейшей модели вибрационного механизма;
Х анализ динамики погружных консольных труб, всасывающих жидкость.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
Х проведен анализ зависимости зон неустойчивости колебаний системы движущийся объект - упругая направляющая от упруго-инерционных и вязкостных параметров объекта;
Х найдены зоны неустойчивости колебаний массы, движущейся по периодически неоднородной упругой балке;
Х изучена устойчивость колебаний двухмассового осциллятора, движущегося по балке, лежащей на вязко-упругом полупространстве;
Х предложен новый аналитический метод, позволяющий наиболее полно исследовать динамику роторных систем;
Х установлены все возможные типы характеристики вращения системы типа лэлектродвигатель - гибкий вал;
Х предложен новый метод гашения резонансных колебаний роторных систем;
Х показано, что простейшие модели вибрационных механизмов могут обладать хаотической динамикой;
Х найдена причина, приводящая к перемежаемости устойчивого и неустойчивого динамических режимов погружной консольной трубы, всасывающей жидкость, и предложена модификация граничных условий в соответствующей модели;
Х предложена схема активного контроля и гашения колебаний погружной консольной трубы, всасывающей жидкость, использующая скорость прокачки жидкости как управляющий параметр.
Практическая значимость. Методы расчета устойчивости колебаний движущегося объекта, описанные в данной работе могут быть использованы при разработке высокоскоростного наземного транспорта. В Делфтском технологическом университете (Нидерланды) была разработана компьютерная программа расчета динамики скоростного железнодорожного пути, в одном из модулей которой используется методика анализа устойчивости, предложенная в данной диссертации. Предложенная математическая процедура исследования динамики роторных систем, позволяющая получить все качественно возможные виды характеристики вращения и резонансной характеристики была использована технологической компанией Шлюмберже при разработке новых погружных насосов РЕДА, используемых для нефтетобычи. Метод гашения колебаний, основанный на модуляции частоты вращения и позволяющий плавно переходить из дорезонансных в послерезонансные режимы может быть использован для роторных систем любого типа (турбины, насосы центробежного типа и т.д.). Вибраторы, работающие в стохастическом режиме, могут быть, например, использованы в нефтегазовой отрасли.
Одним из новейших направлений является повышение добычи углеводородов путем вибровоздействия на пласт. Последние исследования показывают, что именно стохастическое вибровоздействие обладает максимально полезным эффектом. Усовершенствованная модель погружной консольной трубы всасывающей жидкость, моделирующей интегральную часть системы охлаждения судна, осуществляющего добычу и сжижение природного газа (LNG), может быть использована для более точного и адекватного расчета динамики подобных систем. Предложенная схема активного контроля и гашения колебаний погружной консольной трубы, всасывающей жидкость, использующая скорость прокачки жидкости как управляющий параметр может быть использована в оффшорной нефте- и газодобывающей индустрии.
Основные результаты диссертационной работы были получены в ходе выполнения научно-исследовательской программы Нф ИМАШ РАН по комплексной программе РАН Машиностроение (2001-2005 гг.) и при поддержке Х гранта РФФИ Теоретическое изучение полей излучения, волнового резонанса и неустойчивости колебаний в распределенных упругих системах, взаимодействующих с движущимися по ним механическими объектами (РФФИ № 00-01-00344 (2000-2003), рук. д.ф-м.н. Метрикин А.В.);
Х программы РФФИ поддержки молодых ученых № 02-01-06603 (2002-2003);
Х гранта РФФИ Волновая динамика упругих систем, взаимодействующих с движущимися по ним механическими объектами (РФФИ № 03-01-006(2003-2006), рук. д.ф-м.н. Метрикин А.В.);
Х гранта РФФИ Системы виброизоляции с внутренними инерционнодемпфирующими элементами для защиты операторов мобильных машин и инженерных сооружений рельсового и дорожного транспорта. Теория.
Эксперимент. Компьютерное моделирование (РФФИ № 08-08-970(2008-2010), рук. д.ф-м.н. Ерофеев В.И.);
Х регионального учебно-научного центра Механика материалов и конструкций (ФЦП Интеграция, проект № 0542, руководители академик Митенков Ф.М., проф. Баженов В.Г.);
Х стипендии имени академика Г.А. Разуваева (2000);
Х гранта Фонда содействия отечественной науке в номинации Кандидаты наук РАН (2004-2005);
Х Российской Академии Наук (медаль с премией для молодых ученых РАН в области проблем машиностроения, механики и процессов управления (2006));
Х технологического фонда STW (Нидерланды) (2008);
Х подразделения прикладной науки фонда NWO (Нидерланды) (2008);
Х министерства по экономическим связям королевства Нидерландов (2008).
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: международной конференции молодых ученых XXV Гагаринские чтения (Москва, 1999), третьей и четвертой научных конференциях по радиофизике (Н. Новгород, 1999, 2000), четвертой и пятой нижегородских сессиях молодых ученных (Н. Новгород, 1999, 2000), пятой международной конференции Нелинейные колебания механических систем (Н. Новгород, 1999), Advanced Problems in Mechanics (С.Петербург, 2000, 2003, 2004, 2008), 4th EUROMECH Solids Mechanics Conference (Франция, Метц, 2000), международной конференции Испытания материалов и конструкций (Н. Новгород, 2000), Fifth Symposium of the Research School Structural Engineering (Нидерланды, Зяйст, 2002), Fifth Engineering Mechanics Symposium (Нидерланды, Керкраде, Ролдук, 2002), всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций, посвященной памяти профессора А.И. Весницкого (Н. Новгород, 2004), Twelfth International Congress on Sound and Vibration (Португалия, Лиссабон 2005), Schlumberger Reservoir Symposium (Москва, 2006), Schlumberger Innovation Fair (Франция, Кламар, 2006), EUROMECH Colloquium 484: Wave Mechanics and Stability of Long Flexible Structures Subject to Moving Loads and Flows (Нидерланды, Делфт, 2006), всероссийской научнотехнической конференции Фундаментальные Проблемы Машиноведения:
Новые Технологии и Материалы, посвященной 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН (Н.
Новгород, 2006), всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Н. Новгород, 2007), Нелинейные колебания механических систем (Н. Новгород, 2008), 6-th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (С.Петербург, 2008), Dynamics Days Europe 20(Нидерланды, Делфт, 2008).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 работ, включая три монографии и четырнадцать статей в журналах РАН и зарубежных научных журналах; получено два патента.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения и семи глав. Общий объем диссертации составляет 312 страниц, включая 1рисунков, 2 таблицы и 22 страницы библиографии, содержащей 2наименования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения и семи глав.
Во введении обосновывается актуальность проведенных исследований, указывается их цель, научная новизна и практическая значимость, кратко излагается содержание диссертации.
Первая глава посвящена эффекту неустойчивости колебаний объекта, движущегося вдоль распределенной упругой системы. Рассматриваются причины возникновения подобной неустойчивости, а также приводятся примеры явления данного эффекта в различных областях физики.
В первом параграфе (з 1.1) в качестве примера системы лобъект - упругая направляющая рассматривается осциллятор, равномерно движущийся по балке Бернулли-Эйлера. Данная модель выбрана для демонстрации эффекта неустойчивости в связи с тем, что она допускает аналитическое решение. Путем анализа характеристического уравнения, описывающего колебания осциллятора взаимодействующего с балкой, показывается, что колебания осциллятора могут быть неустойчивы.
Второй параграф (з 1.2) посвящен аномальным по Доплеру волнам и их влиянию на устойчивость движущегося источника возмущений. Исходя из законов изменения энергии и импульса точечного объекта, показывается, что причиной возникновения неустойчивости колебаний осциллятора является возбуждение последним упругих волн в балке, фазовая скорость которых превышает скорость движения осциллятора.
В следующем параграфе (з 1.3) обсуждаются примеры проявления радиационной неустойчивости в электродинамике и гидроакустике: задача о неустойчивости траектории движущегося заряда, задача о неустойчивости колебаний тела движущегося вблизи границы раздела двух жидкостей, соответственно.
Последний параграф (з 1.4) посвящен обзору математических методов исследования устойчивости колебаний объекта, движущегося по упругой направляющей. Поскольку движущийся объект рассматривается как сосредоточенный, то в правую часть уравнения колебаний упругой системы входит обобщенная дельта-функция Дирака, описывающая положение движущегося объекта и вследствие этого зависящая как от времени, так и от пространственной переменной. Первым шагом в исследовании подобных уравнений является введение движущейся системы отсчета. При введении системы отсчета, движущейся вместе с объектом, дельта-функция перестает зависеть от времени, что значительно облегчает дальнейшее исследование. Далее применение интегральных преобразований Фурье и Лапласа позволяет перейти от системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений и в итоге получить характеристическое уравнение для колебаний объекта движущегося по упругой направляющей. Поскольку устойчивость системы определяется корнями данного уравнения, то дальнейший анализ связан с нахождением и изучением этих корней. Однако, в силу того, что характеристическое уравнение является интегральным уравнением, решение его в лоб крайне затруднительно. Поэтому, для исследования корней характеристического уравнения используются метод D-разбиения и принцип аргумента. Метод D-разбиения, разработанный Ю.И. Неймарком, используется для разделения пространства параметров системы на области с различным числом неустойчивых корней (корней с положительной действительной частью). Принцип аргумента используется для нахождения числа данных неустойчивых корней для одной из полученных областей.
Комбинация данных двух методов представляется очень удачной и может быть использована для исследования различных, в том числе и трехмерных моделей, одна из которых рассмотрена в последней главе диссертации.
Вторая глава посвящена исследованию устойчивости колебаний объектов, движущихся вдоль балки Тимошенко на вязко-упругом основании.
Первый параграф (з 2.1) данной главы посвящен изучению динамической жесткости балки в движущемся контакте (рис. 1).
V=const u(x,t) m m eq(,V) x (б) (а) Рис.1 a) Равномерное и безотрывное движение точечной массы вдоль балки модели Тимошенко, лежащей на вязко-упругом основании; б) эквивалентная модель.
По определению, динамическая жесткость системы есть отношение амплитуды приложенной к ней гармонической силы к комплексной амплитуде колебаний в возбуждаемой точке. Несмотря на то, что динамическая жесткость определена только для гармонических колебаний, метод Dразбиений позволяет использовать ее и при анализе устойчивости колебаний объектов. Кроме того, анализ динамической жесткости позволяет изящно интерпретировать причину появления неустойчивости движущегося объекта в терминах так называемой лотрицательной вязкости. В данном параграфе получено общее выражение для динамической жесткости балки Тимошенко в зависимости от скорости движения точки контакта и частоты возбуждения.
Проведен сравнительный анализ динамических жесткостей балок моделей Тимошенко и Бернулли-Эйлера, последняя из которых часто и необоснованно используется при расчетах динамики рельсового пути, взаимодействующего с движущимся поездом.
В з 2.2 рассматривается балка Тимошенко на вязко-упругом основании, взаимодействующая с двухмассовым осциллятором (рис. 2). Цель исследований состоит в том, чтобы найти области неустойчивости в пространстве параметров системы балка - движущийся осциллятор.
Основное внимание уделено анализу влияния параметров осциллятора (масса, жесткость, вязкость и скорость) на устойчивость. Показано, что вертикальные колебания двухмассового осциллятора могут быть неустойчивыми. Необходимым условием возникновения неустойчивости является превышение осциллятором минимальной фазовой скорости волн в балке.
В этом случае динамическая жесткость балки в точке контакта имеет отрицательную мнимую часть (в полосе низких частот), которая может быть интерпретирована как лотрицательная вязкость. Эта отрицательная вязкость возникает вследствие излучения так называемых аномальных по Доплеру волн, которые, увеличивая энергию вертикальных колебаний осциллятора, приводят к неустойчивости системы. Необходимая для этого энергия обеспечивается внешней силой, поддерживающей равномерное движение осциллятора.
Области неустойчивости найдены в пространстве параметров системы (рис. 3) с помощью метода D-разбиений. Показано, что, чем больше верхняя масса осциллятора, тем меньше критическая скорость, при которой возможна неустойчивость. Также показано, что вязкость в осцилляторе значительно влияет на устойчивость системы. С увеличением этой вязкости границы зоны неустойчивости сдвигаются в сторону относительно больших значений жесткости осциллятора, тем самым, сужая зону неустойчивости. Влияние нижней массы на устойчивость системы зависит от скорости движения. На высоких скоростях происходит дестабилизация системы и, напротив, если скорость движения осциллятора близка к критической, то имеет место обратный эффект. Балка и осциллятор, рассмотренные в данном параграфе могут быть использованы как простейшая модель, описывающая взаимодействие колесной пары поезда и железнодорожного пути.
Использованные при расчетах значения параметров системы описывают реальную железнодорожную структуру.
1. u(x,t), u01(t) u02(t) 0. V m = 2000 [кг] M k0 m = 1000 [кг] 0. m kf f x 0. 0 0.2 0.4 0.dimensionless velocity безразмерная скорость Рис. 2 Равномерное движение двухмас- Рис. 3 Критическая жесткость и область сового осциллятора вдоль балки Тимо- неустойчивости (заштрихована) для двухмассового осциллятора при двух различных шенко на вязко-упругом основании.
величинах нижней массы Скорость осциллятора отнормирована на скорость изгибных волн в балке.
В з 2.3 рассматривается более близкая к реальности модель, представляющая собой тележку, колеса которой смоделированы точечными массами и связаны с верхним стержнем пружинками и вязкими демпферами (рис. 4). В качестве модели железнодорожного пути вновь использована балка Тимошенко на вязко-упругом основании. В пространстве параметров рассматриваемой системы найдена область соответствующая неустойчивому режиму колебаний тележки (рис. 5).
Проведен параметрический анализ области неустойчивости, а именно, исследовано следующее: а) влияние вязкости в опорах тележки, б) влияние величины массы и момента инерции стержня, в) влияние вязкости в основании балки, г) влияние массы опор, д) влияние расстояния между опорами. Показано, что устойчивость модели очень сильно зависит от вязкости опор, а также от вязких потерь в основании балки. Напротив, величина верхней массы практически не влияет на устойчивость системы.
Проведен сравнительный анализ области неустойчивости колебаний тележки с областями неустойчивости для двухмассового осциллятора и упрощенной модели тележки рассмотренной в 1996г. Р. Вулфертом. Показано, что модель двухмассового осциллятора в большинстве случаев может быть использована вместо модели тележки, и, напротив, что использование упрощенной модели тележки для нахождения области устойчивости является нежелательным.
-< * * -критическая жесткость осциллятора K x10 [Н/м] critical stiffness of the oscillator K 10 (N/m) 1тележка двухмассовый uосциллятор 1u, u01,u M V m m 0.3 0.32 0.34 0.36 0. x x=Vt x=Vt+d безразмерная скорость Рис. 5 Область неустойчивости (выше Рис. 4 Равномерное движение тележки кривых) для тележки и двухмассового вдоль балки Тимошенко на вязко-упругом осциллятора. Скорость тележки отнормиосновании.
рована на скорость изгибных волн в балке.
Третья глава посвящена учету периодической неоднородности упругой направляющей, которая может привести к неустойчивости колебаний системы при скоростях, меньших, чем минимальная фазовая скорость волн в однородной направляющей. Действительно, при равномерном движении объекта по периодически неоднородной направляющей, ее жесткость в точке контакта изменяется периодически во времени. Следовательно, колебания движущегося по направляющей объекта эквивалентны его колебаниям на пружине с периодически изменяющейся во времени жесткостью (рис. 6а).
Такая ситуация, очевидно, может привести к параметрической неустойчивости колебаний объекта. Для анализа условий возникновения неустойчивости в первом параграфе (з 3.1) рассмотрено равномерное движение массы по безграничной балке, жесткость основания которой описывается выражением k x = k0 1+ cos 2 x / d, где F0 - средняя ( ) ( ( ) ) жесткость основания балки, d - период структуры, < 1 - безразмерный малый параметр.
Во втором параграфе (з 3.2) рассмотрено равномерное движение массы вдоль периодически неоднородной балки на упругом основании, площадь поперечного сечения которой описывается выражением F x = F0 1+ cos x, где F0 - средняя площадь поперечного сечения. Обе ( ) () ( ) задачи решены с помощью метода последовательных приближений. В пространстве параметров рассматриваемых систем найдены основные зоны неустойчивости. На рисунках 7а и 8а изображены центры этих зон, а на рисунках 7б и 8б отклонение границ областей неустойчивости от этих центров. Показано, что неустойчивость имеет место при выполнении условия 22V d, где V - скорость движения массы, - частота ее колебаний в случае, когда масса движется по однородной балке = 0. Данное условие ( ) является классическим для основной зоны параметрического резонанса и может быть озвучено следующим образом: неустойчивость возникает при близости удвоенной собственной частоты невозмущенной системы к частоте изменения параметра. Из рисунков 7 и 8 видно, что зоны неустойчивости являются очень узкими. По-видимому, данная узость является следствием критическая жесткость K [MПaм] выбора малой неоднородности упругой направляющей. Исследовано влияние на устойчивость малой вязкости упругого основания. Показано, в случае неоднородности основания балки в пространстве параметров системы появляется область (область ниже жирной пунктирной кривой на рис. 9), где ее колебания устойчивы при любых периодах неоднородности, причем влияние вязкости упругого основания растет с увеличением скорости движения массы.
u x,t, u0 t ( ) ( ) V u(x,t), u0 (t) V m m k(t) x x x=Vt l (а) (б) Рис. 6 a) Равномерное движение массы вдоль балки, лежащей на периодически неоднородном упругом основании. Эквивалентная модель - масса на пружине с периодической во времени жесткостью; б) Равномерное движение массы вдоль периодически неоднородной балки, лежащей на упругом основании.
Результаты третьей главы показывают, что параметрическая неустойчивость колебаний, вследствие узости зон неустойчивости, не является опасной для практических приложений. Действительно опасной является неустойчивость, рассмотренная во второй главе, которая может возникнуть при превышении движущимся объектом минимальной фазовой скорости волн в упругой направляющей. Какова же минимальная фазовая скорость волн в рельсовом пути? Следуя Тимошенко, уже около семидесяти лет для вычисления этой скорости обычно используется простейшая модель пути - балка, лежащая на линейно-упругом основании модели КельвинаВинклера. Жесткость основания определяется исходя из статических измерений и принимается равной приблизительно 108 [Н/м]. В результате критическая скорость поезда (совпадающая с минимальной фазовой скоростью волн в рельсовом пути) получается равной 1500-2000 [км/ч], что, очевидно, недостижимо даже для современных скоростных поездов.
Основываясь на этих цифрах, многие инженеры считают, что вклад волновых эффектов в динамику рельсового пути совершенно несущественен, и эффект неустойчивости не может возникнуть на практике. Это, однако, не так. Измерения, проведенные в последнее время на железных дорогах Голландии, Германии, Франции и Швеции показывают, что динамические напряжения в рельсовом пути могут существенно возрасти уже при скоростях порядка 200 [км/ч]. Особенно явно этот эффект наблюдается если железнодорожный путь проложен по относительно мягкому грунту или грунт по той или иной причине оказывается влажным. Например, благодаря этому эффекту, скоростной поезд Париж-Роттердам, вынужден снижать свою крейсерскую скорость (180-200 [км/ч]) на некоторых участках Голландии до 140 [км/ч].
2020d = 0.7 [м] [м] d = 0.7 [м] d = 0.6 [м] d = 0.6 [м] [м] d = 0.6 [м] d = 0.7 [м] 16161212800 8400 40 40 80 120 160 200 240 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0скорость [м/c] скорость [м/c] (a) (б) Рис. 7 a) центры областей параметрического резонанса для двух различных значений периода неоднородности основания балки; б) отклонение границ области параметрической неустойчивости от ее центра.
2020 d = 20 [м] d = 10 [м] 161600 d = 20 [м] d = 10 [м] 121288440 0.4 0.8 1.2 1.6 640 680 720 760 800 8 скорость [м/c] velocity [m/s] скорость [м/c] (a) (б) Рис. 8 a) центры областей параметрического резонанса для двух различных значений периода неоднородности балки; б) отклонение границ области параметрической неустойчивости от ее центра.
20d = 0.7 [м] d = 0.6 [м] 16128440 80 120 160 200 2скорость [м/c] Рис. 9 Центр основной зоны неустойчивости при учете вязкости основания балки.
масса [кг] масса [кг] масса [кг] mass [kg] масса [кг] масса [кг] Для того чтобы оценить реальные критические скорости поездов (минимальную фазовую скорость волн в рельсовом пути) и определить диапазон скоростей движения, при которых необходим учет волновых эффектов и возможно возникновение неустойчивости, необходимо рассмотреть трехмерные модели рельсового пути. Этому и посвящена следующая глава диссертации.
В четвертой главе исследуется устойчивость колебаний двухмассового осциллятора, равномерно движущегося по балке модели Бернулли-Эйлера, лежащей на вязко-упругом полупространстве (рис.10).
Рассматриваются колебания балки конечной ширины, лежащей на вязкоупругом полупространстве. Вначале изучается вопрос о динамической жесткости эквивалентного вязко-упругого основания, реакция которого идентична реакции полупространства на волны в балке. Эквивалентная жесткость h-s такого основания находится методом интегральных преобразований Фурье, а затем анализируется путем численного обращения Фурье-интегралов.
M V k0, 2a m x,u y,v z,w Рис. 10 Равномерное движение осциллятора вдоль балки, лежащей на вязко-упругом полупространстве.
Показано, что эквивалентная жесткость h-s является функцией частоты и волнового числа волн, распространяющихся в балке, и является комплексной функцией, мнимая часть которой обусловлена излучением волн в полупространство и его вязкостью. Путем введения эквивалентной жесткости полупространства задача сводится к решенной в главе 2 задаче о колебаниях балки на одномерном основании. Единственное, хотя и принципиально важное различие заключается в том, что эквивалентная жесткость полупространства не является константой, а зависит от частоты и волнового числа волн в балке.
Исследована устойчивость колебаний двухмассового осциллятора. При исследовании задачи вновь использовано выражение для динамической жесткости балки в точке контакта. Показано, что неустойчивость может иметь место при движении осциллятора, со скоростью, превышающей наименьшую фазовую скорость волн в системе балка-полупространство.
Проанализировано влияние параметров осциллятора и полупространства на устойчивость колебаний системы. Проведен сравнительный анализ областей неустойчивости рассматриваемой трехмерной, одномерной и адаптированной одномерной модели моделей (рис. 11).
1.3D 3D 1D 1D 1D адапт.
1D improved 1.0.0.неуст.
90 100 110 120 130 140 1Velocity V m/s скорость V м/с Рис. 11 Области неустойчивости для одномерной, адаптированной одномерной и трехмерной моделей.
Описанный в первых четырех главах эффект неустойчивости имеет место и для роторных систем, в частности, в том случае, когда жидкость или газ находятся в зазоре между вращающейся и неподвижной цилиндрическими частями (подшипники скольжения и т.п.). Существует два типа неустойчивого вибрационного поведения ротора, вызванных жидкостью:
Х высокий эксцентриситет, приводящий к возбуждению ротора, связанному с прохождением зоны первой собственной частоты;
Х субсинхронная прямая прецессия, связанная с оборотной частотой.
Первый тип относится к резонансному (так называемый хлыст, луип) и связан напрямую с работой подшипников скольжения, лабиринтных уплотнений и т.д. Второй тип получил название масляный вихрь (луирл), его можно связать с одним из двух явлений: с поведением масляного клина в подшипниках или масляных уплотнениях; или со срывом потока газа. Срыв потока обычно проявляется в виде низкочастотных субсинхронных компонентов в вибрационном спектре ротора (частота обычно составляет от 8 до 40% от оборотной, хотя может быть и около 80%). В момент срыва потока, соответствующий границе устойчивости, мнимая часть динамической жесткость системы меняет знак. Таким образом, данный эффект имеет много общего с эффектом неустойчивости движущегося объекта. Однако, применительно к роторным системам, данный эффект не столь интересен, поскольку существует практическое решение данной проблемы заключающееся в использовании специальных, находящихся под давлением подшипников (лpressurized bearings), разработанных компанией БентлиНевада. По этой причине, в последующих главах рассматривается динамика роторных систем, связанна с проявлением их собственных колебательных свойств, в частности процесс прохождения через критические частоты вращения.
В пятой главе рассматривается динамика электродвигателя, нагруженного на вал с несбалансированным диском.
Stiffness k MPa Х m жескость k МПа м 40 20 0 --12 0 12 015 30 030 Рис. 12 Типы характеристики вращения в резонансной зоне.
0.8 6 0.4 3 0 -40 0 40 -40 0 40 0200 Рис. 13 Типы резонансной характеристики в резонансной зоне.
Рассматриваемая система имеет три степени свободы и является заданной в цилиндрическом фазовом пространстве. В таком случае метод усреднения является реально единственным аналитическим методом исследования динамики систем. Данный метод позволяет без труда получить все возможные типы характеристики вращения двигателя (зависимость движущего момента двигателя от средней частоты вращения). Метод оказывается эффективным в предлагаемом виде, - размерность системы понижается вдвое, усредненная система оказывается заданной в фазовом пространстве R3. Рассматриваемая модель является далеко не новой. Тем не менее, в силу важности этой модели, в том числе с практической точки зрения, возвращение к ней и детальное исследование ее динамических свойств представляется необходимым.
В первом параграфе (з 5.1) рассматривается динамическая система типа гибкий ротор - источник возбуждения ограниченной мощности.
Исследуются типы характеристик вращения двигателя и резонансных характеристик вала в резонансной зоне параметров при различных значениях коэффициента вязкости среды (рис. 12, 13). Эти характеристики полностью представляют динамику системы при изменении ее параметров.
Во втором параграфе (з 5.2) предлагается метод гашения резонансных колебаний роторных систем. Согласно предлагаемому методу, амплитуды таких колебаний могут быть существенно уменьшены без использования дополнительных демпфирующих систем или изменений вязко-упругих свойств системы. Гашение колебаний представляет собой результат подмешивания к частоте вращения исполнительного механизма (электродвигателя) гармонической составляющей с определенной амплитудой и частотой. Оптимальное управление частотой вращения включается по мере достижения амплитудой колебаний порога допустимых значений. Процесс управления может быть автоматизирован.
Рассматривается динамическая система, описывающая изгибные колебания ротора, приводимого во вращение двигателем неограниченной мощности. При прохождении частоты вращения ротора через резонансную зону его изгибных колебаний, к движущему моменту двигателя подмешивается гармоническая составляющая. Гармоническая составляющая может подмешиваться и в рабочем состоянии системы, если контролирующие датчики будут указывать на недопустимый уровень вибраций. Задача состоит в оптимальном выборе параметров модуляции (амплитуда, частота, фазовый сдвиг) таким образом, чтобы амплитуда изгибных колебаний была минимальной.
Рис. 14 Первая резонансная гармоника (до включения механизма гашения, переходный процесс и демпфированные колебания, соответственно).
Рассматриваемая система представляет собой систему двух неавтономных линейных осцилляторов. Каждый из линейных осцилляторов является резонансным фильтром частоты - первой гармоники в спектре внешнего воздействия. Если первая гармоника, имеющая наибольшую амплитуду в спектре колебаний осцилляторов, будет подавлена соответствующим выбором параметров модуляции, то амплитуды оставшихся гармоник будут иметь величину порядка величины воздействия, т.е. 1. Факт объясняется фильтрующими свойствами осцилляторов. Это значит, что и максимальные отклонения вала от своей оси xmax, ymax будут иметь тот же порядок величины xmax, ymax ( x , y - многочастотные ( ) ( ) функции). Таким образом, поставленная задача состоит в подавлении первой гармоники (рис. 14).
Прямой путь решения поставленной задачи состоит в поиске решения уравнений в виде рядов Фурье с неопределенными коэффициентами, определении этих коэффициентов и минимизации амплитуды первой гармоники. При этом отдельно должна исследоваться устойчивость решения.
Для объединения этих задач в одну, используется метод усреднения.
В шестой главе рассматривается динамика вибрационного механизма с источником энергии ограниченной мощности (рис. 15). В первом параграфе (з 6.1) методом усреднения система с двумя степенями свободы сведена к системе лоренцевского типа. Этим устанавливается существование одного из типов хаотических аттракторов в динамической системе, представляющей вибрационный механизм, - аттрактора Лоренца (рис. 16). Установлено также существование аттрактора Фейгенбаума (рис. 17а) и перемежаемости (рис.
17б).
m c,k crmq r Рис. 15 Модель.
Хаотические предельные множества определяют хаотическое поведение мгновенной частоты вращения асинхронного двигателя. Построены качественные картины характеристики вращения для различных значений параметров системы и дана физическая интерпретация результатов. В результате проведенных преобразований усредненная система оказывается заданной в фазовом пространстве G* x, y, z = R3, а не в цилиндрическом ( ) фазовом пространстве, как в стандартном случае введения переменных ламплитуда - фаза. Это существенно упрощает дальнейшую задачу исследования.
= 31. = -3. = -28.z -10 0 10 -10 0 10 20 -20 -10 0 x x x Рис. 16 Аттрактор Лоренца.
z -20 -10 0 x10 -10 0 10 x (а) (б) Рис. 17 а) аттрактор Фейгенбаума, б) перемежаемость --4 --10 0 10 2 4 (а) (б) Рис. 18 а) аттрактор Лоренца на плоскости Пуанкаре, б) аттрактор Фейгенбаума на плоскости Пуанкаре - 0246 02 (а) (б) Рис. 19 а) развертка фазового цилиндра исходной системы, соответствующая аттрактору Лоренца, б) развертка фазового цилиндра исходной системы, соответствующая аттрактору Фейгенбаума.
Утверждения относительно существования хаотических аттракторов определенного типа в исходной системе были сделаны на основании существования соответствующих аттракторов в усредненной системе. Для их подтверждения, численно исследовалась динамика исходной системы:
рассматривалось отображение Пуанкаре секущей гиперплоскости = const в себя за период 2. На рис. 18 изображен асимметричный аттрактор Лоренца в пространстве отображения Пуанкаре (рис. 18а) и аттрактор Фейгенбаума на базе удвоений периода инвариантного тора (рис. 18б). На рис. 19 показана соответствующая структура хаотических вращательных траекторий на развертке фазового цилиндра для аттракторов Лоренца (рис. 19а) и Фейгенбаума (рис. 19б).
Рассмотрены качественно различные картины поведения характеристики вращения, как функции постоянной составляющей движущего момента двигателя при постоянстве всех других параметров системы. На рис. 20а изображена двухпетлевая характеристика вращения; штриховые участки соответствуют неустойчивым состояниям равновесия типа седло или седлофокус, сплошные - устойчивым состояниям равновесия усредненной системы (устойчивым предельным циклам исходной системы). Тонкими линиями показаны вспомогательные функции, определяющие устойчивость и тип состояний равновесия. Можно сказать, что в данном случае имеется двухпетлевой эффект Зоммерфельда. На рис. 20б показан классический (однопетлевой) эффект Зоммерфельда. Вообще говоря, динамика рассматриваемой системы более чем разнообразна при изменении параметров системы. Рассматриваются только случаи существования в усредненной системе хаотических аттракторов. В некотором интервале значений параметра существует два устойчивых состояния равновесия и аттрактор Лоренца. На рис. 20в эта область заштрихована: в ней, в зависимости от начальных условий системы, может быть реализовано как одно, так и другое состояния равновесия (периодические движения исходной системы), а также странный аттрактор, соответствующий хаотическому поведению мгновенной частоты ротатора. Вне указанной области реализуется, и притом при любых начальных условиях, дорезонансный или послерезонансный режим периодических вращений ротатора, в зависимости от величины движущего момента. На рис. 20г каждому значению параметра из заштрихованной области соответствует определенный хаотический аттрактор в фазовом пространстве усредненной системы, являющийся единственным притягивающим множеством.
fff / / f2 f0 f f1 f-40 --20 0 20 -20 0 (а) (б) fff1 f/ / ff f0 f -10 - -10 0 10 -10 0 (в) (г) Рис. 20 Качественно различные формы характеристики вращения Другими словами, в указанной области существует бесконечное множество хаотических аттракторов, каждый из которых обладает индивидуальными пространственно-временными свойствами. В каждой точке происходят бифуркации гомоклинических траекторий и связанных с ними седловых периодических движений. Временное среднее для каждого из аттракторов будет разным. Более того, по причине сильной зависимости траекторий от начальных условий, а также конечности интервала усреднения (реальные измерения) это среднее будет существенно зависеть от начального момента t0. Характеристика вращения в заштрихованной области невоспроизводима: при квазистационарном увеличении параметра (постоянной составляющей движущего момента двигателя) получается одна кривая (ветвь), а при обратном изменении (сколь угодно медленном) получается совершенно другая. В заштрихованной области характеристика вращения имеет бесконечное множество перепутанных ветвей, исходящих из точек срыва, соответствующих концам сплошных линий. Описанное поведение характеристики вращения соответствует лэффекту рассеяния характеристики вращения ротатора. Этот эффект устойчиво наблюдается, в частности, при синхронизации сверхпроводящего перехода СВЧ полем.
Седьмая глава посвящена исследованию динамики погружных консольных труб, всасывающих жидкость (рис. 21). Рассмотрены одномерная (з 7.1) и двумерная (з 7.2) модели. Доказана несостоятельность существующих на сегодняшний день моделей и трех общепринятых типов граничных условий на свободном конце трубы (рис. 22), используя которые нельзя предсказать существующую на практике перемежаемость устойчивого и неустойчивого динамических режимов. В зависимости от типа данных граничных условий возможно существование одного из трех стационарных режимов: 1) квазипериодические вращения (рис. 23), 2) устойчивые колебания (рис. 24), 3) периодические вращения (рис. 25).
uf z L v z,t ( ) w z,t ( ) Рис. 21 Модель погружной консольной трубы, всасывающей жидкость.
u u u f f f w z,t t w z,t t w z,t t ( ) ( ) ( ) №1 №2 №Рис. 22 Три общепринятых типа граничных условий на свободном конце балки. Стрелками под трубой показано пространственно-усредненное направление потока всасываемой жидкости.
Установлено, что перемежаемость динамических режимов вызывается внешним воздействием очень низкой частоты (рис. 26), связанным с вариацией скорости прокачки флюида. Имеет место аналогия с моделью источника энергии ограниченной мощности, нагруженного на колебательную систему, которая была рассмотрена в пятой главе. Установлено, что при вариации скорости прокачки жидкости, а именно при ее увеличении существуют диапазоны, в которых неустойчивая труба становится устойчивой (рис. 27). На основе данного результата предложена схема активного контроля и гашения колебаний, использующая скорость прокачки жидкости как управляющий параметр.
0.0.w N,t, м ( ) [ ] v N,t, м ( ) [ ] 0.0.0.-0.-0.-0.t, с w N,t, м [ ] ( ) [ ] -0.6 -0.0 20 40 60 80 100 -0.4 -0.2 0 0.2 0.(a) (б) Рис. 23 Колебания свободного конца балки в случае граничных условий №1: (a) временная зависимость поперечного смещения w N,t, (б) траектория движения ( ) 0.008E-0w N,t, м ( ) [ ] v N,t, м ( ) [ ] 0.004E-0-0.00-4E-0t, с [ ] w N,t, м ( ) [ ] -0.0002 -8E-00 20 40 60 80 100 -4E-005 -2E-005 0 2E-005 4E-0(a) (б) Рис. 24 Колебания свободного конца балки в случае граничных условий №2: (a) временная зависимость поперечного смещения w N,t, (б) траектория движения ( ) 0.15 0.15 v N,t, м w N,t, м ( ) [ ] ( ) [ ] 0.1 0.0.05 0.0 -0.05 -0.-0.1 -0.t, с w N,t, м [ ] ( ) [ ] -0.15 -0.0 400 800 1200 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0. (a) (б) Рис. 25 Колебания свободного конца балки в случае граничных условий №3: (a) временная зависимость поперечного смещения w N,t, (б) траектория движения ( ) A 0.w N,t,v N,t, м ( ) ( ) [ ] v N,t, м ( ) [ ] 0.-0.-0.t, с t, с [ ] [ ] w N,t, м ( ) [ ] 0 400 800 1200 16(a) (б) (в) Рис. 26 (a) временная зависимость поперечных смещений свободного конца балки w N,t ( ) (темный цвет) и v N,t (светлый цвет), (б) траектория движения свободного конца балки, ( ) (в) внешнее возмущение Ax, y ,t для случая = 0.1, = 0.( ) u* N,t, м/с ( ) [ ] f 5.5.4.4.t, с [ ] 3.0 1000 2000 3000 401. w N,t, м/с ( ) [ ] 0.-0.-t, с [ ] -1.0 1000 2000 3000 401. v N,t, м/с ( ) [ ] 0.-0.-t, с [ ] -1.0 1000 2000 3000 40 Рис. 27 Временные зависимости для u*, wN, и vN для = 0.1, = 0.f ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ 1. На основе исследований устойчивости колебаний объекта, обладающего собственными степенями свободы, движущегося по распределенной упругой системе показано, что необходимым условием возникновения неустойчивости является превышение объектом минимальной фазовой скорости волн в упругой системе. Установлено, что определяющее влияние на устойчивость оказывают вязкостные характеристики, как объекта, так и распределенной системы.
2. Изучена устойчивость колебаний объекта, движущегося по периодически неоднородной балке, моделирующей шпальную структуру, а также износ поверхности рельсов. Показано, что неоднородность балки приводит к возможности возникновения неустойчивости при скоростях движения объекта, меньших, чем минимальная скорость волн в соответствующей однородной балке. Физической причиной неустойчивости является параметрический резонанс, возникающий при близости удвоенной собственной частоты колебаний объекта на балке к частоте изменения параметра неоднородности в движущейся точке контакта.
3. Исследована устойчивость колебаний модели колесной пары, движущейся по трехмерной модели рельсового пути. Показано, что неустойчивость колебаний может возникнуть при превышении колесной парой скорости поверхностных волн в грунте. В мягких грунтах эта скорость может быть порядка 250 [км/ч], что является вполне достижимым для современных скоростных поездов. Основанная на данной модели программа позволяет оптимизировать параметры подвески современных высокоскоростных поездов.
4. Предложен метод, позволяющий установить все возможные типы характеристики вращения и резонансной характеристики системы типа гибкий ротор - источник возбуждения ограниченной мощности в резонансной зоне. Предложен новый метод гашения колебаний роторных систем. Эти результаты были использованы при разработке погружных насосов (ЭЦН) нового типа, используемых для нефтедобычи.
5. Показано, в окрестности резонансов простейшие вибрационные механизмы могут обладать хаотической динамикой. Для рассмотренной модели, методом усреднения исходная система сведена к системе лоренцевского типа. Показано существование аттракторов Лоренца, Фейгенбаума и перемежаемости. Получены качественно различные виды характеристики вращения. В частности показано, что может иметь место так называемый эффект рассеяния характеристики вращения.
6. На основе исследований колебаний погружной консольной трубы всасывающей жидкость доказана несостоятельность существующих на сегодняшний день общепринятых типов граничных условий на свободном конце трубы, используя которые нельзя предсказать существующую на практике перемежаемость устойчивого и неустойчивого динамических режимов. Показано, что перемежаемость вызывается внешним воздействием очень низкой частоты. Установлено, что при вариации скорости прокачки жидкости, а именно при ее увеличении существуют диапазоны, в которых неустойчивая труба становится устойчивой. На основе данного результата предложена схема активного контроля и гашения колебаний, использующая скорость прокачки жидкости как управляющий параметр.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах, включенных в перечень ВАК:
[1] С.Н. Веричев, A.В. Метрикин. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте // Прикладная механика и техническая физика, 2000,Т.41, № 6, С. 170-177.
[2] S.N. Verichev, A.V. Metrikine. Instability of vibration of a moving two-mass oscillator on a flexibly supported Timoshenko beam // Archive of Applied Mechanics, 71(9), P. 613-624, 2001.
[3] S.N. Verichev, A.V. Metrikine. Instability of a moving bogie on a flexibly supported Timoshenko beam // Journal of sound and vibrations, V. 253, P. 653668, 2001.
[4] S.N. Verichev, A.V. Metrikine. Instability of vibrations of a mass that moves uniformly along a beam on a periodically inhomogeneous foundation // Journal of Sound and Vibration, 260, P. 901-925, 2003.
[5] A.V. Vostroukhov, S.N. Verichev, A.W.M. Kok, C. Esveld. Steady-state response of a stratified half-space subjected to a horizontal load applied at a circular area // Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 24, P. 449-459, 2004.
[6] A.V. Metrikine, S.N. Verichev, J. Blaauwendraad. Stability of a two-mass oscillator moving on a beam supported by a visco-elastic half-space // International Journal of Solids and Structures, 42, P. 1187-1207, 2005.
[7] Nikolai N. Verichev, Stanislav N. Verichev, Marian Wiercigroch. Physical Interpretation and Theory of Existence of Cluster Structures in Lattices of Dynamical Systems // Chaos, Solitons and Fractals, Volume 34, Issue 4, P.
1082-1104, 2007.
[8] Н.Н. Веричев, С.Н. Веричев, В.И. Ерофеев. Хаотическая динамика вибрационных механизмов с источниками энергии ограниченной мощности // Прикладная математика и механика, Том 71, Вып. 3, С. 439450, 2007.
[9] Н.Н. Веричев, С.Н. Веричев. Асимптотическая теория синхронизации хаотических колебаний диссипативно связанных динамических систем // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, серия Естественные науки, №4 (27), С.
77-97, 2007.
[10] Н.Н. Веричев, С.Н. Веричев, В.И. Ерофеев. Кластерная динамика однородной цепочки диссипативно связанных ротаторов // Прикладная математика и механика, т.72, №5, С. 882-897, 2008.
[11] Н.Н. Веричев, С.Н. Веричев, В.И. Ерофеев. К-осцилляторы в однородном кольце диффузионно-связанных динамических систем:
существование, устойчивость и синтез кластерных структур // Нелинейный мир, № 5Ц6, т. 6,C. 398-424, 2008.
[12] Веричев С.Н. K устойчивости объекта, движущегося вдоль периодически неоднородной упругой направляющей // Вестник нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, №3, С. 126-136, 2008.
[13] Веричев С.Н. Математические методы исследован на их отображение.
GEUM RU